1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теорема б. Общее решение неоднородной системы линейных уравнеиий равно сумме частного решения и общего решения одно- родной систел]ы с той же матрицеи коэффициентов. Доказательство. Пусть хч — какое=либо частное решение системы Ах = Ь линейных неоднородных уравненвй. Тогда Ахг=-Ь, и система Ах = Ь равносильна Ах = Ахы или А(х — х,) = О.
По- этому х — хч должно быть решением однородной системы с той же матрицей А. Общее решение системы Ах = Ь получится, если взять х — х, равным общему решени]о однородной системы. Отсюда не- посредственно следует справедливость теоремы. 5. Метод Гаусса. Рассмотрим метод решения системы линей- ных уравнений путем сведения его к решению системы с трапецие- видной (в частности, с треугольной) матрицей коэффицпентов— так называемый метод Гаусса. Пусть анх,+ ...
+а,„х„=Ь„ а,х,+ ... +а „х„=-Ь„, — система линейных уравнений. Уравнение с,(анх]+ ... + а],х )+ ... + с (а„]х]+ ... + а „х„) = = с]Ь,+ ... +с Ь„ называется линейкой комбинацией уравнений данной системы. Очевидно, что каждое решение исходной системы будет решением н для линейной комбинации. 1Гл ю МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 120 Две системы линейных уравнений называются линейно эквивалентными, если каждое уравнение первой системы есть линейная комбинация уравнений второй системь1 и каждое уравнение второй системы есть линейная комбинация уравнений первой системы.
Линейно эквивалентные системы эквивалентны и в обычном смысле — онн одновременно совместны нли несовместны и, в случае совместности, имеют одинаковые множества решений. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называем умножение уравнения иа отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число. Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в линейно эквивалентную. Теорем а 6.
Любая система линейных уривнений приводится посредством элементарных преобразований и, быть может, изменения нумерации неизвестных к системе с трапециевидной матрицей. В частности, для системы и уравнений с и неизвестными с не равным нулю определителем матрицгя коэффициентов система приводится к системе с треугольной матрицей.
Доказательство. Сделаем последовательность элементарных преобразований так, чтобы матрица коэффициентов привелась к трапециевидной форме. Возможно, что при этом придется изменить нумерацию неизвестных (и соответствующих столбцов матрицы коэффициентов). Если ранг г матрицы коэффициентов меньше числа уравнений т, то система примет вид: с х+ ... +с х+с,,„х+ + ... +с,„х„=йи с„х„+ с, „,х,ь, + ...
+ с,„х„= й„ О =й,,ь О Равенства, следующие за г-м уравнением, могут быть противоречивы, если хотя бы одно из чисел й,ы, ..., а' отлично от нуля. Если же все они равны нулю, то последние гп — г равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если г ( и, то неизвестным х,+ь, х„можно придавать произвольные значения.
Неизвестные хь ..., х, найдутся из решения системы с 1г сц ... сыЧА треугольной матрицей ~ . /. Эту систему удобно ре- О ... с шать, определив из г-го уравнения х„затем из (г — 1)-го х, ~ и т. д. Если сохранить за неизвестными х,+1, ..., х„буквенные ДАЛЪНЕЙП!ИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ л!бозначения, мы можем выразить через них хь ..., х, и получить ;общее решение системы. Если т = л, то система 1в случае совместности) имеет единственное решение.
Если т = лт= л, т. е. если матрица коэффициентов системы 'квадратная с не равным нулю определителем, этим способом ре'шение системы сводится к решению системы с треугольной матрицей спх, + ... + с,лх,=д„ Слала ~~л ,при сп ФО, ..., с ФО. Обычно добиваются того, чтобы сп = ... ... = с„=1. Для этого каждый раз, прежде чем добавлять с нужными множителями уравнение к последующим, делят обе части уравнения на коэффициент при исключаемой неизвестно!! 1схема единственного деления метода Гаусса).
Г1реобразованне системы к системе с треугольной матрицей называется ггрямым -ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке хл, х, !, ..., х! называется обратным ходом. Легко подсчитать, что число арифметических действий при применении метода Гаусса ненамного больше числа арифметических действий для вычисления одного определителя. Метод Гаусса до настоящего 'времени остается одним из лучших методов решения систем линейных уравнений. $5.
Дальнейшие свойства определителей 1. Теорема Лапласа. Теорема, о которой будет идти речь в этом пункте, является глубоким обобщением разложения определителя /ап ... а,л по элементам строки. Пусть А =~ — квадратная а ... а л! ''' лл матрица порядка и. Напомним, что минором порядка й для этой матрицы называется определитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на пересечении некоторых выбранных й строк и й столбцов. В общем виде минор порялка я можно записать в форме ал Е а л,аА а ... а ала ''' ЛАВА Здесь а!, ..., ал — номера выбранных строк а! < !Ег ( ...
