1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В дальнейшем мы увидим, что такие критерии не просты. Тем не менее мы получили сейчас широкий класс полиномов, все корни которых вещественны — это характеристические полиномы вещественных симметричных матриц. Даже при и = 2 применение общеизвестного критерия неотрицательности дискриминанта требует некотога ь' рых преобразований. Действительно, пусть' н = 2, А = ~ ь тогда бе((~Š— А) = (! — (а+ с) (+ ас — Ьт, и дискримннант хт равен (а+ с)т — 4(ас — Ь') =(а — е)'+ 4Ь') О, Из вещественности собственных значений вещественной симметричной матрицы следует, что компоненты собственных векторов можно брать вещественными.
Действительно, они определяются из линейной однородной системы уравнений с вещественными коэффициентами. Ясно, что если Х есть собственный вектор матрицы А, то сХ при любом с ~ О будет собственным вектором, принадлежащим тому же собственному значению. Действительно, если АХ = АХ, то А(сХ) = )!сХ. Поэтому собственные векторы для вещественной симметричной матрицы всегда можно выбирать нормированными. Действительно, если Х вЂ”. какой-либо собственный век! тор н х' + х' + ... + х' = гт, то столбец — Х останется собствен. ! 2 ''' А Г ным вектором и будет нормирован.
3. Построение ортогональных матриц. Напомним, что матрица называется ортогональной, если ее столбцы нормированы и по. парно ортогональны. ОРтОгон»льнОе пРеОБРА30ВАние к кАнОническОму Виду 159 -$31 Л е м м а. Лусть Хь Хь ..., Х» — вещественные нормированные попарно ортогональные столбцы длины и, и пусть й ( п. Тогда существует нормированный столбец Х»+ь ортоеональный столбц м Хь Хь ..,, Хм Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Х~ =(хн х»и ° ° ° ~ хьо) 1 )т Х» =(хм, хть ..., х„») )т Х» =(х,», х,», ..., х„„) )т и Х»„, =(гь гм ..., г„) т Запишем требования ортогональности и иормированности в виде уравнений. Придем к системе: хна~ + хмг» + .. ° + хюг„= О, х~»г, + х»зг, +... + х„,г„= О, хааа, + х,»г, +... + х„»г„= О.
г Первые й уравнений образуют линейную однородную систему, причем число уравнений й меньше числа неизвестных и. Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть г'„г', ..., г'„— одно из них игз=г",+г» +... +г'„'. Тогда числа — гп — г', ..., — г' м будут удовлетворять всем уравнениям системы, т. е. дадут решение задачи. Заметим, что условие и (и здесь существенно. При й = и столбцы составляют ортогональную матрицу, она иевырожденна, и система для определения Х,+1 окажется несовместной, так что более чем и попарно ортогональных нормированных столбцов не может существовать. Отметим следующие следствия: Любую матрицу, состоящую из попарно ортогональных нормированных столбцов, можно дополнить до ортогональной матрицы. Действительно, столбцов в такой матрице не может быть больше и. Если их и, то матрица ортогональна.
Если же нх меньше и, то можно присоединять новые столбцы до тех пор, пока не придем к ортогональной матрице. В час~ности, любой нормированный столбец может быть принят за первый столбец ортогональной матрицы. Пример. Вложить столбец (1/3, 2/3, — 2/3)т в ортогональную матрицу. Этот столбец нормирован и к нему нужно пристроить еще два нормированных столбца, ортогональных между собой и КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1ГЛ. Ч ортогональных данному. Присоединяем их по одному: ! 2 2 — г!+ 3 г2 — 3 аз=О, 3 г'+ге+ г2=1 Можно взять г, =О, г,=г,=1/!/2.
