1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Ясно, что аз =- = Ь'= 1, Отражение а переводит точку с абсциссой х в точку с абсциссой — х, отражение Ь преобразует х в с — х. Следовательно, преобразование ПЬ переводит х в с †( — х) = с + х, т. е. ПЬ есть сдвиг на с. Группа сдвигов на кратные с есть свободная циклическая группа. Поэтому все произведения чередующихся букв а и Ь различны, т.

е. группа, порожденная отражениями от двух параллельных прямых, есть свободное произведение двух циклических групп второго порядка. 5 8. Конечные абелевы группы 1. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму прнмарных абелеяых групп. В этом и следующем параграфах мы изложим теорию конечно порожденных абелевых групп, причем бу- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 1ГЛ.

Х дем пользоваться аддитивной записью и соответствующей терминологией. Действие в группе будем называть сложением и обозначать знаком +, нейтральный элемент назовем нулем группы и обозначим О, вместо обратного элемента будем говорить о противоположном, вместо степеней — о кратных, вместо термина прямое произведение будем говорить прямая сумма и для обозначения прямой суммы будем использовать знак 9. Пусть 6 — конечная абелева группа и а — ее элемент. Натуральное число т такое, что та = О, назовем аннуллтором элемента а. Среди аннуляторов найдется минимальный, именно, порядок элемента а. П р е д л о ж е н и е 1. Все аннуляторы элемента а е= 6 делятся на его порядок. Действительно, пусть т — порядок элемента а и т~ — какой- либо другой аннулятор.

Тогда т1 — — ту+ г, О ( г ( т — 1, и Га = т1а — дта = О, и, следовательно, г = О, в силу минимальности аннулятора т. Аннуллтором группы называется натуральное число, при умножении на которое аннулируются все элементы группы. Порядок группы принадлежит к числу ее аннуляторов. Среди аннуляторов группы существует минимальный и все аннуляторы на него делятся. Предложение 2. Пусть т — аннулптор группы 6 и т = т|тм причем т1 и тг взаимно просты. Тогда 6 разлагается в прямую сумму двук подгрупп, одна из которык аннулируется числом ть другая — числом ть Доказательство. Пусть 61 — множество всех элементов группы 6, которые аннулируются числом ть и 6г — то же для пим Ясно, что 61 и 6г — подгруппы 6.

Ввиду взаимной простоты т, н т, найдутся целые числа и~ н иг такие, что т,и~ + тгиг = 1. Пусть а ~ 6. Тогда а = т,и1а + т,и,а. Первое слагаемое т1и1 а принадлежит 6м ибо т,т,и~а = О. Соответственно второе принадлежит бь Таким образом, 6 = 6~+ 6ь Чтобы убедиться в том, что сумма прямая, остается установить, что 6~ П 6г = О. Пусть а ~ ее 6~ П 6ь Из равенства а = т1и~а+ тгига заключаем, что а = О, ибо равны нулю оба слагаемых правой части.

Заметим, что из самого построения групп 6~ и 6г следует, что они определены однозначно. Предложение 3. Пусть аннулятор т группы 6 разлагается в произведение т = т~тг ... ть попарно взаимно простык сомножителей. Тогда 6 разлагается в прямую сумму подгрупп с аннуляторами т,, тм ..,, ть Непосредственно следует из предложения 2. Конечная абелева группа называется примарной, если ее аннулятор есть степень простого числа.

Теор е ма 4. Конечная абелева группа разлагается в прямую сумму примарнык подгрупп. КОНЕЧНЫЕ АВЕЛЕВЫ ГРУППЫ Следует из предложения 3, в применении к каноническому разложению аннулятора: т=р',р," ... р'ь. 2. Подгруппы циклической группы. П р е дл о ж е н и е 5. Все подгруппы конечной циклической группы порядки т цикличны, и их образующими явля>огсз элементы вида а", где а — образующий данной еруппы, й — делитель числа т. До к аз а т ел ь с т в о. Пусть 6 — циклическая группа порядка т с образующим а н Н вЂ” ее подгруппа.

Пусть й — наименьшее натуральное число, при котором да ее Н. Тогда т делится па й, ибо если т = йд + Г, О ( г ( й — 1, то га = та — ада = — ода ее Н, и, в силу минимальности й, Г = О. Если йа ее Н, то й делится на й, ибо если»г = ад~+ Гь О ( г, ( а — 1, то г»а =па — д,йа е.= Н и 㻠— — 'О. Таким образом, йа — образующий группы Н. Порядок Н равен т/й. При любом й, делящем т, элемент йа порождает подгруппу Н порядка т/й.

В частности, если т = р, то все подгруппы группы О образуют цепочку 6:» 6,:» 6;.:» ...:» 6,:»О, где 6» — подгруппа, порожденная р'а. 3. Разложение примарной абелевой группы впрямую сумму яримарных циклических групп. П р е д л о ж е н и е 6. Пусть Н вЂ” подгруппа абелевой группы 6 и из классов смежности 6 по Н можно извлечь по одному представителю так, что они образуют группу Р (очевидно, изоморфнузо факторгруппе О/Н). Тогда 6 = НЕ Р, Доказательство. Н+ Р= 6, ибо в Н+ Р присутствуют все элементы всех классов смежности. Н П Р = О, ибо при естественном гомоморфизме 6 на О/Н все элементы Н П Р отображаются в нулевой класс факторгруппы, и элемент группы Р, принадлежащий нулевому классу, может быть только О.

