1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Множество На, где Н вЂ” подгруппа группы 6 и а — некоторый элемент из 6, называется левым классом смежности группы 6 по подгруппе Н. Между элементами подгруппы Н и элементами левого класса смежности На имеется естественное взаимно однозначное соответствие г га = и, и ь-ь иа-' = г. Если подгруппа Н конечна, то число элементов в каждом левом классе смежности равно порядку Н. П р е дл о же н не 6. Два левых класса смежности группьч 6 по подгруппе Н либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Доказательство. Нужно установить, что если два левых класса смежности имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть хси На и х еи НЬ.

Рассмотрим класс смежности Нх. Так как хе-= чиНа, то х= га при некотором ген Н и Нх= Нга ~ На. Но а =г-'х, так что На = Нг-'х ~ Нх. Следовательно, На = Нх. Аналогично, НЬ = Нх, так что На = НЬ, что и требовалось доказать. Попутно выяснилось полезное свойство: На = Нх при любом х ~ На, т. е. в качестве элемента, порождающего как правый множитель класс смежности, можно взять любой элемент из этого класса. Теорема 7. Группа является дизъюнктным объединением левых классов смежности по подгруппе. (Дизъюнктное объединение — это объединение множеств, попарно не имеющих общих элементов.) Справедливость теоремы непосредственно следует из предложения 6, ибо любой элемент группы а принадлежит некоторому классу смежности, именно, На, а различные классы не имеют общих элементов. Указанное в теореме разбиение группы называется разложением группы по подгруппе.

Если число левых классов смежности в разложении 6 по Н конечно, то это число называется индексом подгруппы Н в группе 6 и обозначается (6: Н). Разумеется, если группа 6 конечна, то индекс любой ее подгруппы конечен. П р е д л о ж е н и е 8. Пусть 6:з Н:з К, причем Н и К вЂ” подгруппгя в 6. Если Н в 6 имеет конечный индекс и К в Н имеет конечный индекс, то К в 6 имеет конечный индекс и (6: К) = (6: Н) (Н: К). !гл. х 246 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Доказательство. Пусть 6 = ОНаь 1 = 1, 2, ..., Ь, и Н = О КЬП 1 = 1, ..., й,— разложения 6 по Н и П по К. Тогда 6 =ОКЬ;аь Нужно показать, что классы смежности КЬ,а; попарно не имеют общих элементов. Если КЬ,а,.

и Ко а,. содерхсат общий элемент, то На,. и На,. содержат общий элемент, нбо КЬ. и КЬ. содержатся в Н. Следовательно, й = еь Но тогда и н КЬЛ = КЬ;, что возможно только при 11 —— !ь Итак, б есть дизьюнктное объединение классов смежности КЬ,а,. Их число равно Ьй = (6: Н)(Н: К), т. е. (6: К) = (б:Н)(Н: К). Если подгруппа состоит только из одного единичного элемента, то классами смежности являются одноэлементкые множества нз элементов группы, так что индекс (6: 1) равен порядку группы б. Полагая К = (!) в предложении 8, получим (б: 1) = (б: Н) (Н: 1). Это означает, что порядок конечной группы 6 делится на порядок ее подгруппы Н и частное от их деления равно (6: Н), т. е. индексу Н в 6.

(Эту важную теорему легко доказать непосредственно, без ссылки на предложение 8, прямо из разложения группы по подгруппе и того, что число элементов в любом классе смежности одинаково и равно порядку подгруппы.) Наряду с левыми классами смежности можно рассматривать правые классы смежности аН, и для них тоже справедлива теорема о разложении группы по подгруппе. Между левыми и правыми классами смежности имеется естественное взаимно однозначное соответствие. Именно, отображение а а-' есть взаимно однозначное отображение группы на себя и это отображение переводит левые классы смежности в правые. Действительно, левый класс На состоит из элементов га при г ее Н и обратные элементы а-'г-' заполняют правый класс смежности а — 'Н.

Поэтому если для группы Н имеется конечное число левых классов смежности, то столько же будет и правых, так что определение индекса подгруппы при помощи левых илн правых классов смежности дает одно и то же. 6. Циклические группы. Группа, составленная положптельнымн н отрицательными степенями одного элемента а, называется циклической группой. Говорят, это элемент а порождает такую группу.

Ясно, что элемект а-' тоже можно считать порождающим. Элементы ..., а-", ..., а-', 1, а, ..., а", ... могут быть все попарно различны. В этом случае группа называется бесконечной (или свободной) циклической. Примером свободной циклической группы может служить группа целых чисел отиоснтельио сложения. Любая свободная циклическая группа ей 'изоморфна, изоморфизм задается соответствием н а", ибо при умножении степеней элемента а показатели складываются.

