1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

делящихся на 1. Единицей является класс, содержащий «полипом» 1, т. е. множество полиномов, которые становятся делящимися на 1 после вычитания 1. Все полнномы одного класса по модулю 1 имеют один н тот же н.о.,д, с 1. Действительно, если д1 = дг+ д1, то всякий общий делитель дг н 1 делит д~ и всякий общий делитель д1 и 1 делит дг. Класс называется примитивным, если входящие в него полииомы взаимно просты с модулем. Класс называется обратимым, если для него существует ооратный, т.

е. такой, произведение которого Ф данным равно единичному. Предложение 3. Обратимыми являготся яримитивныв классы и только они. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и принадлежит примитивному классу, так что (д, 1)= 1. Тогда найдутся полиномы М, й( из кольца К]х] такие, что дМ+1Ж =!. Ясно, что дМ вЂ” 1(тоо1), так что М принадлежит классу, обратному к классу, содержащему гт.

!98 сРАВнения В кольце пОлиномОВ. РАсшиРения пОлей (гл. чн Пусть теперь класс, содержащий д, обратнм. Это значит, что для полинома д найдется такой полипом М, что ЕМ = — 1(1поб1). Обозначив через Л( частное от деления ! — дМ на 1, получим йМ+ (У = 1, а это и означает, что д и 1 взаимно просты. Из доказанного предложении немедленно следует Предложение 4. Кольцо вьшетов по модуля неприводимого полинома есть лоле. Действительно, в этом случае все классы, кроме нулевого, обратимы. Если же полином 1 приводим, то кольцо вычетов по модулю 1 не только не поле, но даже не область целостности. Действительно, пусть 1 = Цз, где 11, 11 «и К[х] отличны от констант.

Тогда содержащие 11 и 11 классы отличны от нулевого, но их произведение есть нулевой класс. 2. Значения рациональных дробей. Пусть К(х) — поле рациональных дробей от буквы х над полем К, 12 — какое-либо расширение поля К Пусть а«ей. Если для дроби — элемент а являя ется корнем для знаменателя и не является корнем числителя, говорят, что — имеет полюс в точке а. Если Аг(а)ФО, то имеет смысл значение — дроби. Если числитель и знаменатель умно- 1 (а) в (ь) жить на один и тот же полипом, не обращающийся в нуль при а, то значение дроби, очевидно, не меняется.

Следовательно, оно не меняется н при сокращении. Если дробь несократима, т. е. если ее числитель и знаменатель взаимно просты, то онн не могут обращаться в нуль одновременно, так что если а не является полюсом дроби, то имеется ее значение в а, которое принимается за знак †чение дроби независимо от ее записи. Так, дробь —, имеет значение при х = 2, хотя знаменатель н обращается в О в этой ! к — 2 ! точке, именно это значение равно —, ибо т — = —. 4 ' к — 4 к+2' ф 2. Расширение полей 1. Простое расширение поля. Пусть дано поле К, содержащее его поле ьг, н а ~ Ж.

Рациональные дроби поля К(х), не имеющие а полюсом, имеют значения в а, принадлежащие полю й!. Множество значений 1(а) е (а) всех дробей — «= К(х) образует, очевидно, 0 поле. Действительно, если а не является полюсом для — и для 16 я~ —, то а не будет полюсом для их суммы, разности и произве- 1« дения, так что если значения — ' и — ' в а имеют смысл, то имеет 1 1. Ы~ Ыз РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ 199 9 21 смысл значение в а для их суммы, разности и произведения. Далее, если — Ф О, то ((а)ФО, так что дробь — ие имеет а ( (а) д (а) полюсом и имеет значение в а. Ясно, что — =(ч — ) .

Так е (а) Г ((а) ч ( (а) ч д (а) л построенное поле обозначается через К(а) н называется простым расширением галя К посредством присоединения а. Элемент а е= Ю называется трансцендентным относительно поля К, если ои не является корнем какого-либо ненулевого поли- нома с коэффициентами нз К. Если же а является корнем некоторого полннома нз К[х[, то а называется алгебраическим относительно К. Алгебраический элемент а является корнем однозначно определенного непрнводимого полинома ф че К[х]. Действительно, если )'(а) = 0 прн некотором ) ее К[х[ и ( = ф1ф2 ...

ф„— разложение ( на неприводимые над К множители (допускаются равные множители), то ф1(а)ф2(а)... ф (а) = О, и, так как все ф1(а), ..., ф„(а) принадлежат полю (г, должен равняться нулю один из сомножителей фь Если два нормализованных неприводимых полинома имеют корнем а, то они не взаимно просты и, следовательно, совпадают. Числа, трансцендентные и алгебраические над полем (.( рациональных чисел, носят названия, соответственно, трансцендентных и алгебраических чисел. Так, числа (, ~/2, ~(З алгебраические, в то время, как числа е, и, 2 трансцендентные, что доказано в работах выдающихся ученых 19-го и 20-го веков. Простые расширения, получающиеся посредством присоединения трансцендентного элемента, называются простыми трансцендентными расширениями, расширения же посредством алгебраического элемента называются простыми плгебраичеекими расширениями.

