1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть строки и), ..., и составляют линейно Независимую совокупность, а строки и), ..., ичь и +! — линейно зависиму)о, Тогда и„э! есть,)инейная комбинация и),..., и . Действительно, в равенстве с)и! + ... + с и + с ыи Р! = О с не равными одновременно нулю коэффициентами коэффициент с +! отличен от О, так как иначе совокупность иь ..., и была бы с! линейно зависимой, Следовательно, и„ч, = — и,— гмэ! сщ ...— — и . с„+, Строку й = (а), ..., аь) будем называть отрезком строки и = =!!а), ..., ам ач). Предложение 3, Если между строкал)и и), ..., и имеется линейная зависимость, то такая же зависимость имеет место и для их отрезков йь ..., й фиксированной длины, Действительно, равенство с,и)+ ...
+ с и = О означает, что все компоненты строки с)и! + ... + с и~ равны нулю, а равенство с)й)+ ... +с й =О означает то же самое для компонент, входяп)их в отрезки. Отсюда непосредственно следует, что если некоторые отрезки строк и), ..., и линейно независимы, то и сами строки и), ..., и составляют линейно независимую совокупность.
2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. П р е д л о ж е н и е 4. Пусть и), ..., и„— строки матрицы ан ... а!ч А! '' Ач ач,! ... ач„ причем строки иь+1, ..., и являются линейными комбинациями строк и),, иь. Пусть, далее, о), ..., о,— столбцы матрицы А, млттицы и оптвделнтвли 1гл 1т ыо а бь ..., б„— их отрезки длины й. Тогда из любой зависимости с,б+ ... + с„б„= О следует зависимость с|о, + ... + с„о„= О. Это предложение обращает при сделанных ограничениях предложение о линейной зависимости отрезков линейно зависимых строк (здесь — столбцов). Доказательство.
Пусть и,+, — — Ьь+ь,и~+ ... + Ьь,ь „им и =Ь„,и, + ... +Ь„,иь. Пусть, далее, с1б~+ ... с.б. = О. Это означает, что первые й компонент столбца с|о1+ ... + с,,о, равны нулю. Рассмотрим (й+ 1)-ю компоненту. Она равна с1аь+ь|+ ... + с„аь+ь„,. Но, в силу (1), аь+ь, —— Ьь+ь~ан+ ... +Ьь+ь гам, а„„ь „=Ь„„,,а,„+ ... + Ьь+, ьаь,. Поэтому с,аь... + ... + с„аь+,„,—— =Ьь+ь.(с~оп+ ... +с„аы)+ °" +Ьь+ьь(сам+ ° .. +с„а,„). В скобках находятсяпервые к компонент столбца с1о1+ ... +с„о„, Все оии равны нулю. Следовательно, равна нулю и вычисленная нами (а+1)-я компонента.
Аналогично доказывается равенство нулю всех остальных компонент. Предложение доказано. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций, Теорема 5. Пусть иь ..,, и„и оь ..., оь — две совокупности строк, и все строки второй совокупности суть линейные комбинации строк первой. Тогда, если й) и, совокупность оь ..., оь линейно зависима. Доказательство проведем методом математической индукции по числу комбинируемых строк. Для т = 1 утверждение почти очевидно.
Пусть о, = с,иь ..., оь = сьиь Если с| = О, то совокупность оь ..., о„линейно зависима, так как содержит нулевую строку. Если с1 чьО, то имеется линейная зависнмостгс ( ст)о1+ с1ог+ О'сз+ ... + О'оь О. Допустим теперь, что утверждение верно для совокупности нз пг — 1 комбинируемых строк, и в этом предположении докажем его для т. ЛИНВННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК <СТОЛВЦОВ! аз! Пусть о, = спи, + с<тис+ ...
+ с, и, о,=с„и,+с„и,+ ... +с„„и„, д„=с,и, +сьи,+ ... +СА и . Если сн = см = ... — — см =О, то утверждение верно, так как тогда о<, ..., ОА являются линейными комбинациями т — 1 строк иь ..., и . Пусть один из этих коэффициентов отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что си ныл. Рассмотрим строки: Вновь построенные й — 1 строк являются линейными комбинациямн т — 1 строк и<ь ..., и„.
Так как и - т, то й — 1 ) т — 1. В силу индуктивного предположения строки о', ..., о' образуют линейно зависимую совокупность. Это значит, что существуют не равные одновременно нулю коэффициенты Ьи ..., ЬА такие, что Ь,о, + ... + ЬАОА — — О. В последнее соотношение подставляем выражение строк о'„..., о'„ через строки о<, ..., ом Получим Ь, ( а — †;н ,) + ... + Ь„ ( , — †;" ,) = О, откуда ьс +...+ь<см о, + Ь,о,+... +ЬАОА= О. сб Теорема доказана. С л еде т в и е. Любая совокупность строк длины и, содержа- и(ая более чем и строк, линейно зависима.
Действительно, любая строка (а<, ..., а,) длины и может быт! представлена так: а<(1, О, ..., 0) + ас(О, 1, О, ..., 0) + ... + а (О, О. .. О, 1), т. е. является линейной комбинацией некоторых и вполне опреде ленных строк. В силу только что доказанной теоремы, если числ< строк больше п, то их совокупность линейно зависима. 4. Базис н ранг совокупности строк. Пусть дано конечное ил! бесконечное множество строк длины п.
В нем существуют линейн< независимые подмножества, содержащие не более и строк. Сред< них существуют максимальные, содержащие наибольшее числ< строк, МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1гл. Еч Теорема 6. Все строки данного конечного или бесконечного множества строк длины и являются линейными комбинациями строк любого максимального линейно независимого подмножества, Доказательство. Пусть иь ..., и — строки, образующие максимальное линейно независимое подмножество, и пусть и— какая-либо строка исходного множества. Тогда совокупность иь ..., и, и линейно зависима и, как мы видели выше, и есть линейная комбинация иь ..., и .