Следовательно, по теореме 2 3 3, 6 = Н Ю Р. Теорема 7. Нримарная конечная группа 6 моясет быть разложена в прямую сумму примарных циклических групп. Доказательство проведем посредством индукции по порядку группы. Базу для индукции составляют группы простого порядка, ибо они цикличны. Пусть р" — минимальный аннулятор группы 6. Тогда найдется элемент а, ее 6, порядок которого равен р»ч Пусть Н, — циклическая подгруппа, порожденная элементом аь Если Н, совпадает с 6, то вопрос исчерпан, 6 сама циклична. Пусть Н~ не совпадает с 6. Рассмотрим факторгруппу 6/Нь Оиа прнмарна, ее минимальный аннулятор равен ра при р' ~ аь и ее порядок меньше порядка 6.

Согласно индуктивному предположению она является прямой суммой циклических групп Лм ..., Н» с образующими аь ..., а». Постараемся выбрать из классов смежности такие представители элементы теоРии ТРупп 278 [ГЛ. Х а,, ..., аы чтобы их порядки совпадали с порядками аь ..., а,. Тогда они порождают подгруппу Р„изоморфную 6/Н, т. е. представимую в виде прямой суммы циклических групп Н,, ..., Н„, изоморфных Нм ..., Нь В силу предложения 6 группа 6 равна Н[ 9Р=Н~ 9 Нг® ... Ю Нг Таким образом, для завершения доказательства теоремы нам нужно позаботиться о выборе представителей из классов аг,..., аы Пусть р" — порядок аг.

Ясно, что аг -~(и[. Выберем из класса аг какой-либо элемент а',. Тогда р"'агне Н„так что р'-аг'=[а, при некотором целом й Далее, р ..р'га,',=О, такчто р'~ [а[=О. Это значит, что рм-"Ч делится на рэ и [ делится на р""-, [=р'Ь[н Положим а =а',— [,а,е=аг Тогда р а,= р"аг — р" [,а, =[а, — !а,= =О. Выбранный представитель а, класса а, удовлетворяет поставленному требованию. Аналогично выбираются представители из классов ам ..., аг. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что порядок нримарной абелевой группы равен степени того же простого числа, которое входит в аннулятор. Так как порядок прямой суммы групп равен произведению порядков слагаемых, мы видим, что порядок конечной абелевой группы есть произведение степеней простых чисел, входящих в аннулятор, так что примарные сомножители канонического разложения порядка группы совпадают с порядками примарных прямых слагаемых.

4. Инвариантность порядков циклических прямых слагаемых прпмарной абелевой группы. Разложение примарной абелевой группы 6 в пряму[о сумму циклических подгрупп не однозначно, но тем не менее число прямых слагаемых и их порядки не зависят от способа разложения. Чтобы доказать это, обозначим через [, число прямых слагаемых максимального порядка р, через [г— число прямых слагаемых порядка р"-', ..., через г — число прямых слагаемых порядка р.

Тогда р6 есть прямая сумма г[ циклических групп порядка р"-', гг циклических групп порядка р"-', ... [ цнклических групп порядка р. Поэтому 6/р6 есть прямая сумма групп порядка р в количестве [1+ [г+ . + [э и ее порядок равен р"+' "'"+'«Таким же образом р6/рг6 есть прямая сумма [[+ [г+ ... +! [ групп порядка р и ес порядок равен р'+"+'"+' -' и т. д. Таким образом, суммы [, +1,+ ... + [„, [[+ [г+ . ° ° +[э-г ° [~ + [г, й имеют инвариантный смысл как показатели при р в порядках факторгрупп р' — '6/р'6.

Следова.- тельно, числа [[, йь ..., [„ Тоже инвариантны. 5 9. Конечно порожденные абелевы группы 1. Подгруппы конечно порожденных абелевых групп. Пусть 6— эддитивно записанная абелева группа с конечным числом образуюших и[, иг, ..., и„. Тогда все ее элементы представляются в кОнечнО пОРожденные Авелевы ГРуппы виде т~и~ + тзиз + .. ° + т и с целыми ть тм ..., т», причем такая запись может быть неоднозначной из-за наличия соотношений между образующими. Т е о р е м а 1 Подгруппа конечно порожденной абелевой группы конечно порождена, и ее образующие можно выбрать так, чтобы их число было не больше числа образующих группы, Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть 6 — абелева группа с образующими иь иь ..., и„и Н вЂ” ее подгруппа. Доказательство проведем методом математической индукции по числу образующих. Для групп с одним образующим иь т. е. для циклических групп, теорема верна, ибо всякая подгруппа конечной или бесконечной циклической группы сама циклична н порождается элементом йи~ с наименьшим натуральным й. Допустим, что теорема верна для подгрупп группы, порожденной меньше чем и образующими, и в этом предположении докажем ее для подгрупп группы с п образующими.

Рассмотрим элемент о~ = т,и~ + тьиз+ ... + т,и, еп Н с наименыпим натуральным коэффициентом ть Покажем, что для любого о = 1~и~+ 1гиг+ ... + 1»и»е= Н коэффициент 1~ делится на ть С этой целью выполним деление с остатком: 1~ щ~о+г, О ( г - т1 — 1, и положим о'= о — уо, =ги, + т,'и,+... +т'„и„еп ~ Н, откуда заключаем, в силу минимальности ть что г = О, так что о'=о — уо,=т',из+ ...

+т'„и„. Обозначим через 6' подгруппу 6, порожденную из, ..., и„. Тогда о'ЕЕН'= Н()6'. Группа Н' является подгруппой группы 6', имеющей и — 1 образующий, В силу индуктивного предположения, Н' конечно порождена и образующие можно выбрать так, что их число не больше и — 1. Пусть о„..., о„— эти образующие (некоторые из них могут быть равны О). Тогда о' = йзог+ ... + й,о, при целых й~ и о = до, + о'=до1+ йзох+ ...

Характеристики

Список файлов лекций