1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 36
Текст из файла (страница 36)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 1а1 2. Симметричность: из а = Ь следует Ь = а. 3. Транзитивностзи из а = с и Ь = с следует, что а = Ь, т. е. два объекта, равные третьему, равны между собой. Проверим эти требования для равенства рациональных дробей. Рефлексивность: — = —, ибо 1К вЂ” К1 =О. к к Симметричность: если — '= — ', то — '= — ', ибо 12К! — 12Кз= 12 12 1! К! Кг Кг К! - — (М, — 1м1,) = О. Транзитивность.
Если — '= — ' и — '= — ', то — '= — '. й 1 К! Кэ К2 Кэ К! К2 Действительно, пусть — = — и — = —. Рассмотрим по- 1! 12 12 12 и ! Кэ Кг Кэ лином дз()гдз — )зй!) Он равен дз)гдз — дгМ+ИАК! — К2120! = = КБЦ2Кз — )зК!)+ К2(1зйз — 12Кз)= О, ибо — '= —" и 1! 13 12 12 К! Кэ К. К! ' Из равенства дз(1!уз — Я!)= О заключаем, что 1!уз — 12д! = О, т. е. что — - = —, ибо кольцо К[х) есть область целостности.
12 К! Кг Из данного определения равенства следует, что прн любом полиноме Ьчьб имеет место равенство — = —, т. е. в числитель и 1А к кл' знаменатель можно вставлять один и тот же множитель или сокращать на общий множитель. Далее, само определение равенства можно сформулировать так: две дроби равны, если от одной из них можно перейти к другой посредством вставки и сокращения.
Действительно, если — = — , т. е. 12дз = ~211„ то й 1г К! Кг К! К!К! К2Кг К! О Ок о Заметим еще, что — = — = —. т. е. все дроби с нулевым К 1К 1' О числителем равны между собой и равны —. Т Обратимся теперь к определениям действий над дробями. Определим сложение дробей: + 12 де! 1!К!+ 1гК! К! Кг К!К! Это определение совершенно естественно: посредством надлежащих вставок выравниваются знаменатели и затем числители складываются, Однако несмотря на естественность данного определения, нужно проверить его корректность — не изменится ли результат при замене слагаемых на равные. Пусть — = — ' и — = —. Тогда 1! ' ,12 12 14 К! Кэ К2 Кэ ! 424 2, ! 22424 и! Кг Кэкг Кэ Ке Кэиэ ПОЛИНОМЫ Н ДРОВ!4 [ГЛ. Р! 1оа Сравним результаты, исходя из определения равенства дробей.
Имеем ДЗД4(14ДЗ + 12Д!) Д!ДЗ(!ЗД4 + 14ДЗ) = ДаДа(зззДЗ вЂ” !42Д!) + ДзДЗ ИЗД4 — 444ДЗ) = О. Результаты сложения оказались равны, так что определение корректно. Из определения ясно, что сложение коммутативно и ассоциао о тивно. Элемент — ' играет роль нуля. Действительно, — + — = 1 = —.
Для — противоположным является —. ибо 11+о Я 1 я ° 1 я я я 1я-1я о о — + — = я я я я 1 з з Итак, рациональные дроби образуют абелеву группу по отношению к сложению. Теперь определим умножение столь же естественным образом: 1! 14 Зе! 1!12 Я! Яз Я!Я! Проверим корректность определения. Пусть — = — н — = —, 1! 13 14 14 Я! Яз Я2 Яз ' т. е.
)здз — )зд! = О и )Здз — 14дз = О. Сравним, согласно определению равенства, дроби — и —. 1з14 1414 Я!Я! ЯЗЯ» Имеем 1ИЗД Д -ЫЗД Д =1412ДзД4 — Ь)ЗДД4+'121 ДД вЂ” ИД!Дз= !Зде (1здз !зд!) + )зд! (12д4 !4дз) =О Умножение, очевидно, коммутативно н ассоциативно и связано со сложением дистрнбутивностью. Проверим последнее: (+ ) 1! + 14 1 1з 1!яз + йя! 1з 1!1зяз + 141зя! Ф Яз ) Яз Язве Яз Я!азиз 1! 14 12 14 1!14 1413 й1зяз 141зя! !1звз + 121зя! Я! Яз Яз ЯВ Я!Я! ЯЗЯЗ Я!Я!Я! Я!ЯЗЯз Я!Язхз Элемент — является единицей.
Действительно, 1 1 1 1 1 я 1 я' Далее, всякий отличный от нуля элемент имеет обратный. Действительно — ~ — означает что 1 Ф О, т. е. — имеет смысл н о в' я ! 1 я я 1 1' Итак, множество построенных формальных дробей образует поле. Оно называется полем рациональных функций от буквы х и обозначается К(х) (простые скобки!).
Кольцо К(х] естественно вкладывается в поле К(х). РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ Именно, положим — =- ), где 1~ К[х). Нужно убедиться в корректности этого отождествления, для чего нужно доказать, что оно не вступает в противоречие с определением равенства и определениями действий сложения и умножения. Это легко проверяется: — — равносильно равенству !! 1 — !2 1 = О, т.
е. Е~ )2 1=1 — + — = — и — - — = —, т. е, прн сложении и умноже- )2 1 +12 ! !2 112 ,! ! 1 1 !=1 нии дробей вида — получаются результаты, соответствующие ре! зультатам тех же действий над полгномами. 2. Поле частных. Присмотримся внимательнее к рассуждениям п. 1. Мы видим, что в этих рассуждениях мы почти ие пользо22ались тем, что употреблявшиеся буквы обозначали полиномы.
