1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 35
Текст из файла (страница 35)
П р едл о же н не 19. Полиноьь 1 мажет быть разложен по степеням х — с. пРОизводнхя Доказательство. Проведем индукцию по степени с тривиальной базой полнномов нулевой степени. Разделим 1 на х — с с остатком. Получим !(а) = (х — с))1(х)+ Ь„, где ܄— остаток, 1!(х) — полипом степени а — 1. В силу индуктив- ного предположения 1!(х)=ЬР(х — с) '+Ь|(х — с) ~+ ...
+Ь„ь откуда 1(х) = Ь,(х — с)" + Ь,(х — с) "-' + ... + Ь, ,(х — с) + Ь„. Приведенное доказательство дает н процесс для вычисления коэффициентов. Свободный член Ь„разложения дается как остаток от деления 1 на х — с. Рассуждение по индукции заменяет единообразный процесс, так что Ь, ! есть остаток при делении неполного частного !! на х — с, и вычисление последующих коэффициентов требует вычисления неполного частного !з при делении !'! на х — с. Далее, Ь„з находится как остаток прн делении ~з на х — с и т. д. Итак, нужно делить на х — с полнном ! и последующие неполные частные.
Остатки дадут коэффициенты разложения, начиная со свободного члена. Деление целесообразно выполнять, пользуясь схемой Хорнера, рассмотренной на стр. 58. Пример. Разложим полипом хз по степеням х — 2, Согласно схеме Хорнера запишем: 1 0 0 0 0 0 !2 1 2 4 8 18 32 1 4 !2 32 80 ! б 24 80 1 8 40 1 1О ! Остатки подчеркнуты. Таким образом, хз = (х — 2)з+ 10(х — 2)'+ 40(х — 2)з+ 80(х — 2)з+ +80(х — 2)+ 82. В случае поля нулевой характеристики можно дать удобную для теоретических рассуждений формулу для коэффициентов разложения. Выведем эту формулу.
Пусть ! = по+4(х — с)+0!(х — с)'+ ... +д„(х — с)" (нам удобно записать по возрастающим степеням х — с). !гл. тп полиномы и леони 178 Возьмем производные до и-го порядка включительно (дальнейшие все равны нулю): )'=й!+ 2йт(х — с)+... + и с(„(х — с)" )и =2й,+ 3 ° 2йз(х — с)+... + п(п — 1) а„(х — с)~ ', )(" ') =(п — 1)(п — 2) ... 241„!+я(п — 1) ... 2й„(х — с), ~!")=-п(п — 1) ...
2й„. Положим во всех этих равенствах х = с. Получим )(с)=йь, !' (с) = йь ! к (с) = 2 йн ~<" " (с) = (и — 1) (и — 2)... 2 Н„ (м) (с) = и (и — 1)... 2 й„, откуда и разложение принимает вид 7=1(с)+ — (х — с)+ — (х — с) +... + — (х — с) . 1 (с) (с!, р"' (с) Эта формула называется формулой Тейлора. Для приближенного вычисления корней полинома бывает нуж- но вычислять )(с) н 1'(с) при значении с, близком к корню.
Ясно, что выполнить это проще всего при помощи схемы Хорнера, вы- числив по этой схеме два коэффициента разложения 7 по степеням х — с, П р и мер. Для полинома хз — х — 1 вычислить 7(1, 2) и 7"'(1, 2). Применяем схему Хорнера: 1 0 — 1 — 1 112 1 1,2 0,44 — 0,472 ! 2,4 3,32 Итак, 7(1, 2) = — 0,472 и 7'(1,2) = 3,32. 3. Разделение множителей различной кратности. П р е д л о ж е н и е 20. Простой корень полинам а не является корнем его производной. Пусть с — простой корень полинома 7, так что 7 = (х — с)7! и 7! не делится на х — с, т. е. !!(с)чьО Тогда Г=7!+(х — с)!', и 7'(с) = 7! (с) М О. Предложение 21.
Корень с полинома иэ К(х) критности й лопается корнем производной кратности й — 1, если только й не пгоизноднхя 179 в'а1 делится на характеристику основного поля К (в частности, если вта характеристика равна 0). Действительно, пУсть [ = (х — с)"~о пРнчем 1,(с) ~ь О. Тогда ['=й(х — с)ь-Ч, +(х — с)'1;=(х — с)'-'[я[, + (х — с) Ц = .=(х — с)~ 'Р(х). Полинам Р(х) не делится иа х — с, нбо Р(с) = = й[~(с) ~ 0 (й не делится на характеристику!).
