1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Найдя Рь Рм Рз нужно извлечь из них квадратные корни, распорядившись знаками корней так, чтобы их произведение равнялось 1"', — 4Ц, + 81 КоРни хь хм хм х4 найдем из системы линейных УРавнений. Получим 4 Й+ Уь+ ч~Р + Рз) хт = — ()' + ~ Р1 — ч'Р— 1Рз), хз = —,' (1 — Ъ'Р +;/Рт — 1Р,), = —,'11 — Р— Р + ~/Р.). Тонкий анализ близких идей привел Руффини и Абеля к доказательству неразрешимости в радикалах общих уравнений пятоге и выше степени. Мы пе будем касаться этого трудного вопроса.
5 3. Результант 1. Определение результанта при помощи симметрических полииомов. Для двух полиномов 1(х) =— аех" + а,х"-'+ ... + а„и п(х) = Ьох'" + Ь!х -' + ... + Ь, ао чь О, Ь4 4= О, можно построить полинам от их коэффициентов так, что обращение его в нуль происходит в том и только н том случае, когда 1 и а не взаимно просты, т. е. если они имеют общий корень в надлежащем расширению основного поля. Рпзультхнт Пусть х,, хо, ..., х,— корни полинома 1. Симметрический полином у(х|)у(хо) ... у(х„) от хь хь ..., х, обращается в нуль то том и только в том случае, когда один из корней полинома ! ивляется корнем полинома у.
В высший член этого полинома х| входит с показателем и, поэтому аоу(х,)у(хо) ... у(х,) является |нолиномом от коэффициентов ! и, очевидно, полиномом от коэфо(|ицнентов у. Этот полипом называется резульгантож полиномов 1 и у и обозначается )| (1, у). Определение результанта кажется не симметричным по отнотпению к полиномам 1 и у. В действительности это определение «почти симметрично», именно, 1т(у, 1)=( — 1) "И(1, у). Для доказательства этой формулы введем в рассмотрение корни д|, уь ...
, у„полинома у, так что у(х) = Ьо(х — у|) (х — уо) ... (х — у„); Тогда у(х|) у(хо)...у(х)=ЬоП(х,— у ) и 1((1„у)=ао ЬоП(х, — у ) = Ц = ( — 1)"'" ао»Ьо П (у| — х|). Далее, ао П (у| — х) = ! (у!), так что )|((1', у) = ( — 1)""Ь," П 1 (д;) ! =( — !)"")с(у, 1). Отметим еще некоторые свойства результанта. Прежде всего .ясно, что результант является однородным полиномом степени и от коэффициентов полниома у и, в силу соотношения 1|(у,1) = =( — !) о)т(1, у), однородным полиномом степени т от коэффиодиентов полинома ). Далее, назовем весом одночлена а,',оа" ,... а'„«Ьоа Ь~ ...
Ь" число а|+ 2ао+ ... + па„+ )1|+ 2ро+ ... + тр . Ясно, что веса коэффициентов а|, ..., а„равны степеням соответствующих «основных симметрических полиномов от х|, хь ..., х, и веса Ь„..., Ь равны степеням соответствующих основных симметрических полиномов от уь у|ь ..., у, веса же ао и Ь, считаются уавнымн нулю. Поэтому вес одночлена а,'оа" ,...
а'„»Ьоооб~ ... Ьв равен полной степени этого одночлена, рассматриваемого как полинам от хь хо,..., х„, д|, ум..., у . Но результантпо Ьо П (х, — у!) есть однородный полипом степени тп относительно х|, хо,, х„ у„у,, ..., у . Поэтому веса всех одночленов, составляющих результант, одинаковы и равны тп. В качестве примера приведем результант полиномов )' а,хо+ -+ а|х+ ао и у = Ьохо+ Ь|х+ Ьь Вычисления здесь не представляют труда, и мы выпишем результат этих вычислений; .!С(1, У) = аобо — а,а,Ь,Ь, + а,а,Ь', — 2а,а,ЬоЬ»+ а»Ь,Ь» — а,аоЬД + а,'Ьоо.
2. Другой способ построения результаита. Для взаимной прос. .готы полиномов 1= аох" + а|х"-'+ ... + а„и у Ьох'"+ Ь!х -'+ ... + Ь,„ симмвтРическив полиномы [гл. ху р =сох"-'+ с|х о+ ... + с ь ~ — с(охл-~ ( о(ьто-2 + + г( Будем считать, для определенности, что т . п. Прнравниваоо к нулю коэффициенты при степенях х в полиноме р(+ аа, получим систему т+ и линейных однородных уравнений отиосительноь со, ..., с ь до, посо + ЬоА = О, п1со+ аось + ЬН(о + Ьой~ — — О, а„с,+Ь И„,=О. Матрица М равна из коэффициентов этой системы, как легко видеть Ь ао Ь! Ьо а1 ао Ь, Ь1 Ьо ао а1 ао ао Ь вЂ”, Ь Ь ... а1 Ь„, Ь вЂ” Ь 6,„6 ...
аа,о+1 ао-о3+2 ащ-1 ат-2 а~о 3 Ьо ь, Ьо а,„а„, ила- а„ Ь,„ Ь Ьл ао-1 Элементы выше ао и Ьо и элементы ниже а„и ниже Ь все равньа нулю. Для сушествования отличных от нуля полиномов р и д, т. е. для того чтобы полиномы 1' и й. были не взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы де1М = О. Таким образом, де1М играет такую же роль, как результант Я(1, я), Теорем а 1. де1 М = Я (1", й ).
