1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы уже рассматривали группу 6 как 6-множество по отношению к действию сопряжения а' = г-'аг. Это действие индуцирует в 6 группу преобразований. Стабилизатором элемента а ее 6 является цеитрализатор а, пересечение всех централизаторов есть центр 6, ибо если элемент принадлежит централизаторам всех элементов, то он должен быть перестановочен со всеми элементами 6, т. е.

должен принадлежать центру и, конечно, каждый элемент центра принадлежит централизаторам всех элементов. В силу п. 8 группа внутренних автоморфнзмов действительно изоморфна факторгруппе по центру. Любая абелева группа не имеет нетривиальных внутренних автоморфизмов, ибо в абелевой группе г-'аг = а при любых а и г. Внешние же автоморфизмы есть даже у циклических групп. Бесконечная циклическая группа, порожденная элементом а, имеет лишь один нетождественный автоморфизм аа~ — а а — х. Действительно, образующим бесконечной циклической группы будет либо а, либо а-'. Ясно, однако, что любой автоморфизм должен переводить образующий в образующий.

Автоморфизм а а есть тождественный автоморфизм, автоморфизм а а-' преобразует ах в а-". Для конечной же циклической группы порядка п существует ~р(п) автоморфизмов, именно, автоморфизм может преобразовать образующий а в любой другой образующий, а таковыми являются а при (гп, п)=1, причем пт нужно рассматривать по модулю и. Группа, центр которой состоит только из 1, н все автоморфизмы внутренние, называется совершенной. Можно доказать, что симметрические группы 5„подстановок совершенны при и = 3, и = 4, и =5 и и ) 6. Для группы же оа факторгруппа группы всех автоморфизмов по группе внутренних автоморфизмов имеет индекс 2. Доказательства этих предложений не очень просты. СВОБОДНАЯ ГРУППА 269 % б] й б.

Свободная группа 1. Свободная полугруппа. Пусть задано конечное множество элементов аь ам ..., а„, называемых буквами. Это множество называется алфавитом. Последовательности а, а ... а. букв алфа- Ь» вита называются словами. Присоединение к данному, слову справа второго слова называется умпожепиел» слов. Ясно, что это деиствие ассоциативно, так что по отношению к нему слова составляют полугруппу. Естественно ввести в рассмотрение пустое слово. Оно играет роль единицы в полугруппе слов, Так построенная полу- группа называется свободной полугруппой, порожденной данным алфавитом.

2. Свободная группа. Свободная полугруппа, конечно, не является группой, так как произведение непустых слов непусто, так что у непустого слова не может существовать обратного. Для построения на этом пути группы применим следующую конструкцию.

К алфавиту 5 = (аь аь ..., а„) присоединим второй алфавит В = (аьаъь ..., а„). Строим слова в объединении этих алфавитов Т = ВОЯ и вводим для слов в алфавите Т отношение эквивалентности следующим образом. Вставкой в слово в алфавите Т мы назовем присоединение между двумя буквамн (или в начале слова, или в его конце) слова а,а; или а,а,. Сокращением слова назовем исключение из слова его части вида а,а, или а,аь Два слова назовем эквивалентными, если от одного нз них можно перейти ко второму посредством конечного числа вставок и сонращений. Ясно, что если два слова эквивалентны третьему, то онн эквивалентны между собой, так что все слова разбиваются на непересекающиеся классы эквивалентных слов.

Столь же ясно, что если слово А, эквивалентно слову В, и слово А» эквивалентно слову Вь то слово А1А, эквивалентно слову В1В,. Это позволяет ввести естественным образом умножение классов слов, считая произведением классов тот класс, который содержит произведение каких-либо слов из этих классов. Класс, содержащий пустое слово, является единицей при этом. умножении.

Ассоциативность умножения, очевидно, следует из ассоциативности умножения слов в свободной полугруппе. Классы, содержащие а; и аь взаимно обратны, нбо слова а;а» и а;а, превращаются в пустое слово после сокращения. Наконец для класса, содержащего любое слово, существует обратный: если класс содержит слово Ьн Ьн ..., Ь» прн Ь» еп Т, то обратным будет класс, содержащий слово 6» ... 6»б» (здесь под а; понимается а;). Итак, множество классов эквивалентных слов образует группу. Она называется конечно порожденной свободной группой.

Классы, содержащие буквы алфавита 5, являются ее образующими. Когда речь идет об обширных классах объектов, всегда приятнее иметь дело с какими-либо стандартными представителями из зто элвмвнты твовии гяхпп 1гл х этих классов. Здесь роль таких представителей играют несократнмые слова. Слово в алфавите Т называется несократииым, если в нем не стоят рядом буквы а; и аь Т е о р е м а 1. В любом классе эквивалентных слов существует одно и только одно несократимое слово. Доказательство. То, что для любого слова найдется несократимое, ему эквивалентное, очевидно: в исходном слове нужно шаг за шагом, в каком-либо порядке, сокращать соседние «двойники» аь аь При каждом сокращении длина слова, т.