Но возможно, что среди элементов циклической группы имеются равные. Если а' = а~ прн й ) нг, то ае-" =1, так что в этом случае некоторая степень о натуральным показателем порождаю- новмяльныв подгэуппы и ФяктоРГРуппы щего элемента равна 1. Наименьший натуральный показатель„ обладающий этим свойством, называется порядком элемента а.

Если порядок равен числу и, то среди элементов 1, а, ..., а"-' пет равных, ибо если бы нашлись равные, то разность показателей дала бы натуральный показатель, меньший чем и, обращающий степень а в единицу. Всякий же элемент а" равен одному из. 1, а, ..., а ', именно, а', где г — остаток от деления т на и. Таким образом, порядок группы, порожденной элементом порядка и„ тоже равен и. 7. Циклические подгруппы группы. Пусть 6 — данная группа.

Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если 6 — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы 6 делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку порождающего элемента. Таким образом, верна следующая важная теорема. Теорема 9. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента. Пусть 6 — конечная группа порядка т и а — некоторый ее элемент порядка й. Тогда т = И прн целом 1 и а'" =(аь)'=1. Следовательно, верно следующее предложение. Предложение 10. Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу.

Это предложение не потребовало для своего доказательства особенно глубоких соображений. Однако из него непосредственно следует такой, казалось бы, нетривиальный факт, как теорема Эйлера. Действительно, примитивные классы вычетов по модулю и образуют группу относительно умножения и порядок атой группы равен значению ~р(т) функции Эйлера.

Следовательно, для любого примитивного класса а имеет место равенство йч< '=Т или, на языке сравнений, ачом = 1(гной т). Заметим, что прн доказательстве теоремы Эйлера в гл. 1 мы использовали коммутативность умножения, в то время как в предложении 10 коммутативность группы не предполагается. ф 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы 1. Определение. Элемент Ь группы 6 называется сопряясенным с элементом а~ если существует сан 6.

такой, что Ь = с-'ас. Подгруппа Н группы 6 называется нормальной (илн инвариантной, или нормальным делителем группы 6), если она вместе с каждым элементом содержит все сопряженные. В абелевой группе лйбгя подгруппа нормальна, так яак в такой группе при любых а и с будет с-'ас = а. В группе квадратных невырожденных матриц над некоторым полем множество матриц с определителем 1 образует нормальную подгруппу.

Действительно, если йе1А 1, то де1А-' = 1, и если ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Х 24З бе! В =1, то бе[ АВ = 1. Далее, при любой невырожденной С бу- дет де!(С-'АС) = де1А 1. Группа ортогональных матриц — под- группа в группе всех вещественных невырожденных матриц, но ох эта подгруппа не является нормальной, ибо, например, 2 ! ! О 2 ! 3 2 ОРТОГОНЕЛЬНЕ НО [ ! ! ) [ О ! ) [ ! ! ) ( 4 з ) НЕ ОРТОГО нальна. Из определения нор[на(у ной подгруппы ясно, что нормальная подгруппа Н группы 6 пил[[ется нормальной подгруппой для 'лю- ' бой подгруппы К, содержащей Н. Действительно, если а еи Н и включение с-'ас ее Н выполняется при всех с еи 6, то оно подавно будет выполняться при всех с ее К. 2. Классы смежности по нормальной подгруппе и факторгруппа.

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6 и с — какой-либо элемент 6, Тогда с — ГНс = Н. Действительно, по определению нормальной подгруппы, с-'Нес: Н. Пусть теперь а — любой элемент Н. Тогда сас-' = =(с-') — 'ас — ' ~ Н н а = с-'(сас-')с ~ с-[Нс. Поэтому Н с: с — 'Нс н, следовательно, с-'Нс = Н, Предложение 2.

Если Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6 и с ~ 6, то Нс = сН. Непосредственно следует из с-'Нс Н. Достаточно умножить слева на с. Предложение 3. Классы смежности по нормальной под- группе образуют группу относительно ул[ножения подмножеств группьь Единицей этой группы является сама нормальная под- группа. Доказательство. Пусть 6 — группа и Н вЂ” ее нормальная подгруппа. Рассмотрим произведение двух классов смежности На н НЬ, причем воспользуемся ассоциативностью умножения подмно- жеств н предложением 2. Имеем: На.НЬ = Н(аН)Ь = Н(На)Ь = =(НН)аЬ = НаЬ. Таким образом, произведение двух классов смежности оказалось классом смежности.

Характеристики

Список файлов лекций