1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 30
Текст из файла (страница 30)
+Ь„„ул. Эта подстановка обратима: у,=сих,+смх,+ ... +с,„х„, Уг = СИХ~ + СМХЗ + ° ° ° + СЫХл~ Ул = Сл~х!+ Слзхг+,, + СллХР. Если а1 ) О, ат ) О, ..., ал ) О, то неравенство а,у', + ау,'+ + ... +а„у'„(0 невозможно, а равеиствоа,у",+агут~+... +а„у'„=0 возможно только прн у1 =уз= ... — — ул=О и, следовательно, при х, хг= ... =хл=О. Если ан < О, то, взяв у, = 0 при 1'Ф1 и у~ =1, мы можем найти соответствУю1цне значениЯ х'„..., х'„пеРеменных хь х,, ... ..., хл, причем они не будут равны нулю одновременно. Тогда 1(х'„х.", ..., х„') =~,(0. Теорема доказана как в части достаточности, так и в части необходимости условия. Отметим в качестве следствия, что если при некотором преобразовании формы к каноническому виду зсе коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, то и при всяком другом преобразовании коэффициенты канонической формы будут все положительны.
2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. Теорем а 2. Для того чтобы квадратичная форма ) (ХИ ХМ ° ° ° Х„) =- аИХ, + аМХХЧ+ ° ° ° + аЫХ,ХР + +а,х,х, +а х.;'+ ... +а,„х,хл+ +а„,хлх, +ал хлх + ... +а„лх„' КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМ!У 154 [гл была положительно определена, необходимо и достаточнр вьшол- нение условий ~ а1, а!2~ а ...
а и ''' м Ь! — — ан > О, Л2= " '2 > О, ..., Ьь= ° ° ° ° ° > О, (а а 1 и 221 а, ... а ап а2! а22 " ° а2„ >О а а а! «2 "' ааа Доказательство. Необ ходи м ость. Пусть 1(х1, к,,... ..., А,) положительно определена. Тогда существует подстановка Х = ВУ с невырожденной матрицей В, преобразующая форму в а,у',+а,у, '+ ... + п„у'„при сс, ) О, а2) О, ..., а„) О. Тогда ВтАВ = д!аи(а1, а2, ..., а,) и <!е(ВтАВ = а!а2 ...
а, )О. Но де( В'АВ = йе1 Втбе( А де1 В = = де1А(йе1 В)2. Следовательно, де1 А = 22„) О. Теперь рассмотрим часть формы !'(х1, кь ., х,) 1(хи х2, ..., х,)=)(х„..., хь, О, ..., О)= =инх2+ ... +а,ах,х + +а„х,х, + ... +а„х2. Эта форма, рассматриваемая как форма от х1, ..., хь, положительно определена, ибо ее значении прн не равных одновременно пулю х1, ..., хь суть значения формы Цх1, ..., ха, ..., х,) при не равных одновременно нулю значениях для хь ..., ха, ..., х Поэтому й=1, 2, ..., и — 1. Достаточность. Пусть Ь» ) 0 при Ф = 1, 2...,, и. Тогда форма )(х1, хь ..., х„) может быть преобразована к каноническому виду посредством преобразования переменных с верхней унитреугольной матрицей и, как мы видели выше, каноническая форма будет равна Все коэффициенты при квадратах новых переменных полон!и- тельны, и, следовательно, исходная форма положительно определена, Итак, для выяснения положительной определенности квадратичной формы имеются два критерия, Естественно поставить вопрос о том, который из них лучше.
Это зависит от ситуации. злкоы инк»ции квлд»ктичных чо»м $2! Если квадратичная форма задана численно, то для приведения ее к каноническому виду требуется приблизительно столько же арифметических операций, как при вычислении одного определителя. Так что в этом случае первый критерий проще. Для теоретических же исследований лучше критерий Сильвестра, так как он дается простыми формулами.
3. Закон инерции квадратичных форм. Те о р е м а 3. Если квадратичная форма преобразована двумя способами к каноническо.иу виду, то число квадратов новых переменных с положительными коэффициентами будет одинаково, так же как число квадратов новых переменных с отрицательными коэффициентами.
Иными словами, число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведенин формы к каноническому виду. До к р э а т е л ь с т в о. Пусть дана форма, приведенная к каноническому виду двумя способами: Считаем, что все ви и Р; положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми посредством следующих невырожденных преобразований: х~ =Ьну1+ ° ° + Ь1»у» у1 =~их~+ ° ° ° +1~ г» х„=Ь„,у, + ...
+Ь„„у„; у„=~„,х, +... + ~„„х„; х1 = спг! + ' + с>»г» 21 упх~ + + у1»х» х„=с„,г, +... +с„„г„; г»=у„,х, +... +у„„х„. Допустим, что число положительных коэффициентов не одина- ново. Будем считать, для определенности, что р э. Полом пя у, = О, ..., у» = О, г,+, — — О, ..., г, = О. Все у; и г; являются линейными формами от хп ..., х,. Таким образом, написанная совокупность равенств есть система линейных однородных уравнений относительно хь хь ..., х„, Число неизвестных равно и, число уравнений равно р+ и — э ( и, Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть х,", ..., х„' — одно из них.