е. число составляющих слово букв, уменьшается иа две единицы, так что процесс сокращения должен закончиться иа несократимом слове после конечного числа сокращений. Остается доказать, что различные несократимые слова не могут быть эквивалентны. Мы докажем это от противного. Пусть даны несократимые слова А и В, и допустим, что они эквивалентны, т. е. что существует конечная последовательность слов А = Аь, Аь А,, ..., А., А = В таких, что каждое последующее слово получается из предыдущего вставкой илн сокращением.

Так как А и В несократимы, переход к Аь к А, может быть только вставкой, переход от А ~ к А =  — только сокращением. Полной высотой перехода от А к В назовем сумму длин всех промежуточных слов. Пусть А, — слово наибольшей длины среди слов Аь, Аь ... , А ь А . Оно не крайнее, ибо длина А1 больше длины Аь и длина А 1 больше длины А . Поэтому у слова А; имеется как сосед слева А~ ь так и сосед справа А;+ь Переход от А;, к А; должен быть вставкой, переход от А; к А;+1 — сокращением.

Здесь может представиться несколько случаев: 1. При переходе от А; 1 к А; вставили Ьб и при переходе от А, к Асы вставленную пару сократили. В этом случае А; . = А,+ь так что мы можем исключить из перехода слово А, и «склеить» А,, и А»ьь 2. При переходе от А~ ~ к А; вставили Ьб, и справа от этой вставки находился элемент Ь, а при переходе от А; к Асы в тройке соседних букв ЬЬЬ сократили ЬЬ. В этом случае опять А;, = = А;~ь То же самое будет, если вставить Ьб направо от 6 и в тройке ЬЬЬ сократить бЬ. 3.

При переходе от А;, к А; вставляется Ьб и при переходе от А, к А~ы сокращается сс, и эта пара не имеет общих элементов со вставленной Ьб. Тогда переход от А; ~ к Аьы можно сделать по-другому. Буквы с и с не были вставлены при переходе от А: ~ к Аь и следовательно, сс уже присутствовало в А; ь Можно было сначала сократить сс, получив слово Аи а затем вставить Ьб. Длина промежуточного слова А, на 4 меньше длины слова Аь так что полная высота перехода от А к В уменьшилась на 4. Во всех случаях полная высота перехода может быть уменьшена. Это невозможно, ибо среди переходов от А к В должен своводнья гьтппх 271 существовать переход с наименьшей полной высотой. Следовательно, эквивалентные несократимые слова равны, что и требовалось доказать.

3. Конечно порожденные группы как гомоморфные образы свободной группы. Теорема 2. Любая конечно порожденная группа с п образующими есть гомоморфный образ свободной группы с и образующими. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть иь им ..., и„— система образующих группы 6. Рассмотрим свободную группу сначала как полу- группу слов в алфавите аь аь ..., а„, аь аь ..., а„. Каждому слову...

а,...а,... сопоставим элемент ... и, ... и,. '... группы 6. Ясно, что произведению слов соответствует произведение элементов группы 6. Покажем, что эквивалентным словам соответствуют одинаковые элементы. Действительно, вставке а,а; в слово соответствует появление сомножителя и,.и, равного единице, и сокращению пары а;а~ соответствует исключение из произведения и,и =1.

Тем самым, построенное отображение есть гомоморфизм свободной группы на группу 6. Если некоторое слово... а; ... а~ ... из свободной группы входит в ядро, то соеаветсгвующий элемент ... и, ... и ... группы 6 равен 1, т. е. элементам ядра гомоморфизма свободной группы в 6 соответствуют соотношения между образующими группы 6. 4. Задание группы образующими и соотношениями. Теор ем а 3. Пусть дан алфавит аь ..., а„, аь ..., а. и слова в этом алфавите %~ оп ' ом, мг ои ' озкя Здесь оц обозначают буквы алфавита. Тогда существует группа 6 с и образующими иь им, и„, в которой выполнены соотно-.

шения «,=хп...х„=1, «,=х„...х„1, ..., « =х,...х „ ! 2 "О~ еде хц и„если оц а„и хц — — и, ', если оц = аь Среди групп, для образующих которых вьтолнены указанные соотношения, существует группа 6, в которой все соотношения между образующими являются следствиями данных соотношений, и эта группа обладает свойством универсальности — любая группа, в которой выполнены предписанные соотношения, является гомоморфным образом группы 6. Прежде чем доказывать теорему, необходимо выяснить, что понимается под следствиями из данных соотношений.

Мы считаем, что если «, = ха ... х, = 1 есть соотношение, то соотношение х = х;„' ... х;,' = 1 является его следствием. Если ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !ГЛ. Х г; = 1 и г~ = 1 — два соотношения, то соотношение ганг! = 1 является нк следствием, и, наконец, если г~ — — 1 есть соотношение, то при любом у ~ б соотношение у-'г~у = 1 тоже считается следствием. Доказательство. Рассмотрим свободную группу с образующими аь ..., а, и в ней наименьшую нормальную подгруппу, содеРжащУю гсь Гст, ..., Гс . Напомним, что эта подгРУппа состоит из элементов Гсь Гсь ..., Гс, обратных к ним элементов, сопряженных с ними и произведений всех таких элементов.

Характеристики

Список файлов лекций