1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Лнаяогично, если СА = Е, то (СА) А-' = А ', откуда С = А-', млтгицы и опьвдялнтвли' 1гл. пг Квадратная матрица А, у которой де1АвьО, называется неособеннои" или невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной. Для матриц с элементами из коммутативного ассоциативного кольца (не обязательно поля) те же рассуждения дают следующее условие обратимости: Для того чтобы матрица А с элементами из коммутативного ассоциативного кольца Л была обратима над тем же кольцом, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был обратимым в кольце Л элементом.
Действительно, необходимость следует из равенства де1Аде1А-' = 1, а определитель матрицы с элементами из Л принадлежит Л. Для достаточности нужно заметить, что элементы союзной матрицы Х принадлежат кольцу Л и, если де1 А обратим в Л, то матрица (де1 Л) — 1А будет обратной, и ее элементы принадлежат Л. Например, для целочисленной обратимости матрицы с целыми элементами необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен -+1. Для обратимости матрицы над кольцом полнномов необходимо н достаточно, чтобы ее определитель был не равной нулю константой, и т. п. 2. Неноторые свойства обратном матрицы. 1. Йе1Л ' = (де1А)-'.
Действительно, ЛА-' = Е, следовательно, де1 А де1 А-' = де1Е = 1, откуда (де1А)-' = де1А-'. 2. Если А и В нсвырожденны, то их произведение АВ тоже ие- вырожденно и (АВ)-' = В-'А-', т. е. матрица, обратная к произ- ведению, равна произведению обратных, взятых в обратном по- рядке. Действительно, ( — 'Л ') (ЛВ) =  — '(А — 'А) В = В-'В = Е, откуда следует, что  — 'Л вЂ” ' = (АВ) З, (Л-)- ='Л. Действительно, (А — ')-' есть такая единственная матрица, про- изведение которой на А-' равно Е. Этим свойством обладает А.
4 (Лт) -~ (А-1) т Действительно, переходя в равенстве АА-' = Е к транспонн- рованным матрицам, получим (А-')тАт = Е, откуда н следует, что (А-')т = (Ат) 3. Решение линейных систем с невырожденной матрицей втер- минах обратной матрицы. Пусть дана система линейных уравнений Ах = Ь, где А — певырожденная квадратная матрица, х — столбец из не- известных, Ь вЂ” столбец свободных членов. ОБРАШКННВ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ 137 Допустим, что система имеет решение и х уже есть решение, так что Ах = Ь вЂ” верное равенство. Умножим обе части его на А-'.
Получим А-'Ах= А-Ъ, откуда х= А-'Ь. Теперь докажем, что А-'Ь действительно есть решение: А 1А-АЬ)=ГАА ')Ь = Ь. Мы находились в условиях теоремы Крамера, н приведенные несколько строк представляют собой доказательство теоремы Крамера. Легко проследить, что то доказательство,,которое было приведено, в точности совпадает с данным сейчас, но было осу- .ществлено в развернутой записи. Именно, умножение уравнений системы на алгебраические дополнения н сложение представляло собой не что иное, как умножение слева на союзную матрицу.
Вторая часть, проверка, представляла собой подстановку А-'Ь вместо х, но в развернутой записи. Ясно также, что равенство 1 х= А Ь = — АЬ есть матричная запись формул Крамера. Столь же кратко зайисывается решение матричного уравнения АХ = В, где А -- певырожденпая матрица порядка и, Х вЂ” неиз- вестная НХЬ-матрица,  — данная п'р',Ь-матрица. Именно, Х= А-'В. Запись АХ = В равносильна Ь системам линейных урав- нений с одной и той же матрицей коэффициентов А, с неизвест- ными, составляющими столбцы матрицы Х, н со свободными чле.
нами, составляющими столбцы матрицы В. /А Ох 4. Обращение ступенчатой матрицы. Пусть 1 с о ) — невырож. денная ступенчатая матрица с квадратными блоками А н О. Из невырожденностн следует, что бе1 А Ф О и бе1 0 Ф О. Пусть (..)- к гх У) — обратная матрица, разбитая на блоки в соответствии о /А Ох/х ух Разбиением исходной матРицы. Из Равенства 1 с и ) 1 В у ) = Е ) следуют уравнения АХ = Е, Ау = О, СХ+ 0Г1 =О, /е Ох ).о Е,) СУ+ 0У= Е. Находим из первого уравнения Х=А-', из второго У=О, рз четвертого У = 0-' и, наконец, нз третьего У = — 0-'СА-', Итак, (с и) ( — о 'сА ' 1з ')' Аналогично, 1 ) =(, ). 5. Вычисление определителя матрицы, разбитой на четыре клетки„и обращение такой матрицы.
Пусть дана матрица ~ с и ) /А ЕА е квадратными клетками А н О, причем предполагается, что мхтиицы и опгвделитнли 1гл. ~ч гзз матрица А невырожденна. Умножнм матрицу слева на Матрицу (, ) ° Получим ( сА ' в)(с в) (о -сА 'в+в)' Переходя к определителям, получим де1А де1(с в) = де1(Р— СА 'В) де1 ( с в ) = де1 А де1(Р— СА В), Матрица Р— СА-'В называется шуровским дополнением к ГА Вх субматрице А матрицы ~„. В). Перейдем теперь в равенстве (з) к обратным матрицам.