Далее, 1 2 2 — г,+ — г,— — =О з з з 1 1 =г+=г =О 2 ~- З гз+ гз+ г' = 1 Из первых двух уравнений находим гз — — — гз, г! = 4гз. Из условия нормированностн !632+ г + гз= 1, откуда 2 2 3 3 3 3 1/2 Итак, одна из искомых матриц есть 1 — О 3 2 1 3 '222 2 1 3 з/2 4 3 1/2 1 3 2/2 1 з ч/й РН Р12 .'' Ры р Ро 1м " Рь Рю 132 ''' Рзь При выборе второго столбца имелся довольно широкий произ- вол, третий определен с точностью до множителя +1.
4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к кано- ническому виду. Т е о р е м а 3, Вещественная квидрати чная форма может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования пе- ременных с ортогональной матриией, Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим метод математической ин- дукции по числу и переменных. При п =1 нечего доказывать, так что база индукции тривиальна. Допустим, что теорема уже дока- зана для форм от и — 1 переменных. Пусть /(х1, хз, ..., х,)=Х'АХ, где Х=(хь хз, ..., х„)т, /ьи ...
а1„2! А =~ ° ° . ° ° . ~ — вещественная симметричная матрица. Пусть а„! ° ° а„„ Х! =(р1ь р21... р,!) — нормированный собственный вектор ма- трицы А, соответствующий собственному значению 1!1. Примем Х! за первый столбец ортогональной матрицы: ортогональное прноврлзовлнин к клноничвскомр видр 2а! Покажем, что преобразование с этой матрицей «улучшает» матрицу квадратичной формы, Матрица преобразованной формы есть РтАР. Имеем а р +а р +...+апра л,ри Ар — амри+ а22рм + + «2, р, ! " л!р2! аагРИ + а«при + ° ° ° + аппрп! Л,рп, ибо в первом столбце находится столбец АХ! = ЛгХ!.
Далее, ра, Л!ри РгАР Рм Р22 ' ° ° Раа . !Р2! Л Р!и Рза ' ' ' Рпа Л гра! Л! (Ргг+Р2! + + рп) Л! (РМРИ + РМРМ + " + Рпзап!) Л! о Л! (Р!пРИ + Р»пР2! + ' + РппРп!) ибо столбцы матрицы Р ортогопальны и пормированны. Матрица л, о ... 0 о ь ... ь РгАР симметрична, поэтому имеет вид 22 "' "', гдеВ= Ьпз !'ь„" ь, ( — симметричная матрица. Рассмотрим квадраа2 '' па ь тичную форму с матрицей В.
В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Я такая, что ЯгВЯ = Йад(Л», ... х! ох ..., Ла). Положим Я!=~о, ). Ясно, что матрица !!! ортогональна, ибо ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированны в силу ортогональности матрицы Я. Ясно, что (Д (о' и) Я! = б!ай(Л!. Лм ..., Лп) и Я! Р АРЯ! = Йад(Л! Лм ...
..., Лп). Теорема доказана, ибо РЯ! есть ортогональная матрица как произведение двух ортогональных. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. Пусть А — данная квадратная матрица и С вЂ” невырожденная матрица.
Матрица С-'АС называется подобной матрице А и переход от А к С-'АС называется преобразованием подобия посредством С. Отношение подобия симметрично, ибо А = С(С-'АС) С-', и траизнтивио, т. е. кВАдРАтнчныв ФОРмы если две матрицы подобны третьей, то они подобны. Действи- тельно, пусть В,=С АС, и В,=С АС,.
Тогда Вг=с, 'СгВгс Сг=(С, 'Сг)-'В(С-,'Сг). Покажем, что подобные матрицы имеют одинаковые характе. ристические многочлены. Действительно, де1(1Š— С вЂ” 'АС) = бе1(С вЂ” ЧЕС вЂ” С-'АС) = = йе1 С-' (1Š— А) С = бе1 С-' де1(1Š— А) йе1 С = = бе1(1Š— А)де1(С-'С) = де1(1Š— А). Вернемся к ортогональному преобразованию квадратичных форм. Равенство Р'АР= йац(Ль Ль ..., Л,) можно переписать в виде Р-'АР = д!ап(Ль Лг, ..., Л„), ибо матрица Р ортогональна, так что матрица А подобна диагональной матрице й!ау(Ль Лг, ..., Л,). Поэтому нх характеристические многочлены равны. Ясно, что характеристический многочлен диагональной матрицы д!ан(Ль Лг, ..., Л,) равен (1 — Лг)(1 — Лз) ...