( а„ и й!., .. йл — номера выбранных столбцов, р! < ре « . рл. Минором, дополнительным к данному минору порядка я, называется минор порядка л — я, матрица которого получается из исходной посредством вычеркивания строк и столбцов, содержа- мктеицы и опееделители [гл. зч ап а, а, аы а21 а22 а23 а 24 аз! азз азз 31 41 42 а43 а«4 выбрать первые две строки, теорема Лапласа дает Доказательство теоремы Лапласа довольно громоздко. В конце курса, в главе, посвяшенной внешней алгебре, теорема Лапласа появится как почти очевидное утверждение. Мы ограничимся доказательством важного частного случая, именно, формулой для определителя ступенчатой матрицы.
Ступенчатая матрица устроена так: а„аи ... а, О О а21 азз ... аз~ О О О аа«+ 1. ! 3«+1. 2 ' " а«а«-1, т т+1, в+1 " ' 2+1, а а! а 02 а за« а а, «2+1 ''' ал а Если к определителю ступенчатой матрицы применить теорему Лапласа, исходя из первых пз строк, то лишь один минор будет отличен от нуля, именно, левый верхний, н его алгебраическим дополнением будет минор, составленный нз последних и — яз строк и столбцов.
Согласно теореме Лапласа !1 !2 "' 1е ам ам аз а а, а. о~+1 "' аа бе1 А =- а а ... а щих данный минор. Алгебраическим дополнением к данному минору называется дополнительный минор с множителем ( 1)а,+...+а «-В«+., «Вз. Т е о р е м а 1 (теорема Лапласа). Пусть в матрице определителя выбраны й строк. Определитель равен сумме произведений всех миноров порядка й, составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения. Например, если для определителя !гз ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Э тот частный случай теоремы мы сейчас докажем.
При т = 1 утверждение теоремы очевидно. Далее проведем индукцию по по- рядку т минора из левого верхнего угла, допустив, что для левого верхнего углового минора порядка т — 1 теорема верна. Введем следующие обозначеяия. Через ин, а1г, ..., а! обозначим алге- браические дополнения элементов нервои строки определителя а1! " а1., , чеРез б1Ь биь ..., б1, — соответствУющие миноРы.
и!1 " йл алее, чеРез А11, Аиь ..., А1, обозначим алгебРаические допол- нения элементов первой строки в определителе де1А н через Лн, Лм, ..., Л1„— соответствующие миноры. Разложим определитель де1 А по элементам первой строки. По- лучим бе1А =а,!Ан+ ... +а,„,А„„= = а1А! а1гЛ1г+ ° ° ° + ( 1) й1йЛШ = Х ( 1) агвйм Ф-1 Присмотримся к тому, что представляет собой минор Лнь Его матрица получается вычеркиванием первой сгроки и й-го столбца из матрицы А.
Останется снова ступенчатая матрица. Ее левый верхний угловой минор имеет порядок т — 1, и его матрица есть результат вычеркивания первой строки и й-го столбца нз матрицы с ан ''' а!!п 1 ) . Правый нижний угловой минор такой же, как у а ... й пав! ' ~ли| матрицы А. В силу индуктивного предположения и+1,и!+1''' !лп! л а Л1! — — Л,А а л и!П! ''' лл й Поэтому ~п 1а 1, +! " '+!.. де(А = ~, ( — 1)'+'а!Ад!А~ и-1 а л т+! ''' ли й л3"1.1, и!+1 п1+1, и й а1йаы а-! а и. п!.~-1 ' ' ' лл а ... а 1и й+!. и!+! ''' и!+1, п а . а а ...
а и! '' ' ппл й л, а~+1 что и требовалось доказать. Для приложений теории определителей теорема Лапласа, в основном, нужна именно в частном случае определителя ступенчатой матрицы. мАТРицы и ОпРеделители 1гл, !ч 124 П р и м е р. 1 2 О О О 3 4 О О О 5 6 1 2 3 7 8 2 3 4 и е 3 1 2 к е е-' с д и с к' с Е О О О О 1 2 3 2 3 4 3 1 2 е-' с в с О О О О О О 2 5 З 7 2 5 3 7 ! ° 2 3 4 ° ~ 7~ ( — 2) ° ( — 3) ° ( — 1)= — 6. 13 1 2~ Мы дважды применили теорему об определителе ступенчатой матрицы.
2. Умножение матриц, разбитых на клетки. Пусть матрица разбита на части горизонтальными и вертикальными линиями, идущими через всю матрицу. Получившиеся части называются блоками или клетками, а исходная матрица называется блочной или клеточной. Блочную матрицу можно рассматривать как матрицу, элементами которой являются матрицы. Оказывается, что основные действия иад клеточными матрицами можно производить по тем же правилам, что и над матрицами из чисел (или из элементов данного поля). г(о, разумеется, должны быть выполнены надлежащие требования на разбиения, чтобы все нужные действия имели смысл. Если А и  — две матрицы одинакового строения и они разбиты на клетки одинаковым образом, то их можно складывать по клеткам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
