1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 61
Текст из файла (страница 61)
— симметрический полипом с высшим членом Ах",'х" ... х„'". Тогда Р(х, х, ..., х )=А)",о-аоф-~о 1'л 1 соГао-Ро)зо-Ро 1за 1 Следовательно ао-ао о -ао Р(сн сн ..., с„)=А~ — — ') (~') " ~( "" ' — '".') ((-1)" Ж) "+'С--.".) ' '(-:;) ' '" " С(-1)' ' — "".,') ' "((-1) —.;)'+" В первое слагаемое множитель — 1 войдет с показателем а~ — око+ +аз — око+ ... Няа,+а,+аз+ ..
+а,(пюо)2). Но а~+ +по+ ... +а, = т — степень одиочлена Ах",х," ... х„". Если полипом Р однородный степени и, то во все слагаемые войдет множитель ( — 1)'". В знаменатель первого слагаемого правой части войдет а',о- о+ао- +"."а =а',о, соответственно в знаменатель второго слагаемого войдет аоа', причем ()1 < со1 и т. д. Поэтому СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИ11ОМЫ 1гл кг для однородного симметрического полинома степени лг будет ( — 1) а»1Р(с„с», ..., с„) = — Яа»1 ага"г аг ., ааа+ Да~1-01аВ,-Вгазг В' ... а"' + т.
е. а„" г" (с„с, „с„) является полиномом от коэффициентов полинома )(х). П р и м е р. Доказать, что корни полинома х!00 + х98 1 а ~97 не могут быть все вещественнымн при любых вещественных коэффициентах а», ..., а . Действительно, сумма квадратов корней равна ае — 2а = — 2. Если бы все корни были вещественные, сумма их квадратов была бы положительным числом. 2.
Степенные суммы. Пусть 1(х) = (х — х1) (х — х»)... (х— — Х,) = Х" — !1Х»-1+ )гка-9+ ... +( — 1) аГ». ВСПОМНИМ, Чта 1'(х)=(х — х»)(х — хз)... (х — х„)+(х — х,)(х — х,)... ... (х — х„)+ ... +(х — х1)(х — хг)... (х — х„,)= р— к 1(х) 1 ! Вычислим —, воспользовавшись схемой Хорнера. В ре- 1 (х) х — х ' зультате последовательно получим коэффициенты частного: 1г Х 11г Х ггглг+1 ' 'г Х гВХ + ''' +( 1) 1 Таким образом, коэффициент при х'-' —" равен хе 9 хе-1~ 9»х»-9 +( !)») Выполнив сложение по 1, получим в качестве коэффициента при х"-'-е выражение зе — М-1 + )ез»-9 — ° ° ° + ( — 1) е Ь-1зг+ ( — 1) "п~е, где зь зе, ...
обозначая»т суммы соответствующих степеней х1, хг, ..., х,. Приравнивая это выражение к коэффициенту при х '-" а !'(х), получим: з» вЂ” Ггз, 1+)гзе 9 — ... +( — !)»-1)* 1зг+( — 1)еа!е = =( — 1)»(п — АЦ», откуда з» вЂ” 781з»-1+1»»з»-8 — ° +( — 1)» 17»-181+( — 1)»Ц» = О, й= 1, ..., и — 1, ЗНЛЧГНИЯ ОТ КОРИВН ПОЛИНОМА 29! Эти формулы г)ьютона позволяют последовательно выражать степенные суммы з„через основные симметрические полиномы для и от 1 до и — 1. Для й ~ и аналогичные формулы выводятся еще проще.
Умножив равенство х,". — 1!х," '+ ... +(-!)" 1„=0 на х,'.-", получим х," — 7!х,"=' + ...+ ( — 1)" 1„х,з "= О. Просуммировав по й получим: зз — (!зз-!+ .. +( — 1)'~ эз-.=О, 3, Дискриминант полинома. Дискримннант полинома, говоря неформально, есть полинам от его коэффициентов, обращение в нуль которого является необходимым и достаточным условием сушествования кратного корня. В качестве полинома от корней, обращающегося в нуль при наличии кратного корня, естественно взять произведение всевозможных разностей корней или, что то же самое, определитель Вандермонда от корней. Но этот полинам не симметрический, он меняет знак при нечетных подстановках корней. Его квадрат (х! — хг)'(х! — хз)' ... (х„! — х )з будет уже симметрическим полиномом, Буква х, входит в высший член этого полинома с показателем 2п — 2.