(1 — Л„'). Итак, (! — Л,)(1 — Л,) ... (! — Л„)= Йе1(1Š— А). Тем самым мы дока- зали, что каково бы ни было ортогональное преобразование ква- дратичной формы к каноническому виду, коэффициенты'зтвго ка- нонического вида равны собственным значениям матрицы квадра- тичной формы, причем каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического полинома. Равенство РгАР = д!ац(Ль Ль ..., Л ) можно записать в виде АР = Рд!ац(Ль Лг, ..., Л„).
Обозначив через Рь Рг, ..., Р„столб- цы матрицы Р, получим А(рь Рь ° ° ., Р„)=(Рь Рь ° ° ., Р„)д!ац(Ль Лз, ..., Л„), откуда (Арь АРг,, АРп) = (Л|Рь Лгрг,, ЛаРп) и АР;=ЛРь 1=1, 2, ..., и. Итак, столбцы преобразующей ортогональной матрицы явля- ются собственными векторами матрицы квадратичной формы. До- казанные обстоятельства существенно помогают фактическому вы- числению коэффициентов при квадратах и элементов преобразую- щей матрицы. Именно, нужно найти собственные значения и соот.
ветствующне им собственные векторы. Но может получиться одна неприятиостгн столбцы преобразующей матрицы должны быть ортогональны, а собственные векторы априори ортогональнымн не обязаны быть. Оказывается, что зта неприятность возникает, только если имеются кратные собственные значения. Именно, верна следующая теорема.
Теорема 4. Собственные векторы вещественной симметрич- ной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональньь Э 31 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 163 Доказательство. Условие ортогональности х~у~+хгур+ ... ... + х„у„= О двух столбцов Х = (хь хм ..., х„) и У =(уь ув... ..., у„)т можно записать в матричном виде двумя равносильными формулами: ХГУ = О или УГХ = О. Пусть А — вещественная симметричная матрица, Х, и Хг — ее собственные векторы, соответствующие собственным значениям Л1 и Ль причем Л| ФЛБ Вычислим двумя способами число а =ХГАХР С одной стороны, АХ1 —— Л~ХП поэтому а = Л,ХГХ,. С другой стоРоны, из АХ, = ЛзХЗ следУет ХГА = Л,Хт, откУда а = Л,ХзХР Вычитая, получим (Л, — Л ) ХГХ, = О, откуда ХГХ, = О, ибо Лз ~ Ль Итак, столбцы Х~ и Хз ортогональны, что и требовалось доказать. 6.
Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. Даны две квадратичные фОрмы 1(хьхм... ..., х„) = ХГАХ н И(хь хм ..., х„) = ХГВХ. Существует ли невы- рожденное линейное преобразование переменных Х = СУ, приводящее обе формы к каноническому виду? Оказывается, такое преобразование возможно не всегда. Однако имеется один частный случай, когда такое приведение возможно, важный тем, что он часто встречается на практике. Именно, верна следующая теорема. Теорема 5. Две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к каноническому виду посредством невырожденного вещественного линейного преобразования переменных. Доказательство.
Пусть 1= Х'АХ, й = ХГВХ и форма й положительно определенная. Сделаем преобразование Х = СУ, приводящее форму й к каноническому виду: СГВС = йаи(дь с(в... ..., д„). Так как форма И положительно определенная, все коэффициенты г(; положительны, Сделаем теперь преобразование У = =РХ, где Р=йад(с(, э, с(-'А, ..., с(„м). Это преобразование приведет форму 6 к чистой сумме квадратов гз1+г,'+... +г„', так что РГСГВСР = Е. Форма 1 превратится в форму с матрицей РГСГАСР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
