1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Для и = 1 это верно, Остается применить тривиальным образом математическую индукцию, учитывая замечание, предшествующее формулировке предложения. Предложение 1 естественно распространяется на произведение любого числа полиномов. 2. Симметрические полиномы. Полипом Р(хь хм ..., х„) называется симметрическим,~если он не изменяется при всех перестановках входящих в него букв. Примерами симметрических полиномов могут служить так называемые степенные суммы — суммы одинаковых степеней буга. Особо важное место занимают так называемые основные или элементарные симметрические ВЫРАЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОСНОВНЫЕ ПОЛННОМЫ: =х1+хз+ +х 62 = Хьхз+ Х!ХЗ + ° ° + Хи — ьки !3 = Х!ХРХЗ+ Х!хзх4+ ... + Хи-2Х~ — !Хи, (и-! = Х1Х2 ° ° ° Хи-1+ ° ° ° + ХЗХЗ ° ° ° Хи, !и = Х1!2 ... Хи Полинам называется моногенным, если все составляющие его одночлены получаются один из другого посредством перестановки букв.
Очевидно, что каждый моногенный полинам является симметрическим. Из определения симметрического полннома ясно, что если он содержит какой-либо одночлен, то он содержит все одно- члены, получающиеся из него перестановками букв, и их сумма составляет моногенный полинам. Поэтому любой симметрический полипом есть сумма моногенных. Объединяя вместе моногенные полиномы одинаковой степени, получим, что любой симметрический полинам есть сумма однородных симметрических полиномов. 3.
Основная теорема теории симметрических полиномов. Л е м м а, Показатели в выс1ием члене симметрического поли- нома образуют невозрастаюсцую последовательность Доказательство. Пусть г(х„хь ..., хи) — симметрический полинам и Ах,'х',! ... х"„и — его высший член. Нужно доказать, что и! ) 222 ) . ) и,, Допустим противное, что при некотором 1 имеет место а! а!+!. Переставив в одночлене Лх" ,...
... Х 1Х +' ... Х " МЕСтами Х! и Х!+1, Мы ПОЛучим одиочлЕН !" !.!.1 ''' и ЛХ", ...Х',!+!Х,1!...Х"„и,КОтОрмй тОжв СОдЕржИтСя В Г, В СИЛУ СНМ- метричности. Йо построенный одночлен выше исходного, так как показатели прн хь ..., х,, у них одинаковые, а показатель ол+! прн х, во втором одночлене больше показателя он при х! в исходном. Мы пришли к противоречию с тем, что исходный одночлен был высшим. Это противоречие н дает доказательство леммы.
Теорема 2 (основная теорема теории). Любой симметрический полинам может быть представлен в виде полинома от основных симметрических полиномов. Коэффициенты в таком представлении являются целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного полинома, Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно ограничиться рассмотрением однородных симметрических полиномов, Пусть Р(хь хз, ..., хи)— однородный симметрический полинам и Ах",х. ' ... х"и — его высший член. Допустим 'сначала, что коэффициенты Р— целые числа. Подберем одночлен от основных симметрических полнпомов (1, ~2, ..., („так, чтобы высший член этого одночлена как полннома от х1, хз, ..., хи совпал с Ах",х '...
х„и. Ясно, что Еыс- <гл х! 286 СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ шие члены полиномов 1!, 12,...,1, равны, соответственно х!, х,хь ..., Х!Х2 ... Х» Подходящим одночленом является А)! ' 1, "... )' —,' В силу леммы все показатели неотрицательны, так что этот одно- член является полиномом от хь хм ..., х„. Его высший член равен АХ',! »2(Х,Х)"2 "' ... (Х,Х, ...
Х )а -' а (Х,Х ... Х )' = АХ' Х" ... Ха -'Г«. ! ' 2 ''' »-! » Число А, согласно предположению, целое, коэффициенты всех основных симметрических полиномов целые, следователыш, все ко- эффициенты полинома А1,'! "21 ' ! ... )»-' "»1„» целые. Полипом Г (Х, Х2, ...,Х )=Г(Х, Х2,...,Х ) А)а! !)~2 3 1» — 1 л есть снова симметрический полипом с целыми коэффициентами, но его высший член Вх,!х.' ... х„" будет ниже высшего члена полив» нома г, ибо при вычитании высшие члены уменьшаемого и вычи- таемого взаимно уничтожились. Процесс повторяется. Из поли- нома г!(х!, хь ..., х,) вычитаетсЯ полипом Б)Р!! Р21,"! а! ...