Поэтому а„'"-'(х, — хг)г ...(х, ! — х„)г является полиномом от коэффициентов полинома 1(х)=аох" + а!х"-'+ ... + а„если вместо букв хь хг, ..., х, подставить корни полинома. Этот полинам и называется дискриминантом о1(1) полинома 1(х). Подсчитаем днскриминант для л = 2 и и = 3. При и =2 буг „ /' а! 4аг 'т дет 1г(!) =а,'(х, — хг)г=ао'(!г! — 4! ) =а;',~ —, — — ) =аг — 4а,а„ Ь ао ао ) гак что мы получили хорошо известный днскримннант квадратного трехчлена. При а = 3 имеем 0(7) =а„'(х, — х,)'(х, — х,)'(х,— хз)'. Этот сиглметрический полинам мы выразили через основные в качестве последнего примера в и. 4 5 1. Было получено: (х, — х )г(х, — хз)г(х — х )г= Фг ~4!о!' 4!'з+ 18! Цз 27!г.
Подставив вместо х!, хг, хз корни полинома 1(х)= аохз+ а!хо+ + агх+ аз получим го з з г а,аг 4а!аз 4аг а!агаз аз (х! хг) (х! хз) (хг хз) = — 4 — ! — —.! +18 — з — 27 4 4 3 аз ао откуда тг (1) = ага; '— 4а',а, — 4азао + 18аоа,ага, — 27а;'аз. Для полинома 7(х) = х'+ рх+ д будет 0(1) = — 4Р— 279~ = — 108( 4 + вт) симывтгические полиномы 292 !Гл.
х! так что дискриминант в этом случае лишь множителем — 10(! отличается от выражения, находящегося под знаком квадратного корня в формуле Кардано. Дискриминанты полиномов более высокой степени имеют, при явном выражении через коэффициенты, очень сложный вид. Однако существуют представления дискриминанта в виде определителя. Одно, самое простое в теоретическол» плане, представление получается так: л-! ! л — ! Х2 1 х! х, Х2 Х2 ! Хл Х„... «1а п2 -2 л-! Хл 1 ...! Хг ° ° ° Хл 2 2 22 ...
Хл 1 х хл ! ! ''' ! 2 л-! 1 Х2 Х2 ' ' Х2 Х, 2 ! «!2л-2 о 1 Хл Х„... Х„" л-! л — 1 л — ! Х, Х2 ...Хл Воспользовавшись тем, что произведение определителей равно определителю произведения их матриц, получим: й гг ° ° ° гл — ! 24 Хг Хг 24 Хл+ ! ))У)=а»л 2 Хл-! Хл гл-»-! ° ° ° Ягл-г где з« вЂ” сумма степеней корней, Существуют более удобные для вычислений представления дискриминанта в виде определителя, но мы не будем на этом останавливаться. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полнномов. Пусть Р(х», х»ь ...
..., хл) — некоторый полином от х», х»ь ..., х„. Под действием некоторых подстановок букв х», хм ..., хл он может не изменяться. Ясно, что множество подстановок, не меняющих данный полипом, образует группу. Эта группа Н является подгруппой всей симметрической группы 5, и ее индекс й равен числу различных полиномов Р = Рь Р2, ..., Рм котоРые можно полУчить из поли- нома Р посредством подстановок х», хм ..., х,. Под действием этих подстановок полпномы Р», Рв ..., Р, перемещаются так же, как левые классы смежности группы 5„по подгруппе Н при умножении на элементы из лл справа.
Поэтому любой симметрический полипом от Р», Рь ..., Рл есть вместе с тем симметрический по- ЛИНОМ От ХЬ Х2, ..., Х„, таК ЧтО ЕСЛИ ВМЕСТО ХЬ Х2, ..., Хл ПОДСтавить корни данного полинома )(х) = х" + а»хл '+ ... + а„, то ссютветствующие значения полиномов Рь Рм, Р» будут кор- знАчения От когнен полнномА нями полинома степени и с коэффициентами, выражающимися :в виде полиномов от коэффициентов аь аз,, а, полннома ).
