1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Ассоциативность этого умножения нам уже известна. Далее, Н('На) = (НН) а = На и (На) Н = Н(аН) = Н(На) = На, так что Н есть единица при этом умножении. Наконец, (На-') (На) = На — 'а = Н н (Иа) (На-') = = Наа-' = Н, так что На-' есть обратный элемент для На. Пред- ложение доказано. Группа, образованная классами смежности..группы 6 по нор- мальной подгруппе Н, называется факторгруппой 6 по Н и обо- значается 6(Н.

Мы уже встречались с факторгруппамн. Так, классы целых чисел по модулю т по отношению к действию сложения состав- ляли факторгруппу всех целых чисел по подгруппе чисел, крат- ных модулю т. Аналогичная ситуация имела место в других слу- чаях, ко[да мы рассматривали сравнения и классы сравнений. Гомомопьизм 249 Само определение факторгруппы тоже можно сформулировать в терминах сравнений.

Именно, назовем два элемента а~ и аг группы 6 сравнимыми по нормальной подгруппе Н, если а,а, ' ~ Н или, что то же самое, а~ ен Нам т. е. а~ и аг принадлежат к одному классу смежности по Н. Тогда, если а, = аг (Н) и Ь1 = — Ьг (Н), то а,Ь, = а«Ь, (Н), ибо а1=г,ам Ь1 — — г«Ь» при гь ггс= Н и а Ь, = г1агг«Ь,, = г, (агга ) агбг = гза«Ь, при г, = г, (аята, ') 4== Н, т. е. а1Ь|= а»Ь,. Поэтому, если определить произведение классов как класс, содержащий произведение каких-либо представителей из этих классов, определение будет корректным.

Оно, разумеется, совпадает с определением произведения классов смежности как элементов факторгруппы. $3. Гомоморфизм 1. Определение. Пусть 6 — группа н 5 — другая группа (или полугруппа). Пусть каждому элементу а из 6 сопоставлен некоторый элемент нз 5, т. е, дано отображение 6 в 5. Отображение ф называется гомоморфным или гомоморфизмом 6 в 5, если произведению элементов пз 6 соответствует произведение их образов, т.

е. ф(а1аг) = ф(а,)ф(а,), где ф(а) — образ а ен 6 при отображении ф. При этом, вообще говоря, не предполагается, что образы элементов 6 заполняют все 5, и не предполагается, что различным элементам из 6 соответствуют обязательно различные элементы из 5, т. е. при гомоморфном отображении элементам из 6 разрешается «склеиваться». Предложение 1. Гомоморфным образом ф(6) группы 6 является группа.

Образом единииы группы 6 является единииа образа и взаимно обратным элементам 6 соответствуют взаимно обратные образы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство ф (аЬ) = ф (а) ф(Ь) означает, что произведение двух элементов из ф(6) принадлежит ф(6), Ассоциативности следует из ассоциативности в 6 и 5. Равенство ф(а)=ф(!а) = ф(!)ф(а) показывает, что ф(1) есть левая единица для ф(6). Наконец, ф(а-')ф(а)=ф(а — 'а)= ф(1) показывает, что ф(а-') есть левый обратный элемент для ф(а) в ф(6). Этого уже достаточно (предложение 2 из $1) для заключения, что ф(6) есть группа.

Чтобы избежать ссылни на довольно сложно доказываемое предложение 2, достаточно было бы рассмотреть еще равенства ф(а)=ф(а1) =ф(а)ф(1) и ф(а)ф(а — ')=ф(аа-')= = ф(1). Заметим, что если 5 есть только полугруппа, а не группа, то ф(1) не обязана быть единицей для всей 5. Однако ф(!) является единицей для ф(6) или для любой группы, содержащейся в 5 и содержащей ф(6).

!гл. х езв ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Введем еще два полезных термина. Гомоморфизм группы 6, образом которого является все множество 5, называется гомоморфизмом 6 на 5 («на» вместо «в») или эпиморфизмом. Гомоморфизм 6 в 5, при котором различным элементам из 6 сопоставляются различные элементы в 5, называется мономорфизмом или вложением 6 в 5. Ясно, что при мономорфизме имеется взаимно однозначное соответствие между элементами 6 и их образами, сохраняющееся при умножении, так что при мономорфизме ~р группа 6 и ее образ Гр(6) изоморфны. Гомоморфизм 6 в 5, являющийся одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, есть, очевидно, изоморфизм 6 и 5. 2, Первая теорема о гомоморфизме.

