1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Таким образом, разность числа перемен знаков значений полиномов ряда Штурма в начале и в конце промежутка равна числу корней полинома ( на этом промежутке, исключая левый конец (если он является корнем) и включая правый (если он является корнем). 3. Построение ряда Штурма. Заметим прежде всего, что если полипом имеет на (а, Ь) корень хо четной кратности, то для него построение ряда Штурма невозможно.

Действительно, нужно, чтобы (! (хо) че О, так что знак полинома Г! (х) должен сохраняться в окрестности хо. Так как хо — корень четной кратности для (о(х), полипом Го(х) тоже пе меняет знака в окрестности хо, так что (о(х)1!(х) не может изменить знак, как это должно быть согласно последнему требованию. Однако удовлетворить этому требованию можно всегда. Именно, верно следующее Предложение. Произведение полинома Г'(х)~ Р~ [х) на его производную меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через корень ((х). Доказательство. Пусть хо — корень полинома 7(х) кратности й, так что ((х) =(х — хо)ьд(х) и д(хо) Ф О. Тогда !'(х) й(х — хо) в'(х)+(х — хо) й' (х) =(х — хо)' !(Ьд(х)+(х — хо)д'(х))', так что !Р(х) г'(х) =(х — хо) о'-! (Е(К(х) )о+ (х — хо) Ы(х)К'(х) ) = = (х — хо) о" — !Р'(х) .

Имеем Р(хо) Ь(й(хо))о = О и, следовательно, Р(х) остается положительным в окрестности хо. Но (х — хо)'А-' меняет знак с минуса на плюс, когда х проходит через хо. Следовательно, то же самое будет и для произведения (х — хо)оо-!Р (х) = ((х)('(х). Далее будем считать, что полипом г" не имеет кратных корней и, следовательно, взаимно прост со своей производной. За полипом )!(х) ряда Штурма примем производную полинома ~(х)=го(х) Затем применим к полиномам (о(х) и (!(х) алгорифм пхсппаделанив копнеи полинома !гл.

[х Евклида, меняя на каждом шагу знак остатка на обратный. ПолУченные последовательные остатки пРимем за полнномы ~м (м... В силу взаимной простоты 1, и 1! последний полипом 7» ~ О есть константа. Таким образом, зти полиномы связаны соотношениями 1о = М! — !м !! !Ы2 !3 !Ф-2 !х-!кх-! !х Проверим, что построенные полиномы удовлетворяют всем требованиям ряда Штурма. Последний полипом пе обращается в нуль, так как он есть отличная от нуля константа. Из соотношения )! !(х)=1!(х)д(х) — 1!+!(х) следует, что если )! !(хз)=/!(хз) = О, то н /!+!(хз) = О, но тогда и /!+р(хо) = О и т.

д., наконец 1!,(х0) = О, что невозможно. Итак, два соседних полинома ряда одновременно в О не обращаются. Далее, если 1;(хо)=О, то )! !(хо) = — 1,.!!(хо), так что они имеют противоположные знаки. Итак, три первых требования ряда Штурма выполнены. Заметим, что онн были бы выполнены, если в качестве 1!(х) взять любой полипом, взаимно простой с 1(х)=~,(х). Наконец, четвертое требование выполнено при !!(х) =- ~'(х) в силу доказанного предложения. Заметим еще, что свойства ряда Штурма сохраняются, если полиномы умножить на любые положительные константы.

Это замечание полезно при решении примеров. П р и м е р 1. 1(х) = хз — 7х — 7. Возьмем 1!(х) =1'(х) = Зх' — 7. При делении 31(х) на,'!(х) в остатке получим — 14х — 21, так что в качестве 1з можно взять 2х+ 3. При делении 4(!(х)= 12х' — 28 на )! получим в остатке — 1, так что 1з = 1. Таблица распределения знаков !а 1! !! !! — 2 — 1 о + оо показывает, что имеется один положительный корень и два отрицательных в интервале ( — 2, — 1).

Для уточнения расположения корней вычислим 1( — 3/2)= 1/8 ) О, так что мы можем заклпочить, уже не обра!цаясь к ряду Штурма, что корни лежат по одному в интервалах ( — 2', — 3/2) и ( — 3/2, — 1). Для уточнения положения положительного корня заметим, что 1(3) = — 1 ( О, 1(4) = 29 ) О, следовательно, корень лежит в интервале (3, 4). ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ШТУРМА Пример 2. 1(х) = 1 + — + —, + ... + —,. Здесь мы несколько отступим от описанного выше приема по. строения ряда Штурма. Полипом 1(х) ие имеет положительных корней, так что все его вещественные корни, если они есть, лежат в интервале ( — М, — 6), где М достаточно большое и 6 достаточно малое положительные числа.

