1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это очевидно. Пусть теперь А есть т Х й-матрица, В есть й Х п-матрица, С = АВ, й = й!+ ... + й,. Матрица А разбита на клетки А„з, а = 1, ..., р, () = 1, ..., 3, так, что ширины горизонтальных полос (в числе р) безразличны, вертикальные же полосы имеют ширины йь ..., й,; соответственно В разбита на клетки Ве., у = 1, ..., 3, 6 = 1, ..., О, ширины горизонтальны» полос которых равны й»..., й„ширины вертикальных (в числе д) безразличны. Матрицу С разобьем на клетки С!,„так, что горизонтальные полосы по ширине такие же, как соответствующие горизонтальные полосы матрицы А, а вертикальные полосы — как соответству1ощне вертикальные полосы матрицы В, В этих предположениях А ОВв„имеет смысл при любых а, (1, у н С, = = Х А,РВ87. Для доказательства рассмотрим два крайних случая.
Сначала допустим, что матрица А разбита только на горизонтальные полосы Аь ..., А, матрица  — только на вертикальные полосы В,, ..., Ве и матрица С вЂ” соответственно на р полос по горизонтали и д полос по вертикали. В этом случае субматрица С матрицы С есть произведение полосы А на полосу В . дальнейшие свойства Опнеделнтелеи Теперь допустим, что А разбита только на вертикальные полосы А» ..., А, Ширины Ь» ..., Ь. соответственно н В разбита только на горизонтальные полосы В,, В, ширины Ь» ..., Ь, соответственно.
В этой ситуации матрица С на клетки не разбивается. Имеем: ем=(анЬН+... +ам Ьа,,-)+ (а, К+,Ьаз. », + ... + аьа +а Ьа+а, Г)+ Слагаемые в скобках суть элементы в позиции (й )) матриц Л,В» АЕВг,, Поэтому С = А1В1+ ЛЕВЕ+ ... + А В . Справедливость общего утверждения теперь получается непосредственно. Сначала нужно разбить Л на горизонтальные полосы и В на вертикальные. Соответствующие клетки матрицы С равны произведениям горизонтальных полос матрицы А на вертикальные полосы матрицы В. Каждое такое произведение вычисляется согласно второму частному случаю как сумма произведений клеток матрицы А, на которые разбиты горизонтальные се полосы, на клетки матрицы В, на которые разбиты ее вертикальные полосы. 3.
Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). Рассмотрим произведение С АВ двух матриц А н В. Разобьем матрицу В на клетки, считая клетками столбцы В, матрицу А рассмотрим как состоящую .из одной клетки. Соответствующими клетками нх произведения С будут столбцы.
Получим А(В» Вм ..., В„) = (АВ» АВ,...,, АВ„), Здесь В» Вм ..., „— столбцы В и, соответственно, АВ» АВЕ, ... ..., АВ,— столбцы С. С таким представлением произведения мы уже встречались. Теперь примем за клетки В ее строки: в, в ган ... а, а за клетки А — ее элементы: А =~ ° ° ° ° ° ~. В этом прела ... а ставлении а В,+...+а В а,В, +...+а Ва АВ= так что строками матрицы АВ оказываются линейные комбинации строк В. ИАТР!шы и Опэвделители !гл.
!ч Аналогично, расщепление А на строки дает: (,.) =(,..) расщепление же А на столбцы дает (А!, ..., А„) Фл А~ Аз ! с, ... с С О ! ... сья о о 1Ае ! Здесь Аь ..., А — строки матрицы А. Имеем: А,+с!А +...+с А СА Аэ+ ... +сь и А так что первая строка получена из первой строки А прибавлением последующих строк, умноженных на спь ..., с!, вторая — из = !Ь1!А, + ...