Иам было нужно, чтобы эти буквы были элементами коммутативного ассоциативного кольца с единицей, являющегося областью йелостности. Этим мы пользовались при проверке транзитивносги равенства дробей и при определениях их сложения и умножения, так как в определении дроби запрещено появление элемента О в знаменателе и нужно, чтобы знаменатель суммы и произведения был отличен от нуля. Мы можем теперь повторить построения п. 1 на более высоком уровне абстракции. Пусть А — произвольная коммутативная ассоциативная область целостности. Рассмотрим множество пар †, д Ф О, элементов А. Введем для них определения равенства и действий сложения и умножения: 1.
— = — ч='" !!к2 — !2к! = О; 22)2 Ф Я2 2 й + 1' Ы йя'+)ш' ° Ф Я2 %Я2 )г де! й)2 3. — ° — = —. Щ Я2 Б1Я2 Слово в слово так же, как в п. 1, проверяется корректность этих определений. По отношению к сложению символы — обраи О зуют абелеву группу с нулем — (который не зависит от д, согласно 'Ы Определению равенства). По отношению к умножению все ненулеОх вые пары (т.
е. отличные от — ( образуют абелеву группу с еди- Ы иицей — (не зависящей от д) и с обратным для — элементом —. Ы Ы е Умножение со сложением связано дистрибутивностью. Таким обРазом, мы построили поле, которое называется полем частных для области целостности А. полииомы и дневи [гл.
ш 1ВЛ Кольцо А могло не содержать единицу, в поле частных она появляется. Наконец, кольцо А вкладывается в свое поле частных посредством отождествления — (при любом д ~ б). Ы Ясно, что поле частных для кольца целых чисел есть поле Я рациональных чисел. Подобно полиномам от одной буквы, множество полиномов К(хь ..., хь] от нескольких бУкв хь х2, ..., хь является областью целостности и вкладывается в поле частных г" (хг х ....
хь) К(хь х2...,, х„), состоящее из дробей Хг Х2 " Хь 3. Правильные рациональные дроби. Вернемся к изучению рациональных дробей от одной буквы. Рациональная дробь может быть записана в форме — многими способами. Однако всегда И можно перейти к несократимой записи — со взаимно простыми числителем н знаменателем.
Для этого достаточно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократить на него. Далее, старший коэффициент знаменателя можно вынести и присоединить к числителю, после чего знаменатель можно считать нормализованным. Несократимая запись дроби с нормализованным знаменателем называется нормализованной записью дроби. или нормализованной дробью. Две нормализованные дроби равны, только если равны их числители и знаменатели, т.
е. совпадают по записи. Действительно, если — = — — равенство двух нормалий 1 Ф Я2 зованных дробей, то )1д2 = 12дь Полинам д2 взаимно прост с 12 в силу несократимости —, и, следовательно, я2 делится на дь й Ф Аналогично, д2 делится на д2, т. е. они ассоциированы. Так как их старшие коэффициенты равны 1, они совпадают; следовательно, совпадают 1, и 12. Рациональная дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя. Если дробь правильная в некоторой записи, то она остается правильной в несократимой записи, так как при сокращении степени числителя и знаменателя уменьшаются на одно и то же число, а значит, и во всякой другой записи, ибо любая зались получается из несократимой посредством умножения числителя и знаменателя на один и тот же полипом.
П р е д л о ж е н и е 1. Любая рациональная дробь есть сумма лолинома и правильной дроби. Действительно, пусть — — данная дробь. Поделим 1 на у с я Ид+г яя г остатком: 1 = И+ г, бек г ~ йед д. Тогда — = — = — + — = у Ы Ы Ы РАнионкльныв дгови Г =4+ —. Здесь д — полинам (он может равняться О, если К Г дед~( йене), а — — правильная дробь.
К Предложение 2. Сумма, разность и произведение правильных дробей есть правильная дробь. (Здесь имеется существенное отличие от арифметики рацио- 1 2 7 нальных чисел, где, например, — + — = —. ) Доказательство. Пусть дроби — и — правильные. Оии 1! 12 к! 02 останутся правильными и при записи — и —, а — ~ — = 1!уг 1ге! 1! 1! к!К! й!К2 гп йг . Степени обоих слагаемых в числителе меньше сте- 1! ег ~ 1!ч! Е!к! пени знаменателя, следовательно, степень числителя меньше степени знаменателя. Для произведения — — = — имеем 12 131! к! И! к!02 йейЦг= бей~!+йеК1г~ беку!+йепдг= беату!дг.
Таким образом, правильные дроби образуют кольцо. Оно не содержит 1. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. П р е дл о же и и е 3, Если знаменатель правильной рациональной дроби — а=К(х) есть произведение двух взаимно простьгх иоЫ линомов, у= д!д„то дробь представляется в виде суммы двух правильных дробей со знаменателями, равными сомножителям д! и дг знаменателя исходной дроби, т. е. — = — + — ', причем 1 1! 1. я!е! у! Яг обе дроби в правой части правильные. Такое представление единственно. Доказательство.
Так как д! и дг взаимно просты, найдутся полиномы М! и Мг такие, что у!М!+ дгМг = 1. Тогда — = — (у М!+у Мг) = — +— 1м! 1Мг к!уг я!я! ы! ы! В этом разложении слагаемые правой части, вообще говоря, не являются правильными дробями. Поделим полинам 1Мг на у! с остатком: 1Мг —— д!4+1!, йеи1! ( йеПУ!, так что — =д+ —. 1м! й я! я! Присоединим д к первому слагаемому. Получим — = — + у+ 1 1м! е!ы! к! + 1' = 1 '+в~! + 1' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