Рассмотрим подробнее строение простых трансцендентных и алгебраических расширений. Если а ~У трансцендентен относительно К, то а не может быть полюсом ни одной из дробей поля К(х), ибо не может быть корнем полннома, находящегося в знаменателе. Поэтому каждая дробь — имеет значение —. Разные дроби имеют разные зиа((а) я д (а) ' чения. Действительно, если — = —, то [~(а)д2(а)— й (а) )2(а) е, (а) е2(а) ' — [2(а)д~(а) = О, откуда следует, что полипом ~~й2 — [2й, равен нулю в силу трансцендентности а, так что дроби — и — равны.

6 6 Ф У2 Итак, между дробями поля К(х) и их значениями в а имеется взаимно однозначное соответствие, которое, очевидно, сохраняется при действиях сложения и умножения. Таким образом, поле К(х) и поле К(а) изоморфны. Тем самым мы установили, что все простые трансцендентные расширения изоморфны между собой, ибо 209 СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ.

РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕИ (ГЛ. ЧП оии все изоморфны полю дробей К(х). Разумеется, само поле К(х) тоже является простым трансцендентным расширением поля К, ибо х не является корнем полннома с коэффициентами из К (в качестве объемлющего поля Ж, содержащего поле К и х, можно взять само К(х)). Пусть теперь а ее й алгебраично над К и ф ее К[х] — неприводимый над К полипом, корнем которого является а. Пусть, далее, — ее К(х) — несократимая дробь, для которой а не является полюсом, т. е. д(а)ФО.

Это значит, что полипом д взаимно прост с неприводил1ым над К полииомом ф. Поэтому существуют полиномы М, У ееК[х] такие, что дМ+ фЛ' = 1. Переходя к значениям при а, получимд(а)М(а) = 1, так что — =М(а) и — =((и)М(а). 1 (а) я (а) е (а) Таким образом, значение дроби — оказывается равным значению полинома 1М. Далее, полииомы из К[х] имеют одинаковые значения в а в том и только в том случае, когда они сравнимы по модулю ф. Действительно, если 11 — = ]В(гподф), то 11 — 1л = фе н (1(а) — (В(а)=ф(а)д(а) = О.

Обратно, если ~~(а) =(В(а), то полипом )1 — (л ее К[х] имеет общий корень с неприводимым над К полиномом ф и, следовательно, делится иа него, т. е. [~ — = 1,(той ф). Итак, мы получили взаимно однозначное соответствие между классами по модулю ф и значениями полиномов г е= К[х] в точке а. Ясно, что это соответствие сохраняется при сложении и при умножении. Таким образом, алгебраическое расширение К(а) оказывается изоморфным полю вычетов кольца К[х] по модулю неприводимого полинома ф, корнем которого является а.

Таким образом, это поле вычетов оказывается абстрактной изоморфной моделью, не зависящей ни от того поля Ю, из которого взято а, ни от выбора корня полинома ф. Так, например, полияом хз — 3, неприводимый пад полем рациональных чисел (если бы был приводим, то имел бы рациональный линейный множитель и рациональный корень), имеет в поле ( комплексных чисел три корпя а,=1/3, а,= у(Зр и а,=З((Зр~, где р=ез""л, но все три поля С(З(3), С(ч Зр) и (ч'(ЗуЗр') изоморфны полю вычетов кольца ()[х] по модулю полинома х' — 3 и, следовательно, изоморфны между собой, хотя множества чисел, их составляющих, различны.

Так, поле (,) (~/3) состоит только из вещественных чисел, а элементами поля („(ч(3 р), кроме элементов ь(, являются комплексные числа с отличной от нуля мнимой частью. Заметим еще, что поле С. комплексных чисел получается из поля Р вещественных чисел присоединением корня неприводимого над Е полинома х'+ 1. Поэтому оно изоморфно полю вычетов кольца г( [х] по модулю полинома х'+ 1. Это дает один из способов обоснования понятия комплексного числа.

(Комплексными числами называются классы вычетов кольца (х [х] по полииому РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ 20! х'+ 1. Обозначив класс, содержащий х, через 4, получим, что все комплексные числа имеют вид а+Ь( при а, Ьее ('. Так как хг — — 1(гпос(хг+ 1), то сг = — 1 и т. д.). Вычисление, посредством которого значение дроби — на алгее бранческом элементе преобразуется в значение полинома, называется исключением иррациональности в знаменателе. П р и м е р. Исключить иррациональность в знаменателе выражения а+ ! г а'+а+ 1 ' где а — корень полинома х — х — 1, Мы знаем, что результат может быть единственным образом а+1 представлен в виде Аиг+ Ви+ С.

Характеристики

Список файлов лекций