1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Х Н, есть, очевидно, подгруппа группы бс Х 6» Х . ... Х 6». Если Нс являются нормальными подгруппами групп бь то Нс Х Н» Х . Х Н» есть нормальная подгруппа группьс бс Х 6»Х ° ° ° Х 6». П р е д л о ж е н и е 4, Факторгруппа группы Ос Х 6» Х ° Х 6» по Н, Х Н»Х ... ХН» равна (бс/Нс)Х(6»/Н»)Х . Х(б»/Нс). Доказательство. Смежные классы группы 6, Х 6»Х ...

° .. Х 6» по Нс Х Нг Х Х Н» образованы последовательностями (г,ас, г»аз, ..., г»а»), где гс пробегает Нь а а; — фиксированные элементы из Оь Эти множества естественно рассматривать как последовательности классов смежности (Нсас, Н,ам..., Н»а,). Покомпонентное умножение элементов этих множеств сводится к покомпонентному умножению классов смежности, т. е. элементов факторгрупп О;/Нь Тем самым предложение доказано.

в 6. Группы преобразований 1. Определения. Пусть задано некоторое множество М и группа б, «действующая» на элементы этого множества. Точнее, это значит, что определено действие (мы будем обозначать его как умножение), сопоставляющее элементу из М и элементу из 6 новый элемент из М. При этом требуется выполнение следующих аксиом: 1.

и 1 = и при любом и ~М; 1 обозначает единипу группы 6. 2. и(гсг2) = (спгс)гг ссрн любых пс ~ М, гс и г» из О. элементы теоРии ГРупп 1гл. к Здесь элементы записываются как операторы, действующие на элементы нз М справа. Принята также левая запись, при которой действие ген 6 на т ~ М записывается в форме гт. При левой записи аксиомы записываются в виде: 1. 1.

т = т. 2. (г~гз)т = г>(г,т). Правая н левая запч>си совершенно равносильны, но в действии произведения элементов группы на т енМ имеется разница. Прн правой записи первым действующим является левый сомножитель, а затем действует правый.

При левой записи наоборот первым действующим является правый сомножнтель. В этом параграфе мы будем пользоваться правой записью. Иногда будем применять левую, и фактически это уже было сделано в другой ситуации при рассмотрении гомоморфизмов. Множество М, на котором определено действие группы 6, носит название 6-операторного множества, нли, короче, 6-множества. Его элементы будем называть тачками. Пусть т — некоторый элемент из М.

Множество т6, т. е. множество всех тг при ген 6, называется орбитой, порожденной точкой т. Точка т>, лежащая на орбите, порожденной точкой т, порождает ту же орбиту. Действительно, пусть т> = тгь Тогда т,6 = (тг>) 6 т(г~6) гп6. Таким образом, орбиты могут либо совпадать, либо не иметь общих элементов. Тем самым 6-множество разбивается на орбиты. Каждая орбита, в свою очередь, является 6-операторным множеством, состоящим нз одной орбиты, именно, себя самой.

Если 6-множество М состоит нз одной орбиты, то говорят, что 6 действует на М транзигивио, а само множество М называют однородным пространством по отношению к группе 6. Рассмотрим некоторые примеры. П р и мер !. М вЂ” множество точек на плоскости, 6 — группа векторов относительно сложения. Действие вектора на точку определяется как перенос точки на этот вектор. Ясно, что здесь одна орбита„ так что множество точек на плоскости является однородным пространством по отношению к переносам на векторы, т. е.

параллельным переносам. Пример 2. М вЂ” множество точек на плоскости, 6 — группа всех движений плоскости. Это тоже однородное пространство. Пр имер 3. М вЂ” множество точек на плоскости, 6 — группа вращений вокруг фиксированной точки О. Здесь орбитами будут окружности с центром в О и сама точка О. 2. Классы сопряженных элементов. В качестве множества М возьмем саму группу 6 и действие элемента г~ 6 на элемент а ~ 6 определим как сопряжение г-'аг. Здесь записывать такое действие в виде правого умножения неудобно, получится путаница ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАН]ГВ зв] $5] с обычным умножением в группе, поэтому оператор сопряжения поднимем в показатель, т.

е. будем записывать з-!аз = а*. Выполнение аксиом легко проверяется: а =1 а1=а, а~~о1 — 3 — !з-1аз 3 — 3 — 1/з 1аа )Я =3 1(!2м)2 (аи)*~ 2 1 1 2 2 ~ 1 1) 2 2 2 Орбиты в этой ситуации называются классами сопряженных элементов. Среди них имеются состоящие из одного элемента. Таков класс, порожденный единицей, нбо з-11з = 1 при всех з. Такими же будут классы, составленные из каждого элемента центра, ибо если а принадлежит центру, то а' = г-1аз = г-1за = = а при любом ге= О.

3. Строение однородных пространств. Рассмотрим егце один очень важный пример внутри самой теории групп. Пусть 6 — группа и Н вЂ” некоторая ее подгруппа. Рассмотрим множество левых классов смежности На, определив на этом множестве действие группы О как правое умножение на ее элементы, т. е. положив (На)з = Наг для ге= 6. Это действие действительно переводит левые классы смежности в левые классы смежности, и выполнение аксиом 6-операторного множества тривиально.

Все классы смежности составляют одну орбиту, ибо На,= =(На!)а! 'а,, т. е. множество левых классов смежности образует однородное пространство по отношению к правым умножениям на элементы группы О. Важность этого примера состоит в том, что пространство классов смежности является изоморфной моделью для любого однородного О-пространства, Уточним сказанное.