Получим (с в) ( — сА ' в) (о в — сА 'в) откуда 'хс В) (о в — СА 1в) ( сА ' В) (г — А 'В( -гг В) )( А Ог) А '+А 'В(О-сА 'В) сА ' — А ~в(в — сА ~в) -(в-сА 'в) сА -( (Π— СА ~в) Заметим еше, что если А, В, С, Р— квадратные матрицы одинакового порядка, то формулу для определителя можно преобразовать к виду де1 ~, ) = де1(АР— АСА В), и если А н С коммутнруют, то де1(с в) де1(АР— СВ) Аналогично, записав де(-А правым множителем, получим де1~с в) деФ(РА — СА 'ВА) ОВРАЩЕНИВ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ 1ЗВ чм и, если А н В коммутнруют, де1 ~,, ) = йе1(0А — СВ).
6. Ортогональные и унитарные матрицы. Вещественная матрица называется ортогональной, если ее обратная совпадает с транспоинрованной. В формульной записи: Р ортогональна, если РРт = Е, Запишем это матричное равенство в развернутой форме. Пусть Рн Рн . Р~п р Рм Рн ' ° ° Рзп Рп~ Рпп ° ° ° Рпп 'Тогда Р~~ Рм ° ° ° Р Т ро р„... Рпп Рт Рпп ° ° Рпп ррт ~Рн +Рп + ° +Р~п РНРН +Рпрзг+ ° +Р~пртп ° ° ° ) На главной диагонали матрицы РР' находятся суммы квадратов элементов строк матрицы Р.
На остальных позициях находятся суммы произведений соответствующих элементов двух различных строк. Поэтому равенство РР' = Е, характеризующее ортогональ. пые матрицы, записываетси как Вещественная строка называется нормированной, если сумма квадратов ее элементов равна 1, и две вещественные строки называются оргогональными, если сумма произведений соответствующих элементов равна нулю. Таким образом, условие РРт = Е равносильно тому, что строки матрицы Р нормнрованны н попарно ортогональны. Из равенства РР' = Е следует Р'Р = Е, или Рт(Р')т = Е, Таким образом, из ортогональностн матрицы Р следует ортогональность транспонированной с ней матрицы Рт н обратно.
Однако развернутая запись равенства Р'Р = Е полностью отлична от эапнсн РРт = Е, именно, имеет вид нормированности и попарной ортогоиальности столбцов матрицы Р, Таким образом, мы мхтгнцы и опягдалнтвли 140 ~гл. гч получаем нетривиальное обстоятельство — нз нормнрованности и попарной ортогоиальности строк матрицы следует нормированность и попарная ортогональность ее столбцов.
Отметим некоторые свойства ортогональных матриц. 1. Ортогональность Р влечет ортогональность Р-'. Действительно, Р-' = Рт, а ортогональность Рг уже установлена. 2. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Действительно, Р~Р~ГР~Р41 =Р~РзР~Р~ =Р~ЕР~ =Р~Р~ =Е. 3. Единичная матрица ортогональна. Действительно, ЕЕт = ЕЕ = Е.
Эти свойства означают, что ортогональные матрицы образуют группу. 4. Определитель ортогональной матрицы равен ~1. Действительно, де1 РР' = (де1Р) з = де1 Е = 1, откуда бе1Р = ~ ~1. Ортогональные матрицы разбиваются на два класса — собственно ортогональиые с определителем 1, и несобственно ортогональные с определителем — 1. В дальнейшем мы увидим различие в геометрическом смысле собственно и несобственно ортогональных матриц. Среди матриц с комплексными элементами существенную роль играют так называемые унитарные матрицы. Матрица А', комплексно сопряженная с транспонировапиой к А, называется солряясенной с А, т. е. А' = Ат, где черточка наверху — знак комплексного сопряжения. Матрица ьг называется унитарной, если обратная к ней совпадает с сопряженной, Записав равенство ЯЯ' = Е в развернутой форме, получим Строка из комплексных чисел называется нормированной, если сумма квадратов модулей ее элементов равна 1.
Две комплекснщ строки называются оргогональкыми, если сумма произведений элементов одной строки иа числа, сопряженные с соответствующими элементами второй строки, равна О. Таким образом, равенство ЯЯ' = Е обозначает, что строки матрицы Я нормированны и попарно ортогональиы. Равносильное равенство Я'Я = Е дает, что столбцы матрицы Я нормнрованпы и попарно ортогональны. Отметим свойства унитарных матриц, аналогичные свойствам ортогональных матриц. хАРАктеРистичяский полинам мАтаипы 14! 1. Унитарность Я влечет унитарность Я-!.
Действктельно, 11-! = Ял, а унитарность Я" следует нз равенства !Щ = Е. 2. Произведение унитарных матриц есть унитарная матрица. Действительно, ЯДА(ЯЩ' = ЯЩЩ! = Ф(е! Е. 3. Единичная матрица унитарна. Действительно, ЕЕ' = ЕЕ = Е. Этн свойства 'означают, что унитарные матрицы образуют группу. 4. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1. Действительно, бе1 ЯЯ' = бе1Я бе1 Я'= беЩ беЩ =) бе! Щ'= ~к~ 1. й 7. Характеристический полинам матрицы 1.
Определение характеристического полинома. Сопоставим квадратной матрице с элементами из поля К матрицу гŠ— А, элементы которой принадлежат кольцу полиномов К!г). Матрица 1Š— А называется характеристической матрицей для А, а ее определитель )(!)= бе1(ГŠ— А) называется характеристическим лолииомлм матрицы А. Если ан ап ...а,„ аи ап .. а~л то !(!) = гл — Ь!! '+ЬА!л-.'+ ... +( — 1)РЬ„с коэффнцн;нтами нз К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