+ Ьь,Ам ..., ЬыА!+... + Ья„Ад). Таким образом, умножение матрицы на некоторую вспомогательную матрицу слева равносильно линейному комбинированию строк матрицы, умножение справа — линейному комбинированию столбцов. Рассмотрим матрицу еп, !чь), элементами которой явЛяются 1 на л!есте (й !) и нули на остальных местах. Умножение слева некоторой матрицы иа си переставляет /-ю строку матрицы на !-е место, а все остальные строки заменяет нулями. Квадратная матрица Е+сеп называется магрицей трансвекции или матрицей элементарного преобразования.
Умножение слева на Е+ сеп равносильно прибавлению к 1-й строке 1-й строки, умноженной на с, с сохранением всех остальных строк. Такие преобразования неоднократно применялись нами по различным поводам. Умножение на еп справа переставляет 1-й столбец на !че место, заменяя нулями остальные столбцы, Умножение справа на Е + сец равносильно добавлению к 1-му столбцу )-го, умноженного на с. Треугольная матрица называется пнитрецгольной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Выясним, как изменяютси строки матрицы А при умножении ее слева на правую уннтреугольную матрицу С. Пусть длльнеишив своиствк опнеделителсн 12Т второй прибавлением последующих строк с соответствующими множителями и т.
д., последняя остается без изменения. Если А — квадратная матрица, то при всех описанных преобразованиях определитель матрицы не изменяется, так что де1 СА= = бе1 А. Если С вЂ” левая унитреугольная матрица то А, смА~ + Аэ с А+с А+...+А и здесь описание преобразований удобно начинать с конца: к последней строке прибавляются предшествующие, умноженные на с ь с 2, ..., с,, ь к предпоследней — предшествующие, умноженные на соответствующие элементы матрицы С, и т. дл ко второй строке прибавляется первая, умноженная на см, и первая остается без изменения. Поэтому и в этом случае бе1 СА = бе1 А.
При правом умножении на унитреугольную матрицу С происходят аналогичные преобразования столбцов, поэтому также де( АС = де1А. 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. Имеет место следующая замечательная теорема: Т е о р е м а 2. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомнолсигелей. Теорема эта представляет собой глубокое тождество, непосредственная проверка которого требует некоторых усилий даже для в=2. Выполним эту проверку. Пусть А= ( ), В=( «). де1 АВ = (ах + Ьг) (су + д1) — (ау + Ьг) (сх + Нг) = = аксу+ ахд1 + Ьгсу+ Ьгдà — аусх — аус(г — Ь1сх — Ьг(гг = = адхг + Ьсуг — адуг — Ьсхг = (ад — Ьс) (х! — уг) = г(е1 А де1 В.
О непосредственной пронерке теоремы даже для п = 3 страшно подумать. Тем не менее, у нас 'уже имеется достаточно сведений об определителях и матрицах для того, чтобы дать краткое косвенное доказательство теоремы. Л о к а з а т е л ь с т во. Пусть А и  — две квадратные матрицы А ОХ порядка и. Рассмотрим матрицу ( й л ~ порядка 2п. По !Тл ш пв МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ А ОА теореме об определителе ступенчатой матрицы бе1 ~ и й ) = =-г)е( А бе1В. Умножим теперь эту матрицу слева на унитре- гЕ А'1 угольную матрицу 1Ао ' ). При этом определитель не изменится. Таким образом, г(е1Аде1В=г)е1(о я)( — в) бе1( -е в ) В последнем определителе поменяем местами первый столбец с (л+ 1)-м', второй с (и+ 2)-м и т. д. Это равносильно перестановке блоков-столбцов. Определитель приобретет множитель ( — 1)". Итак, Применив еще раз теорему об определителе ступенчатой матрицы, получим де( А бе( В = ( — 1) Ме( АВ бе1( — В) = бе1 АВ, что и требовалось доказать. б.
Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. Собственно говоря, те приемы вычисления определителей, которые мы рассматривали раньше, можно рассматривать как левые умножения (прн комбинировании строк) или правые умножения (при комбинировании столбцов) на вспомогательные матрицы, именно, матрицы трансвекций.