Линейно независимая совокупность строк, линейными комбинациями которых являются все строки рассматриваемого множества, называется базисной или фундаментальной совокупностью, короче, базисом данного множества строк. Предложение 7, Число строк, составляющих базис, не зависит от его выбора, Действительно, пусть иь ..., и и оь ..., оь — два базиса одного и того же множества строк. Так как оь ..., оь — линейно независимая совокупность строк, являющихся линейными комбинациями строк иь ..., и, должно быть й ( гп.
По тем же соображениям т ~ Й, так что гп = й, что и требовалось доказать. Число строк, составляющих базис данной совокупности строк, называется рангом этой совокупности. Разумеется, тот же термин применяется к совокупностям столбцов. Предложен не 8.
Даны две совокупности строк такие, что втооая из них содержит первую. Если их ранги одинаковы, то все строки второй совокупности являются линейными комбинациями строк первой сввокупности. Действительно, выберем базис первой совокупности. Так как ранги равны, выбранные строки образуют базис и для второй совокупности, и все ее строки являются линейными комбинациями этого базиса. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. Две совокупности строк иь ..., и и о1, ..., ОА называются линейно эквивалентными, если каждая строка первой совокупности есть линейная комбинация строк второй совокупности и каждая строка второй совокупности есть линейная комбинация строк первой. Предложение 9. Ранги линейно эквивалентных совокупностей строк равны. Доказательство. Пусть г — ранг второй совокупности.
Это значит, что все строки второй совокупности являются линейными комбинациями базиса, состоящего из г строк. Но тогда и строки первой совокупности, будучи линейными комбинациями линейных комбинаций этих г строк, сами являются их линейными комбинациями. Следовательно, ранг первой совонупности не больше г, т.
е. ранга второй совокупности. По аналогичной причине ранг второй совокупности не больше ранга первой. Следовательно эти ранги равны. ЛИНЕ)ЗНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБИОБ) ыз 6. Ранг матрицы. С данной прямоугольной матрицей связывается множество ее строк и множество ее столбцов. Каждое нз них имеет ранг. Замечательно то, что эти ранги равны. Т е о р е м а 10. Ранг множества строк прямоугольной матрицы равен рангу множества ее столбцов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а„а„...
а|Р аи ам ... а)„ Пусть ранг множества ее строк равен я. Тогда найдется базис из й строк, т. е. такое линейно независимое множество строк, что все остальные строки являются их линейными комбинациями. Для 1)прошения записи будем считать, что это первые а строк, иначе мы изменили бы нумерацию. Введем в рассмотрение матрицу нз 'этих строк аи а~) .. а~а А= аь, аы ... аь„ Столбцы матрицы й являются отрезками столбцов матрицы А. Выберем базис столбцов матрицы А. Пусть число столбцов, составляюших базис, раино т.
Все столбцы матрицы Х являются их линейными комбинациями. Ясно, что г «й. Пополним выбранные базисные столбцы до полных столбцов матрицы А. Получившиеся столбцы линейно независимы, и, в силу предложения 4, все столбцы матрицы А являются их линейными комбинациями. Таким образом, мы построили базис множества столбцов матрицы А, состояший из г столбцов, причем г й. Итак, ранг г множества столбцов матрицы А не превосходит ранга й множества ее строк. Но по тем же соображениям ранг я множества строк не превосходит ранга т множества столбцов. Следовательно, этн ранги равны.
Их величина называется рангом матрицы. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. Т е о р е м а 11. Для линейной зависимости множества строк квадратной матрицы необходимо и достаточно обращение в нуль ее определителя. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Допустим, что не1АФО, где ам ° .. а)а МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2!4 !гл.
!т РаВЕНСтВО С!и! + Стиэ+ ... + С.ил = О, ГдЕ иЬ и2, ..., ил — Стре* ки А, равносильно системе линейных уравнений аис,+а„с,+ ... +ал,сл=О, аис, + ае!с2 + ... + атсл = О, а,лС, +а2лС2+ ... + аллСл=О, а„ По свойству определителей а,! ли ... л!л ЛМ 222 ° ° ° Л 2л Л!! а!2 ... а!„ л Р О л22 ... а2л / "М Лтл =аи л л Лл2 ' Ллл Лл! Лл2 ' Ллл / э / 2 "Ы " ° Л2л Далее, де1А = О, аи ФО, следовательно, ° =О. л Лл2 "° алл По индуктивному предположению, строки(а'„,..., а' ),..., (ал,...
..., а'„л) линейно зависимы, а тогда линейно зависимы и строки ои ..., Ол, с теми же коэффициентами. Итак, существуют НЕ РаВНЫЕ ОДНОВРЕМЕННО НУЛЮ КОЭффнЦИЕПтм С2, ..., Сл таКИЕ, Чта С2С2+ ... + Слсл = О, Н тОГда — !Г а!' С,+ ... + — '"' С„) и, +С,и,+ ... +Слил=О. ~ ли аи которая имеет единственное нулевое решение, ибо де1 А' = = де1 А ФО. Иными словами, если ее1А ныл, то строки А линейно независимы, так что для линейной зависимости необходимо, чтобы бе!А = О. Д о с т а т о ч н о с т ь. Доказательство достаточности проведем методом математической индукции по порядку матрицы А. Для т = 1 утвсрждсннс теоремы очевидно, нбо равенство де1А = О означает, что А состоит из нулевого элемента. Пусть для матриц порядка т — 1 теорема доказана, и в этом предположении докажем ее для матриц порядка т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