Эти предложения можно несколько обобщить. Напомним, что полиномы [~К[х[ разлагаются в произведение неприводимых над К множителей 1= а ф~ "Раз ° ° ° ф' "» % Ф: Ч~п Предположим, что характеристика поля я равна нулю. Предложение 22. Однократньсй неприводимый множитель полинома не входит в разложение его произзоднои. Действительно, пусть 1= азфР, ф неприводим и Р не делится на ф. Тогда 1" = агф'Р+ аофР'.
Полином ф' ненулевой, его степень меньше степени ф, поэтому ф' взаимно прост с ф (в поле ненулевой характеристики могло случиться, что ф' = 0). Полинам Р тоже взаимно прост с ф, ибо Р не делится иа ф н ф неприводим. Первое слагаемое азф'Р взаимно просто с ф, второе азфР' делится на ф. Следовательно, ~' взаимно прост с ф. Предложение 23. Неприводимый над К полипом ф, входя- и(ий в разложение полинома (~ К[х[ с показателем 7г, входит в разложение [' с показателем и — 1.
Действительно, пусть [= феР, при Р» взаимно простом с ф. Тогда 1 =йф~ 'фР, +ф~Р, =ф~ '(яф'Р, +фР,). Первое слагаемое в скобках яф'Р~ взаимно просто с ф, второе делится на ф. Следовательно, полипом йф'Р, +фР', взаимно прост с ф и [' не делится на ф'. Эти предложения позволяют, оставаясь в кольце К[х[, отделить друг от друга произведения неприводимых сомножителей, входящих в рею К[х[ с различными показателями. Действительно, пусть 1' = а фф"з ...,ф" ~ и пусть А — наибольший общий делитель 1 и 1'. Неприводимыми множителями для й~ могут быть только ф» фм ..., ф, ибо 1 делится на й» и они входят в й~ с показателями й~ — 1, йг — 1,, я~ — 1, так что )=А)» где й =ф,' 'фзь~ ' ... ф~м ' и [~ — — агф~фг .
фт В й~ не будут входить однократные неприводимые множители 1. Найдем далее наибольший общий делитель йз полиномов й, и йг Он будет состоять из неприводимых множителей, входящих в 7' с большим чем 2 показателем. Их показатели в йз на 2 меньше, чем в 1. Панином в, = — будет состоять из неприводимых множителей, входящих в 7 с показателями 2 и выше. Далее, пусть йз есть наибольший об- ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ [Гл. Га 180 щий делитель й и й, 1 = —.
Полинам 1» составлен из непривог димых множителей, входящих в 1 с показателем 3 и выше, и т. д. Частное от деления 1г на )г будет составлено из неприводимых множителей, входящих в 1 ровно в первой степени, частное от деленна 1г на 1» сосгоит из непРиводимых множителей, входЯщих в 1 равно во второй степени н т. д. П р и м е р. ! = хь + 2х' — 2хг — 4хг + х + 2. 1' = бх« -(- Зхл— — бхг — Зх + ! . Применив алгорифм Евклида, получим, что и.о.д.Ц, 1'), равен й! = х — 1.
Далее, с[',=-2х, йг= 1, й.',=О, с[» = 1. Поэтому 1! —— =~/й=хг+2х' — х--2, ~г=йг/йг=хг — 1 ~ =с[»/с[г — — 1. Поделив 1! на [г, получим х+ 2, частное от деления 1г на )г есть х' — 1. Итак, / = (х+ 2) (х' — 1) ' = (х+ 2) (х — 1) г(х+ 1)г. $3.
Рациональные дроби 1. Определение рациональных дробей и действий над ними. Дробной рациональной функцией нлн, короче, рациональной дробью называется частное от деления двух полиномов. Если полиномы рассматривать как функции, в определении дробной рациональной функции нет никаких затруднений. Однако возникают некоторые неприятности при привычном всем действии сокращения дробей. Так, строго говоря, мы должны считать функции 1 ,х — 1 х-1-1 хг — ! н ' — как различные, ибо различны их естественные области определения.
Однако вторая превращается в первую при сокращении на х — 1. Мы рассматривали полиномы не как функции с заранее данной областью определения, а как формальныс выражения, над которыми можно совершать действия и преобразования по определенным правилам. Эту же точку зрения нам надлежит принять при рассмотрении рациональных дробей. О п р е де л е н и е. Рациональной функцией над полем К назовем «картинку» вида —, где 1 и д еп К[к), причем й(х) ~ О. 1 Введем теперь понятие равенства дробей. Две дроби — и — считаются равныли, если полинам 1[йг— 1г 1г хг вг — (гй! равен О.
Здесь, в отличие от прежних определений равенства для вновь вводимых объектов (комплексных чисел, полиномов и матриц), равенство определяется при помощи некоторого соглашения, а не по тождественности записи. В математике принято называть эквивалентностью или равенством такое отношение между сравниваемыми объектами, которое удовлетворяет следующим требованиям. 1. Рефлексивност[п а = и, т. е. объект а равен самому себе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