Пусть ~р — гомоморфное отображение группы 6 на группу 5. Множество всех элементов из 6, имеющих один и тот же образ х ен5, называется полным прообразом элемента х и обозначается Гр '(х) (следует помнить, что ~р '(х) является, вообще говори, множеством элементов 6, а не одним элементом). Полный прообраз единицы группы 5 называется ядром гомоморфизма. П р едл о же ни е 2. Ядро гомоморфизма Гр группы 6 на группу 5 является нормальной подгруппой группы 6. До к аз а тел ьство. Введем обозначение Н для ядра. Если ,аееН, то а-'ееН, ибо ~р(а-')=(~р(а))-' = 1. Если а яН и Ь енН, то аЬяН, ибо Гр(аб)= Гр(а)гр(Ь)=1 1 = 1. Наконец, если а Г= Н и сее6, то с-'асенН, ибо <р(с-'ас)=ч (с)-'ф(а)гр(с) = = ~р (с) 1 1 <р(с) = 1. Предложение 3. В условиях предложения 2 полные прообразы элементов из 5 являются классами смежности по ядру гомоморфизма.

Дока з ат ел ьство. Если а и Ь принадлежат одному классу смежности по Н, то Ь = га при г ен Н, и тогда <р(Ь) = Гр(г)<р (а) = = 1.~р(а) = ~р(а). Обратно, если ~р(а) = Гр(Ь), то <р(аЬ-') = 1, так что аЬ-' ее Н, а ен НЬ и, конечно, Ь я НЬ. Те о р е м а 4 (первая теорема о гомоморфизме). Гомоморфный образ группы изоморфен ее факторгруппе по ядру гомоморфизма. (Формулировка этой теоремы является пугалом для неосведомленных, так как состоит практически из одних терминов.) Д о к а з а т е л ь с т в о.

Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 3. Ояо сохраняется при умножении, ибо Гр ((На) (НЬ) ) = Гр(На)гр(НЬ). Естественно встает вопрос — любая лп нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный. Отображение группы 6 на факторгруппу С/Н по нормальной подгруппе Н, заключающееся в том, что каждому элементу группы 6 сопоставляется содержащий его класс смежности, есть ГомомоРФизм 251 гомоморфизм, и его ядро совпадает с Н. Это непосредственно следует из определения умножения классов смежности как элементов факторгруппы. Этот гомоморфизм 6 на 6/Н называется естественным гомоморфизмом. Первая теорема о гомоморфизме утверждает, что любой гомоморфизм в основном (формальнее— с точностью до изоморфизма) не отличается от естественного гомоморфизма группы на ее факторгруппу по ядру гомоморфизма, Рассмотрим примеры.

П р и мер 1. Пусть дана цинлическая группа 6 порядка п = = тй. Пусть Н вЂ” ее подгруппа, порожденная элементом аь, где а — элемент, порождающий 6. Ясно, что порядок аь равен т, н порожденная нм группа состоит из элементов 1, аь, а'ь,..., а! -Оь. Представителями смежных классов 6 по Н могут служить 1, а, ... ..., а'-', Умножение смежных классов сводится к сложению показателей по модулю я, ибо а" порождает Н.

Таким образом, здесь факторгруппа изоморфна циклической группе порядка й. П р и м е р 2. Пусть 6 — группа по умножению невырожденных квадратных матриц над полем Р, 5 — полугруппа элементов поля Р относительно умножения и !р — сопоставление каждой матрице из 6 ее определителя. Это отображение есть гомоморфизм, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей. Здесь образ состоит из всех элементов поля Р, кроме нуля, ибо любой элемент а из Р есть определитель матрицы, отличающейся от единичной тем, что одна из единиц на диагонали заменена на а.

Ядром отображения является группа матриц с определителем 1, так что эта группа есть нормальная подгруппа группы всех невырожденных матриц (в этом мы убедились раньше прямым подсчетом). Классы смежности по ядру составляют матрицы, имеющие один и тот же определитель. 3. Гомоморфные образы подгрупп.

П р е д л о ж е н и е 5. Пусть Н и К вЂ” подгру!гпы группы 6, причем Н вЂ” нормальная подгруппа. Тогда НК является подгруппой 6 и НК=КН. Доказательство. Г1усть аЬев НК, причем а е= Н, Ьев К. Тогда (аЬ)-' = Ь-'а-' (Ь вЂ” 'а-'Ь)Ь-', причем Ь вЂ” 'а-'Ь ел Н, ибо Н вЂ” нормальная подгруппа, и Ь вЂ” ' еи К Следовательно, (аЬ)-'— ~ НК. Далее, пусть а!Ь! и азЬ, принадлежат НК, причем а, и а, принадлежат Н, Ь! н Ьз принадлежат К.

Тогда (а,Ь,) (агЬ ) =(а~Ь!агЬ~ )Ь Ьм где а!Ь~ахб~ ' на Н в силу нормальности Н и Ь,Ьь еи К, так что (а,Ь!) (а2Ь,) ~ НК. Предложение доказано. Заметим, что произведение двух подгрупп, нз которых ни одна не является нормальной, вообще говоря, не обязано быть подгруппой.

Характеристики

Список файлов лекций