В результате получается симметрический полипом г2(х!, хв...,х„), снова с целыми коэффициентами и со старшим членом еще ниже Процесс не может продолжаться без конца, ибо одночленов фикси- рованной степени (и тем более таких, которые могут быть высшими членами симметрических полиномов), каждый из которых ниже предыдущего, может быть лишь конечное число. Процесс мажет оборваться только на том, что прн очередном вычитании полу- чится О.
Итак, ) Ауа!-»2)໠— аа г໠— !-»»)а» щв! 2218! 2», (в»-! а»(а» ! 2 ''' » — 1» Все коэффициенты А, В, ... будут целыми числами. Теперь снимем предположение о том, что коэффициенты исходного полинома были целыми числами. Представим полипом в виде суммы моногенных и в каждом моногенном слагаемом вынесем за скобки коэффициент, общий для всех его членов. В скобках останется полином с коэффицеинтами 1, и его представление через основные полиномы будет иметь целые коэффициенты, а, следовательно, коэффициенты в представлении данного моногенного слагаемого будут целыми кратными коэффициента его одночленов. Из различных моиогенных слагаемых могут возникнуть подобные члены в их представлениях через основные, и, после приведения, получится полипом от 1!, 12, , )» с коэффициентами, выткжвнне чяеез основные являющимися целочисленными линейнгями комбинациями коэффициентов исходного полинома.
Теорема доказана полностью. Эти же идеи позволяют доказать единственность представле. ния симметрического полинома в виде полинома от основных сим. метрических полиномов. Предложение 3. Отличный от нуля полинам от основных симметрических полиномов отличен от нуля и как полипом от хь кь ..., х„. Доказательство.
Пусть Ф(~о 1„..., 4)=А1,"'1 '... 1„"+ + В1,'~;- ... 1„"+ ..., причем среди слагаемых нет отличающихся только коэффициентом. Высший член одночлена А1','т ' ... 4" как ч ь л полинома от хь хм ..., х„равен "хч~+л~+ ' ' +лл ~2+~8+ ''" +~л хлп Аналогично определяются высшие члены других одночленов. Различные одночлены имеют различные высшие члены, и самый высший из них получается лишь из одного одночлена и не имеет подобных среди членов других слагаемых. Поэтому гРЦь1ь ..1.), не равный нулю как полипом от Гь 1м ..., ~,, не может стать равным нулю как полинам от хь хь ..., х„. Отсюда непосредственно следует единственность представления симметрического полинома в виде полинома от основных, ибо если бы были два различных представленйя, разность представлений была бы отличным от нуля полиномом от основных симметрических полиномов, равным нулю как полипом от хь хт, ..., х„, что невозможно.
4. Примеры. Рассмотрим несколько примеров. 1. т (х о х„..., х„) = х', + х', + ... + хт„. Первым членом представления через основные симметрические является ф Ясно, что т" — ~',= — 21,„так что г =1', — 21,. 2. т(хо х„..., х,) = х",+ х,'+ ... + х'„. Первым членом представления является ф Во избежание громоздких вычислений применим следующий прием. Прежде все~о выясним, какие показатели могут быть у высших членов симметрического однородного полинома третьей степени. Задача эта сводится к разбиению числа 3 на невозрастающие слагаемые.
Таких разбиений три: 3 = 3; 3 = 2+1; 3=1+1+1. Поэтому представление однородного симметрического полинома третьей степени имеет вид А~',+ ВЦ,+ С~,. Нужно найти козффициейты. Очевидно, что А = 1, ибо таков коэффициент при хз. Таким об. разом, х~ + хз1+ ... + хз = 1~+ ВЦ + С)' СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИИОМЫ 288 1Гл Х! х', + х, '+ ... + х,", = (', — 3(, (, + 3[ .
р = (х, — хз) (х, — хз) (хэ — хз) . Этот пример нам понадобится в $ 3. Ясно, что г" — симметрический полинам н его высший член равен х',хз. Нам следует установить показатели высших членов, которые встретятся прн представлении Р в виде полинома от основных. Эти показатели должны составлять разбиения числа 6 на три нлн меньше невозрастающих слагаемых, причем эти разбиения должны быть лексикографически не выше разбиения 6=4+2. Такими разбиениями являются 4+ 2, 4+ 1+ 1, 3+ 3, 3.+ 2+ 1, 2+2+ 2. Поэтому представление г" через основные имеет вад Р = )э
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