Именно для этого интервала мы бу- Х Х дем строить полиномы Штурма. Имеем 1 (х) = 1+ — + 2, + ° . ° е-! г к ... +, так что 1(х)=1'(х) — ~ — — ). Положим )ю=), (п — 1)! ' .1 ). х" (, =(' и (к= — —. Очевидно, что все требования для ряда п1 ' Штурма на интервале ( — М, — 6) выполнены. Таблица распределения знаков Е~ )к ( 1)" (-1)"-' (-1)"-' + + (-1)" показывает одну перемену знаков при — М и одну или нуль перемен при — 6, в соответствии с четностью или нечетностью п. Следовательно, полипом )' имеет один вещественный (отрицательный) корень при нечетном и н ие имеет вещественнь|х корней при четном и.

й 4. Обобщенная теорема Штурма 1. Индекс полинома с вещественными коэффициентами относительно другого полинома. Пусть ) и д — два взаимно простых полинома с вещественными коэффициентами. Скажем, что вещественный корень х, полинома 1 есть корень первого типа относительно а, если произведение 1(х)д(х) меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через хю и, соответственно, хо есть корень второго типа, если ~(х)д(х) меняет знак с плюса на минус. Ясно, что корни первого и второго типа являются корнями нечетной кратности ибо, в силу взаимной простоты 1 и я, если 1(хе) = О, то д(хе)Ф О, и знак )(х)п(х) меняется, только если меняется знак 1(х), что имеет место, только если хе есть коРень нечетной кРатности. Индексом на промежутке [а, Ь) полинома 1, такого, что /(а)-ь ~ О,,г(Ь) ~ О, относительно полинома д называется разность числа корней ) первого и второго типа относительно д (кратные корни счита1отся по одному разу, корни четной кратности оставляются без внимания).

2. Обобщение теоремы Штурма. Пусть для взаимно простых полнномов 1 и д с вещественными коэффициентами построен ряд РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕИ ПОЛИНОМА [ГЛ. 1Х ЕЗО полиномов )о [, )1 у, )о, ..., )», удовлетворяющий первым трем требованиям ряда Штурма на некотором промежутке [а, Ь]. В частности, такой ряд можно построить при помощи алгорифма Евклида с изменением знаков остатков на обратный: й-[1а — 1, 11 — )'Я» — Ь, 1»-2 1»-!к»-1 1» сопз[. Так построенный ряд полиномов будем по-прежнему называть рядом Штурма. Теорема. Допустим, что ['(х) не одран[ается в нуль ни концах промежутка )а, Ь].

Разность числа перемен знаков в значениях поливанов ряда Штурма в начале и в конце пролоежутка равна индексу полинома )' относительно полинолоа д. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что так же, как при доказательстве теоремы п. 2 $ 3, возможное изменение знаков промежуточных полиномов ряда не влечет за собой изменение числа перемен знаков. Оио может произойти только за сцет пары полиномов ]о, [1. Здесь могут представиться четыре случая: [о й )о й [о 6 1» й — а а О а а а О а х < хо х х, х ) хо а а О а а а — а а О а а а -а а р»[х) (а»х+ )[») р»-1[х) — у»р«-о(х) при у» '" О, й ° 2, 3, ..., и. Соотношения эти показывают, что полиномы р„р„[, ..., рь составляют ряд Штурма, полученный исходя из В первом случае хо есть корень первого типа, а число перемен знаков уменьшается на единицу.

Во втором хо есть корень второго типа, и число перемен знаков увеличивается на единицу. В третьем н четвертом случаях хо есть корень четной кратности, а число перемен знаков не изменяется. Следовательно, пока х переходит от а к Ь, число перемен знаков уменьшается на столько единиц, сколько имеется в промежутке корней первого типа, и увеличивается на столько единиц, сколько есть корней второго типа. Таким образом, разность числа перемен знаков в начале н в конце промежутка равна индексу [ относительно д. 3.

Полиномы с разделяющимися корнями. Пусть имеется последовательность полиномов ро, рь ., р., степени которых равны, соответственно О, 1, ..., и, старшие коэффициенты положительны, и имеются трехчленные соотношения: ОБОБЩБННАЯ ТБОРБМА ШТУРМА 231 $4) 1о= р и )') = р„) посредством алгорифма Евклида, причем алгорифм Евклида протекает «без вырождения», т. е. степень каждого последующего остатка на единицу меньше степени предыдущего. Распределение знаков, очевидно, дается следующей таблицей: Р) Ро Ро Ро — ~ )-1)"-' ...

— + + . + + (-1)" + так что число перемен знаков при — оо равно и и при +со равно О. Это значит, что все корни полинома р„вещественны и все первого типа по отношению к р„ ь Последнее значит, что произведение р„р, ) меняет знак с минуса на плюс каждый раз, когда х, возрастая, проходит через корень полинома р . Следовательно, между соседними корнями р„ произведение роа -4 должно изменить знак с плюса иа минус, что возможно только при переходе через корень р„ь Таким образом, между соседними корнями полинома )), имеется корень полинома р ). Так как число корней полинома р„) равно п — ! и число интервалов между соседними корнями полинома р тоже равно и — 1, в каждом таком интервале лежит только один корень полинома р, ). Про такое расположение кор.

Характеристики

Список файлов лекций