необходимо и достаточно, чтобы не существовало отлнчнык от нуля полиномов р и д, степени которых меньше т и и соответственно, и таких, что рг+ дй'= О. Действительно, если 1 и хо взаимно просты, то из равенства р(+ дя = О следует, что р делится на д и д делится на Г, а это при сделанных ограничениях на степени возможно только при р = О н т = О. Если же 1 и и не взаимно просты и г1 Фсопэ( — их общий делитель, то можно взять К р= ч а' Попытаемся найти полиномы р и д способом неопределенных коэффициентов, т. е. найдем уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты полиномов р и а. Пусть Результкнт Чо! Сперва предположим, что'к! попарно различны, Умножим матрицу М слева на матрицу: Х2 ...Х2 ! л2+л-! х, ш+л-! Х2 т+л-! хл Е„, а.')пределитель этой матрицы равен Х2 ...
Х2 ! ( — 1) " эь О, л — 1 Хл - Хл ! Получим: х", 'д(х!) хл! а(х!) ... а(х!) Хо Х (Хк) Х2 а (хк) ... К (хо) х,", 'я(кл) х,", а(хл) ... Р(х„) ь ь! ао а ао ь (ал! ! ал-! ... ао ь — ь — ... ь Б нижних клетках выше ао и выше Ьо находятся нули. Поэтому л-! к! л-! Х2 л — 2 К2 ! де1 Г.М = ( — 1)""а,"1( (х!) я (хк) ... д (х,) кл л л Поделив обе части равенства на де1Е~ О, получим бе(М =по и(к)д(х,) ... и (хл) =Я(1, а).
Равенство де1М = 22(1, д) установлено в предположении, что х„хо, ..., х„попарно различны, а это равносильно тому, что .дискриминант 0(1) полинома 1 отличен от нуля. Итак, бе1М и 22(!', А2) оба являются полиномами от коэффи.циентов 1 и д и они принимают одинаковые значения при условии, что полипом В(1) отличен от нули.
По предложению о несущественности алгебраических неравенств (стр. 71) де1 М и !т (1, л'), равны тождественно. При выполнении умножения 2. на М примем во внимание, что .аохло+а,хл-'+ ... +ах=О и Ь,х, +Ь,х, -'+ ... + Ь„=д(х!). СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ 298 ггл. хэ 3. Линейное представление результаита. Пусть полиномы ! н у взаимно просты, так что их результант отличен от нуля. Тогда существуют такие полиномы р и д, что рГ+ дд = 1.
Если потребовать, чтобы степени д и р были меньше, соответственно, степеней ! и д, то такие д и р определены однозначно. Г1оложив, как в предыдущем пункте, р=с,х -'+ ... +с г и у=4>х"-г+ ... ... + г(, г, мы получим для определения коэффициентов систему линейных уравнений с матрицей М и со столбцом в правой части„ состоящим из нулей, кроме последней компоненты, равной 1. По формулам Крамера коэффициенты са ..., с г являются частными от деления первых т алгебраических дополнений последней строки определителя матрицы М на бе!М = !с(Г, д), а коэффициенты Ыь ... „г(„г суть частные от деления на бе1М алгебраических дополнений с номерами от т+ 1 до и элементов последней строки.
Положив (бе!М) р = Р, (де!М)д = Щ получим, что коэффициенты Р и !,г будут полиномами от коэффициентов ! и у. и имеет место равенство (+ау (1, а) Ясно, что полином Р равен определителю матрицы, получающейся из матрицы М заменой первых т элементов последней строки на х -', х"-з, ..., 1, а остальных — на нули. Соответственно, полнном Я равен определителю матрицы, получающейся из ле заменой первых т элементов последней строки на нули, а последующих — на х"-', х ', ..., 1.
4. Применение результаита к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Птсть дана система уравнений Г(х, у) =О, гг(х, у)=О, где !" и д — полиномы степеней л и т соответственно. Будем предполагать, что коэффициенты полиномов принадлежат алгебраически замкнутому полю и решения разыскиваются в этом поле (Заметим, что алгебраически замкнутое поле даже в случае ненулевой характеристики содержит бесконечно много элементов Действительно, к любой конечной системе элементов аг, агь ..., а можно присоединить новый элемент, например, корень полинома '(х — аг) (х — ад) ... (х — а,)+ 1.) Пусть сох" + сгх"-'у+ ... + с„у" — однородная часть степени и полинома Г(х, у).
Возможно, что с» = О. Сделаем «перекос осн абсцисс» посредством замены неизвестной у на у'= у — ах (новая ось абсцисс у' = О имеет в исходных координатах х, у уравнение у — ах = О). Коэффициент при х" станет равным с„+ + с,а+... + с„а", и а можно выбрать так, что аэ —— с,+сга+... „. + с,а" Ф О (это требование налагает конечное число запретов яз1 Разул ьтх ит аа выбор и).
Одновременно можно добиться того, что коэффициент прн х~ в у(х, д) станет отличным от нуля. В дальнейшем мы еще ,наложим некоторые запреты на выбор «коэффициента перекосаъ и. Ясно, что решение системы ((х, у) =О, у(х,д)=О и решение системы после замены у на у'+ах тривиально сво- дятся одно к другому, так что можно с самого начала считать, что коэффициенты аэ и Ьэ при х" в полиноме ((х, д) и при х в поли- иоме у(х, у) отличны от нуля. Итак, пусть ((х, у) = а эх" + а1(у) х"-' +... + а„(д) и у(х, у) = = Ьох" + Ь!(у)х" '+ ° +Ь (у), аочьО, Ьочьй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
