1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

В частности, факториальны кольца У [хь ..., х„) и К[хи ..., в„) при любом поле К 5. Кольца главных идеалов. Подмножество М коммутативного ассоциативного кольца А называется идеалом этого кольца, если оно образует группу относительно сложения и допускает умножение на любой элемент из А. Иными словами, если Ьь Ь, ~М и а е= А, то Ь! + Ьг е М и аЬ! е М.

(Заметим, что понятие идеала естественно распространяется на любые кольца, только в случае некоммутативности, идеалы разбиваются на три сорта — правые, левые и двусторонние, в зависимости от того, какие умножения на элементы из А допускаются.) Ясно, что если т еп А, то множество тА всех кратных паа эле. мента гп образует идеал. Такой идеал носит название главного идеала, порожденного элементом па.

Кольцо называется кольцом главных идеалов, если все его идеалы главные. П р е д л о ж е н н е б (теорема об обрыве цепочки делителей). Преть аь аа, ..., а„, ...— бесконечная последовательность элементов кольца А главных идеалов такая, что а~ делится на а;+и полиномы нхд ФАктогилльным кольцом 2!! 1 = 1, 2, ... Тогда, начиная с некоторого места, члены последовательности ассоциированы. Доказательств о.

Рассмотрим главные идеалы а~А, азА,... ..., а„А, ... Так как а~ делится на аь то а! е= агА, и, следовательно, а1А с= а,А. По тем же соображениям а;А с= а,ыА при всех 1. Рассмотрим объединение В всех идеалов а~А. Если Ь, и Ь,— два элемента из В, то они входят в идеалы а~А н агА при некоторых с и 1 н, если 1(1, оба входят в идеал агА. Следовательно, Ь! ~ Ьь и Ь|а при любом а ен А входят в агА, а следовательно, и в В.

Таким образом, множество В есть идеал. Кольцо А есть кольцо главных идеалов и, следовательно, В = ЬА при некотором Ь г— = В. Элемент Ь принадлежит одному из идеалов а;А, ! = 1, 2, ..., пусть, для определенности, идеалу а~А. Тогда Ь ~ а„А прн всех и -- т. Поэтому Ь делится на все а , т ) и. С другой стороны, все а; принадлежат В = ЬА и, следовательно, все аь 1= 1, 2, ..., делятся на Ь.

Итак, Ь делится на а при т )и и а делится на Ь. Поэтому а при т ~ и ассоциированы с Ь и потому ассоциированы друг с другом. Теорема доказана. Из теоремы следует, что если имеется последовательность элементов аь аь ..., в которой каждый член последовательности делится на следующий и не ассоциирован с ним, то такая последовательность конечна, 6. Существование разложения на неразложимые множители а кольце главных идеалов. Предложен не 6. Любой элемент, не являющийся единицей в кольце главных идеалов, делится по крайней мере на один неразложимый элемент. Доказательство. Пусть А — кольцо главных идеалов и а ен А. Если а неразложим, то нечего доказывать. Пусть а = а,Ь, причем а1 и Ь не являются единицами'кольца.

Тогда а делится на а! н а не ассоциирован с аь Если а, неразложнм, то теорема для а доказана. Если а! разложим, то найдется аг такой, что а, делится на аг и а! не ассоциирован с аь Если аг неразложим, теорема для а доказана, ибо а делится на аь Если аг разложим, повторяем рассуждение и т. д. Последовательность а, аь а„... оборвется на каком-то шагу, что и значит, что мы придем к неразложимому элементу ам на который делятся все предшествующие, включая а. Предложение доказано. 7.

Наибольший общий делитель элементов кольца главных идеалов. П р е д л о ж е н и е 7. Для любых двух элементов аь ат кольца А главных идеалов !и для любого конечного множества аь аь ... ..., аь) существует общий делитель й, допускающий линейное представление й = а,и, + а,иг !й =- а~и! + а,и, + ... + аьиь) и, следовательно, делящийся на любой общий делитель а! и аз ,!аь аь ..., аь). ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. К!1Э Такой общий делитель называется наибольшим оби[им делителем. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество элементов М = = а[А+ а,А = (а[о[+ азот]о[, от ~ А].

Ясно, что М есть идеал, содержащий а, и ат (и ими порожденный, т. е. наименьший идеал, содержащий а[ и ат). Следовательно, М = йА, где [1 — один из элементов М. Все элементы идеала М делятся на д, в частности, а[ и ат делятся на й. Но с(, как и все элементы множества М, имеет линейное представление [1 = а,и[+ атит при некоторых и[, ит е= А, Ясно, что с[ делится на любой общий делитель а, и ат, ибо правая часть на него делится. Предложение доказано.