Мы должны были внимательно следить за тем, чтобы ие прибавить уже измененную строку (нли столбец) при линейном комбинировании. Теорема об определителе произведения дает ббльшую свободу для линейного комбинирования строк (или столбцов) за счет умножения на подходящие вспомогательные матрицы. Определитель прн этом может меняться, но мы в состоянии учесть это изменение, именно, определитель приобретает множителем определитель вспомогательной матрицы. Остается следить только за тем, чтобы не умножить на матрицу с нулевым определнтелелк П р и и е р 1..
Найти де1 А, если А=(, 1, ). Здесь напрашивается несколько способов линейного комбинирования строк. Хорошо сложить все строки. Не менее хорошо сложить первые две и вычесть третью и четвертую, сложить первую с третьей и вычесть вторую и четвертую н, наконец, сложить первую с четвертой н вычесть вторую и третью, Все эти преобра- ДАльнеишие свойстВА опаеделнтелеи зования выполнятся одновременно, если исходную матрицу умно- жить слева на матрицу Действительно и г(е1 СА = бс1 С г(е! А = (а + Ь + с -1- ст) (а -(- Ь вЂ” с — т) Х Х (а — Ь + с — сг) (а — Ь вЂ” с -(- с)) = (а + Ь + с + Н) (а + Ь вЂ” с — с1) (а — Ь -)- с — с!) (а — Ь вЂ” с-(-11) г)е1С. Остается убедиться, что с(е1 С чей.
Мы его вычисляли выше, он равен — 16. Но легко также убедиться в справедливости неравен- ства де1 СФО, учитывая, что 4 О О 0 С = о о 4 о, так что (де1С)'=256. 0 4 О 0 0 О 0 4 Этот пример несколько искусственный, но он есть частный случай более общей ситуации — группового определителя конечной абелевой группы. Подчеркнем еще раз важность того, что г)е1 С~О. Если за этим не проследить, можно получить неверный результат.
Например, для той же матрицы А возымея в качестве вспомогательной Тогда а+Ь+с+с! а+Ь+с+а а+Ь+с+а а+Ь+с+а а+Ь+с+а' а+Ь+с+с! а+Ь+с+а а+Ь+с+с! а+Ь+с+а' а+Ь+с+а' а+Ь+с+а а+Ь+с+а а+Ь+с+а а+Ь+с+с! а+Ь+с+д а+Ь+с+с! а+ь+с+а СА = а+Ь вЂ” с — а' а — Ь+с — а' а вЂ Ь вЂ а+Ь+с+а а+Ь вЂ” с — а †а+Ь вЂ вЂ” а+Ь+с — а а+Ь+с+а — а — Ь+с+с! а — Ь + — с! — а+Ь+с — с! 1 1 ! — ! — 1 1 †! — 1 и-Ь Ь+ с+ с! — а — Ь + с -!.
с! — а+Ь вЂ” с+И а вЂ Ь вЂ 1 -1 — 1 1 млтгицы и опгвделители 1гл. ш и 1 де1СА = де1 С де1 А = (а+ Ь + с + !1)' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(а+Ь+ с+~()'ое1С. «Сокрагив» на де! С, получим неверный результат: де! А = (а + Ь + с + !() '. Но иа самом деле бе! С = О, и сокращение на бе! С недопустимо. П ример 2. Найти Л = де!А, где А=( ).
Пример очень похож на предыдущий, но здесь линейное комбинирование строк малополезно. Хорошо возвести о в квадрат: Ь'= де!А',"! = аз+6 +ей+а* о, о о о а' + 6~ + с' + и" о о о о а'+ 6'+ с'+ Ф о о о а'+ 6'+ с'+ аз, = (а'+ Ь'+ с'+ пт)'. Следовательно, или Л = (аз+ Ья+ с!+!Р)з, или Л = — (аз+ + Ьз+ с!+ д!)я, или при одних значениях а, Ь, с, и одно, при других — другое. Разберемся в этом вопросе. Мы имеем равенство полиномов от а, Ь, с, !1: Ь! =(аз+ Ь!+с!+с(з)!, или (Л вЂ” (а'+ Ьз + с'+ Ф) з) (Л + (аз + Ьз+ сз+ Ф) !) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