Соответствующие значения для уь ..., у, обозначим через у'„..., у'„. Заметим, что у', =... =у' = О.Соответствующие значения для гь..., г„ обозначим через г'„..., г„'. Эти значения не равны одновременно нулю (иначе равнялись бы нулю х'„..., х"„), но г,', =О, ..., г,'= О. Поэтому среди чисел г'„..., г', имеются отличные от нуля. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [Гл. т Из представления Цхн х„..., х„) = а,у', + ° * ° + арур— 2 — а,у, —...
— а у', имеем: Из другого представления: ) (х" ° х„") = РР",'+ ... + 1,Е,' > О. Последнее неравенство строгое, ибо среди г'„..., е,' имеются отличные от нуля. Мы пришли к противоречию, так что предположение о различии числа положительных коэффициентов неверно. Для установления равенства числа отрицательных коэффициентов достаточно перейти к форме — )(хь ..., х,) и ее каноническим представлениям — )(х, ..., х )= — ау2 —... — а у2+а У2 + ... +а у2 и применить уже доказанное утверждение о равенстве положительных коэффициентов. Теорема доказана полностью. Заметим еще, что если (ац а,~ Л, = ан чь О, Ь2 = ~ " ' ~ чь О, ..., 22„= ее 2 А чь О, а2! 222 то можно дать формулу для числа отрицательных коэффициентов в канонической форме.
Именно, оно равно числу перемен знаков в ряду чисел (=йо, йь Л2, "|Аь Действительно, коэффициенты в канонической форме, получающейся при преобразовании с правой унитреугольной матрицей, равны Ь! А2 а2 Ь2 ае ' Рч ' З2' "' Зи-1 ' так что число отрицательных среди них равно указанному выша числу перемен знаков. й 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду С Собственные значения и собственные векторы матрицы. Пусть А — квадратная матрица с элементами, являющимися комплексными (в частности, вещественными) числами, ненулевой столбец Х называется собственным вектором матрицы А, если имеет место равенство АХ АХ при некотором комплексном (возможно, вещественном) Х, называемом собственным значением.матрицы А.
$3! ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 1З7 Теор е м а 1. Для любой квадратной матрицы с комплексными элементами существует по крайней мере один собственный вектор с комплексными компонентами. Доказательство. Пусть ац а,, а,„ а2, ам '.. а2« А= Х= А! «2 ''' аа а ... а и пусть АХ = ЛХ. Это значит, что 1 Лх! Лх а, х, + а, х + ... + а, х а2121 + а2222 + ''' + а2 х а„,х, + а„ х2 + ° .. + а„„х„ Лх а приравнивание компонент дает ацх, + амх2+... + а,„х„= Лхц а„х, +а„х, +... +а,„х„= Лхт, а„,х, +а„тх,+... +а„„х„=Лха.
или (Л вЂ” ац)х, — а„х2 —... — а,„х„=О, — а21х, +(Л вЂ” а22)х2 —... — ат„х„=О, — а„,х, — а„,х, —... + (Л вЂ” а„„) х„= О. Это однородная система линейных уравнений относительно хц л2, ..., х„, причем нас интересуют ненулевые решения этой системы. Для существования таких решений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю: Л вЂ” а ц — а ...
— а 12 1« — а Л вЂ” а 21 22 — а 2л — а ... Л вЂ” а а2 пп — а л! В матричной записи бе1(ЛŠ— А) = О, т. е. Л должно быть корнем .характеристического полинома бе1(ГŠ— А) =("+ ... матрицы А. .В силу алгебраической замкнутости поля 1С! комплексных чисел характеристический полином имеет корни, и каждый из них явля-ется собственным значением для некоторого собственного вектора, компоненты которого находятся из линейной однородной системы.
Заметим еще, что собственные значения, т. е. корни характе.ристического полннома, часто называют характеристи«ескилги числами матрицы. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ !Гл. у 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы. Теорема 2. Все собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — вещественная симметричная матрица н Х вЂ” некоторый ее собственный вектор с комплексными компонентами, так что АХ = АХ при некотором )!. Подсчитаем двумя способами число а = Х"АХ (черточка наверху обозначает, как обычно, комплексное сопряжение).
Это действительно число, ибо оно есть произведение строки Х" на столбец ЛХ. Имеем: а = = Х "АХ. Но (а)' = а,так как число а,рассматриваемое как матрица первого порядка, прн транспонировании не изменяется. Поэтому а=(Х АХ) =Х Л Х* =Х!ЛХ =а. Итак, а = а, т. е, а — число вещественное. С другой стороны, а = ХтАХ = ХтЛХ = !!(х!х! + ... ... +х,х„)=Х()х!)'+ ... +(х,)т). Ввиду того, что Х~О, !х!!" + ... +!х,~ ) О и Х=,+ +, есть число ве- шес гвен нос. Теорема доказана. Хочется отметить нетривиальность содержания доказанной теоремы. Мы еше не располагаем критериями вещественности корней полинома с вещественными коэффициентами при а ) 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