(Для доказательства предложения для аь аь ..., ОА нужно рассмотреть идеал М = а[А+ атА+ ... + а»А.) Из линейно[о представления наибольшего общего делителя следует критерий взаимной простоты элементов — для того чтобы аь аз~ А были взаимно прость[, необходимо и доститочно существование таких иь и» е= А, что а[и[+ атит — — 1. Из этого кРитеРиЯ выводятся свойства взаимно простых элементов, в частности, если а[аз делится иа Ь, а а, н Ь взаимно. просты, то ат делится на Ь.

Из этих свойств следуют свойства неразложимых элементов, аналогичные свойствам простых чисел и неприводимых полиномов, в частности,,предложение о том, что если произведение а[аз ... а делится па неразложимый элемент р, то па него делится один из сомножителей, Наконец, справедлива Теорем а 8. Разложение элемента кольца главных идеалов на неразложимые множители единственно с точностью до порядка следования сомножителей и ассоциированности, Тем самым, любое кольцо главных идеалов является факториальным кольцом.

Заметим, что кольцо вычетов А/рА кольца главнь[х идеалов по неразложимому элементу р является полем. Действительно, если а принадлежит ненулевому классу по модулю р, т. е. Ие делится на р, то а и р взаимно просты и найдутся такие и, о ев А, что аи + ро = 1, т. е. аи — = 1(той р), так что класс, содержащий и, есть обратный для класса, содержащего а, Оглянувшись назад, мы увидим, что теория делимости в кольце х. целых чисел и в кольце К(х] полиномов над полем фактически основывалась на том, что этн кольца являются кольцами главных идеалов.

Именно, рассматривались идеалы а[А+ атА, относительно которых устанавливалось, что они главные. Средством для этого была «теорема о делении с остатком», заключавшаяся в том, что для элементов а и Ь Ф О существуют элементы д н г такие, что а = Ьд+ г, причем г в некотором смысле меньше чем Ь. Уточняет это обстоятельство следующее определение: Кольцо А называется свклидовым, если для любых элементов а и Ь ~ О существуют о и г такие, что а = Ьв+ г и <р(г) ( [р(Ь), полиномы нлд елктоьикльным кольцом э 21 З1З где ф — функция на А с неотрицательными целыми значениями (иногда еще дополненными символом — ьо), В кольце целых чисел роль ~р играла абсолютная величина числа, в кольце полиномов— степень полинома, Всякое евклидова кольца есть кольцо главных идеалов.

Действительно, пусть М вЂ” идеал евклидова кольца, Обозначим через с( отличный от нуля элемент идеала, в котором функция ~р имеет наименьшее значение. Тогда все элементы идеала М делятся на с(, т. е. М = с(А, ибо иначе для остатка г = а — с(д ~ М от деления какого-либо элемента а на Ы имели бы ф(г) ф(Н).

ГЛАВА гх РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА й !. Существование корней в О Е Элементы теории пределов для комплексных чисел. В настоящей главе политкомы рассматриваются только над полями .О и Й как функции от комплексной или вещественной переменной, так что эта глава является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константь1 полинома с комплексными коэффициентами (т. е. установление алгебраической замкнутости поля О) носит название основной теоремы алгебры. Выше, в $ 5 гл.

П, было дано определение предела последовательности комплексных чисел». = х„+у4 как такого числа с = =а+ Ьй что а= )пп х„, Ь=!!ш у„. Предельное соотношение л-> л-+«~ (!п1»„= с равносильно соотношению !»„— с)- О, ибо п-+ шах ( ! х„— а 1, ! у„— Ь ! ) ~ (!»„— с ! = .~/(х„— а)' + (у„— Ь)з ~~ ~ (х!2 . гп ах ( ! х„— а 1, ! у„— Ь ! ). Последовательность »„ такая, что !» ! = й прн некотором )с, называется ограниченной. Для вещественных переменных известна теорема Больцаяо— Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел. Действительно, пусть»„= х„+ у4 — ограниченная последовательность, т. е. !»,)( !х'. Тогда !х„! = й, так что х„есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность х,„ -ь а. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей у„. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность у„-вЬ.

Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходится, и ее предел равен а+ Ьй 2. Доказательство основной теоремы. Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим е~о идею. Пусть !(»)— полипом, рассматриваемый как функция от комплексной перемен- СУЩЕСТВОВАНИЕ КОРНЕЙ В С ной г. Представим себе «график» функции в = !!(2) ), считая, что значения г изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения !((2) ~ откладываются вверх в направлении оси и. Мы установим, что !(2) и !!(2) ! являются непрерывными функциями от г на всей плоскости комплексной переменной. Функция т" (2) от комплексной переменной г называется непрерывной в точке го, если достаточно близким к го значениям г соответствуют сколь угодно близкие к Р(го) значения т(г).

Характеристики

Список файлов лекций