Скажем, что Опоператорное множество М1 и 62-операторное множество М, изоморфны, если группы О, и 62 изоморфны и имеется взаимно однозначное соответствие между элементами М, и М2, сохраняющееся при применении соответствующих друг другу элементов групп 61 и 62. Теор е м а 1. Любое однородное 6-пространство М изоморфно пространству классов смежности по некоторой подгруппе. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть то — некоторая точка пространства М.

Рассмотрим множество Н всех элементов группы О таких, которые не изменяют т,, т. е. таких г он 6, что тоа = — то. Очевидно, что такие элементы образуют подгруппу группы 6, ибо если тоз = то, то тозе-1 = тог ', т. Е. тог-' =!но, И ЕСЛИ туг! = =то и того=то, то то(з!го)=(тог!)го = тово=то Подгруппа Н называется стабилизатором точки то. Возьмем теперь любую другую точку т1.

Так как М однородно, т. е. состоит из одной орбиты, найдется элемент хе= О такой, что тох = т,. Выясним, какие еще элементы преобразуют то в т]. Пусть тоу = т1. Тогда 262 алименты теОРии ГРупп !Гл х тоху-' = гн|у-' =лчо, так что ху-' с=Н и х~Ну. Таким образом, элементы нз 6, одинаково преобразующие точку т„принадлежат одному левому классу смежности по стабилизатору. Обратно, если элементы х и у принадлежат одному левому классу'смегкности по стабилизатору, то тзх = т,у. Таким образом, между точками однородного пространства л4 и левыми классами смежности по стабилизатору имеется взаимно однозначное соответствие.

Оно сохраняется при умножении справа на элементы 6. Действительно, если т~ —— тох, то точке тн1 соответствуе~ класс Нх. Пусть тз = т|у = гпзху. Этой точке соответствует класс Нху =(Нх)у. Теорема 1 доказана. Сделаем одно замечание. Мы установили, что однородное пространство изоморфно пространству левых классов смежности по стабилизатору некоторой точки гпэ, выбранной произвольно. Но у разных точек стабилизаторы различны. Почему же выбор точек тю произволен? Для того чтобы в этом разобраться, выясним, как связаны стабилизаторы различных точек.

Пусть, как и раньше, стабилизатор точки т, обозначен Н. Для любой друтой точки т1 имеем т1 = тзх при некотором хан 6. Равенство т~г = ~и, равносильно равенствам н1охг = зарх, тзхгх-' = тм что имеет место в том и только в том случае, если хгх — ' е- =Н, т. е. геях-'Нх. Таким образом, стабилизатор точки т~ есть х 'Нх. Изоморфное отображение группы 6 на себя называется автоморфизлом группы, Отображение а эх — 'ах при фиксированном хек 6 есть, очевидно, отображение 6 на себя, причем изоморфное, ибо х — 'а~а~х =-(х — 'а1х) (х-'азх), т.

е. оно является автоморфизмом. Такой автоморфизм называется внутренним. При этом автоморфизме подгруппа Н группь1 6 переходит в сопряженную подгруппу х-'Нх. Левый класс смежности На переходит во множество х-'Нах = х-'Нхх-'ах, которое является левым классом смежности по подгруппе х-'Нх, порожденным элементом х-'ах. Ясно, что преобразование классов смежности по подгруппе Н, вызванное умножением справа на г~ 6, будет таким же, иак преобразование классов смежности по подгруппе х-'Нх, вызванное умножением справа на элемент х-'гх. Поэтому пространство классов смежности по подгруппе Н изоморфно пространству классов смежности по сопряженной подгруппе х-'Нх.

Наличие такого изоморфизма может служить объяснением того, что прн доказательстве теоремы 1 можно было взять точку т„и ее стабилизатор произвольно. 4. К теории подстановок. Как уже говорилось, подстановками называются взаимно однозначные отображения на себя конечных множеств. Будем считать, что (1, 2, ..., и) — множество, на котором действуют подстановки. Пусть о — некоторая подстановка и 1, о..., и -' — циклическая группа, порожденная подстановкой и, Множество переставляемых элементов разбивается на орбиты, и подстановка вполне определяется тем, как она действует на каждой ГРуппы приовр»зов»нии орбите.

Пусть ао — один из переставляемых элементов. Обозначнм через а! тот, который получается из ао применением подстановки а, через ао тот, который получается из а, применением оо (т. е. применением о к а!), и т. д. При продолжении этого процесса в конце концов вернемся к элементу ао. Таким образом, элементы орбиты, содержащей ао, естественно располагаются в порядке (ао, а!, ..., а» !), в котором подстановка о переставляет элементы по кругу. Таким же образом элементы располагаются иа всех орбитах. Подстановка разбивается на циклы: о=(ао, аь "., а»-!)(Ьо, Ь! ", Ь !) ... (со, с!, ..., с, !).

Если каждый цикл (ао, аь ..., а» !) рассматривать как подстановку, циклически переставляющую элементы а,, а!, ..., а, ! и оставляющую все остальные элементы на своих местах, то мы можем рассматривать равенство о =(ао, а!, ..., а»-!) (Ьо, Ь! ° °, Ь !) ... (со. сь ° ° ., с, !) как разложение подстановки в произведение циклов, попарно ие содержащих общих элементов. Легко видеть, что цикл (а,, аь ..., а» !) допускает такое разложение в произведение транспозиций: (ао.

аь ° ., а»-!) (ао, а!)(ао, ао) ... (ао, а» !), откуда следует, что цикл нечетной длины является четной подстановкой, цикл четной длины — нечетной. Поэтому четность или нечетность подстановки совпадает с четиостью или иечетностью ко. личества циклов четной длины. Предложение 2. Пусть а — подстановка, разложенная на циклы, и т — некоторая другая подстановка.

Характеристики

Список файлов лекций