Рассмотрим в качестве примера применения этих идей вопрос об алгебраическом решении алгебраических уравнений 1(х)=0 при и = 3 и и = 4 в поле комплексных чисел. Пусть и = 3. Рассмотрим полипом 01 = х1+ хзр+ хзрз, где *,р= е'""з — первообразный корень степени 3 из единицы, При круговых подстановках хь хз, хз полинам В~ приобретает множители .р и рз и, следовательно, 0', при этом не меняется.
Круговые подстановки образуют подгруппу индекса 2 в симметрической группе .Зз, и представителями классов смежности можно считать 1 и транспозицню (хз, хз). Она переводит В, в Оз = х~+ хзоз+ хзр н, соответственно,О', в 0,'. Поэтому 0', +О' и ОЯ являются симметрическими полиномами от хь хз, хз. Именно, Оз+ О', = 2х', + 2х,'+ 2хз — 3 (хзх + ...) + 12х,х,хз = =21', — 9(4+ 27( . Симметрическим оказывается не только 0',О,', мо и 0,0,=х',+х',+х,'— х,х,— х,х,— х,х,=)з,— 3~,. Таким образом, О', и 0' определяются как корни квадратного уравнения с известными коэффициентами.
Затем О, и Вз находятся посредством извлечения кубического корня, причем значения корней нужно согласовать так, чтобы произведение 010з равнялось 1з,— 3)з. Далее, хь хз, хз находятся посредством решения линеймой системы х, + хз + хз = ~н х,+хр+хр'=О„ %+хзР +хзР=Оз которая дает х~= — (~,+0~+Оз), хз= з Й+01Р +ОЗР) хз 1 1 з з (~~ + О'Р+ Взр ) Легко видеть, что это решение ничем не отличается от решения но формуле Кардано. Пусть теперь и = 4. В качестве Р~ возьмем х,хз+ хзхь Полипом Р, не меняется при восьми подстановках, составляющих подгруппу индекса 3 в симметрической группе Зь Другие подстановки переводят Р, в Рз = х~хз+ хзх4 и Рз = х~х4+ хзхз.
Симметрические полиномы от Рь Р,, Рз будут симметрическими н от хь хь хз, хь Именно, основные симметрические полиномы будут: Р1+Рз+Рз=й* Р|Рз+ Р|Рз+ РКРз = Цз — 414, РГЗРз Т4+ )з 41з14. Считая, что хь хн хз, х4 — корни полинома хз+ а1х + азхз-( -Ф-азх+ аз, мы можем составить кубическое уравнение для Рп симметРические полиномы игл. Ее Р,, Р,. Найдя один из корней Р1 = х,ха+ хзх4, мы в состоянии найти хь хм хм х4, решая цепочку квадратных уравнений. Получается способ, совпадающий со способом Феррари. Известный под названием метода Эйлера способ получим, если возьмем Р, = (х, + х, — х, — х4) = 11 — 4~, + 4(х1хэ+ хзх4).
Полипом Р1 не меняется при той же группе нз восьми подстановок, чу и х~х, + хзх4. Подстановки из классов смежности группы 54 псР этой подгруппе переводят Р, в Рэ = (х~ — ха+ хз — Х4)э и Рз = =(х1 — ХТ вЂ” хз+ Х4)Т. Выражения основных симметрических полиномов от Рь Рм Рз дают: Р, + Рэ+ Р, =3)',— 8(м Р,Р2 + Р,Рз + Р Р, = 81', — ! 6)',1 + 16 Я + 16Ц вЂ” 64)о Р,Р,Р, =(Р, — 4Ц, + 81,)', причем симметрическим оказывается и (х~ + х2 — хз — х4) 1Х~ хз + хз — х4) (х1 — хт — хз+х4)=~1 — 4ЦЕ+81з Таким образом, значения полиномов Рь Р,, Рз от корней поли- нома х4+ а1хз+ аахэ+ а,х+ а4 оказываются корнями кубического уравнения с известными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
