1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Без нарушения общности можно считать а!! ФО. Обозначим через иь иь ..., ил строки матрицы А и введем в рассмотрение строки ЛИНВПНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ! Теорема полностью доказана. Ясно, что то же условие бе1А ~ О является необходимым н достаточным для линейной зависимости столбцов матрицы. Отсюда непосредственно следует, что верна следующая теорема. Т е о р е м а 12.
Для существования нетривиальных решений системы п линейных однородных уравнений с и неизвестными не только необходимо, но и достаточно, чтобь! определитель л!атрицы коэффициентов системы был равен нулю, Напомним, что необходимость была установлена выше как следствие из теоремы Крамера. Достаточность следует нз того, что отыскание решения системы аих, + ... +а,„х„=О, а„!х! + ... + а„„х„= — О равносильно отысканию коэффициентов х!, ..., х, линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов системы.
8. Ранг матрицы в терминах определителей. Напомним, что если в некоторой матрице выбрать несколько строк и несколько столбцов, то элементы, находящиеся в пересечениях выбранных строк и столбцов, составляют матрицу, называемую субматрицей для исходной. Определители квадратных субматрнц носят 'Т!азвание миноров исходной матрицы. Т е о р е м а 13. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров. Доказательство. Пусть ранг матрицы равен й. Тогда в любом миноре порядка й+ 1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки, и все такие миноры равны нулю.
Далее, в матрице имеется базисная совокупность из й строк и базисная совокупность из й столбцов. Рассмотрим субматрицу, образованную элементами изэтих строк и столбцов. Ее строки линейно независимы, ибо иначе, в силу предложения 4, соответствующие полные строки исходной матрицы были бы линейно зависимы. Следовательно, определитель порядка й так выбранной субматрнцы отличен от нуля.
9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями совокупности строк называются преобразования трех видов: перестановка строк местами, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к строке строки, пропорциональной другой строке. Очевидно, что прн каждом из этих преобразований совокупность строк превращается в линейно эквивалентную. Для первых двух преобразований это совеРшенно Ясно, дли тРетьего: если о, = и; + сьиь оч = иь при й чь 1, то и; = о; †'иоь иь — — ОА при й чь й Поэтому ранг совокупности строк не меняется при элементарных преобразованиях. 1ГЛ гс МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 11О Матрица вида С С .
С С1 «+1». С Св ". 'М СХ «+1 " С»л О О,, с с» «+1,, с о о ... о о ... о 1 0 О ... О О ... О с, с сц с, О с =сцсм,... с»« о о отличен от нуля, все же миноры порядка й+1 и выше равны нулю, так как у них имеется хотя бы одна нулевая строка. Предложение 14. Любая матрица за счет элементарных преобразований над строками и, быть может, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную, Доказательство. Бели матрица не нулевая, она содержит ненулевой влемент, который посредством перестановок строе и столбцов можно перевести в левый верхний угол. Итак, пусть матрица имеет вид 1а л 1» л»1 ет« " л»» , причем ац Ф О. ен! лм» " ем» Теперь сделаем элементарные преобразования: конторой строке прибавим первую, умноженную на — ам/ац, к третьей — первую, умноженную на — ам/ац, и т.
д. После этих преобразований прн. дем к матрице ! Ц М ''' 1л с У О ам ... а»„ 1 *;-.; с с О ам» ... е с ем " еэ Если матрица равна нулю, процесс окончен с а« ... а„ Если нет †сначала за счет перестановок строк и столбцов добьемся того, чтобы элемент в позиции ам стал отличен от нуля. при сцФО, саФО, ..., с«»ФО называется верхней трапециевид- ной. Легко видеть, что ранг трапециевидной матрицы равен й, Действительно, минор системы линейных уРАВнении овщего ВидА 1!7 Затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на — азз/аз'„ н т.
д. Придем к матрице ан а, а, л О ви езз О О аЗЗ !л л ат„ л '!Зл л л атЗ ''' вел ! $ 4. Системы линейных уравнений общего вида 1. Однородные системы. Теорема 1. Для того чтобы система линейных однородных уравнений а!,х, +а,зхз+ ... +а,„х„=О. аз!х, + амхз + ... + азлх„= О, а,х, + а зхз + ...
+ а лхл = О имела нетривиальные решения, необходимо и доста~очно, чтобы ране матрицы коэффициентов был меныие числа неизвестных. Доказательство. Система может быть записана в виде одного равенства Х!и! + ХЗит + ... + Хлил = О, где иь иь ..., ил — столбцы матрицы коэффициентов. Нетривиальные решения системы порождают коэффициенты нетривиальных линейных зависимостей между стодбцами.
Для их су!цсствования необходимо и достаточно, чтобы ранг был меньше числа столбцов, т. е. числа неизвестных. 2. Строение множества решений системы линейных однородных уравнений. Сейчас нам удобно представить систему в виде Ах=О, где А — матрица коэффициентов, х — столбец из неизвестных. П редло же н не 2. Если столбцы г!, гз, ..., гь — решения системы Ах = О, то любая их линейная комбинация с!г!+ сзгз+ ... ... +слгд тоже есть решение. Действительно, А!с!г!+ сзгз+ ... + сьгь) = с!Аг!+ сзАгз+... -.. + сААгь = О. Теорема 3. Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых л — т ре- Продолжаем процесс до тех пор, пока не исчерпаем все строки или не придем к очередной матрице, равной нулю.
В результате 'получим трапециевидную матрицу. мктгицы и опееделитгли [гл ш ыв шений, где и — число неизвестных, г — ранг матрицы коэффициентов. Доказательство. Запишем снова систему в форме х!и!+к,из+ ... +к„и„=О, где иь иь ..., и„— столбцы матрицы коэффициентов. Среди инх имеется базис из г столбцов. Для удобства записи будем считать, что это и!, из, ..., и„ иначе можно изменить нумерацию неизвестных и, вместе с ними, столбцов. Запишем, что и,+!, ..., и„ суть линейные комбинации и!, им ..., и,. Это приводит к равенствам иг,, = Ь„,,и, + Ь,г!,из + ... + Ь...,и„ и„=Ь„!и, + Ь„!из+ ... + Ь„,и„ откуда следует, что столбцы ггы = (Ьг+!, ! ..
° Ь эь" — 1 О ..., О)т, ..., г„=(Ь„ь ..., Ьэо О, ..., — 1)~ дают решения системы. Они, очевидно, линейно независимы. Пусть х=(хо ..., х,' х', „..., х„') — е!це какое-нибудь решение системы. Тогда у = х+ х,' !г„ь!+ ... + х„'г„тоже является решением системы. В этом решении все компоненты, начиная с (с+ 1)-й, равны О, Следовательно, и все остальные 'компоненты равны нулю, ибо столбцы и!, ..., и, линейно независимы. Итак, у=О, т, е, к = = — х' г — ...
— к"г . г+! г+! ''' !г ь' Таким образом, г,+!, ..., г,— такие линейно независимые решения, что все решения являются их линейными комбинациями. Такая совокупность решений называется базисной или фундаментальной. Буквенное выражение, которое при частных значениях для букв дает все решения данной системы уравнений, называется оби(им решением этой системы.
Для системы линейных однородных уравнений общим решением будет линейная комбинация фундаментальной системы с буквенными коэффициентами. 3. Неоднородные линейные системы. С неоднородной линейной системой апх, + ... +а,„х„=Ь„ а„,х, + ... +а„„к„=Ь„, связываются две матрицы: матрица коэффициентов ч 4] системы Нинкиных уРАВнениЙ ОБшего Вндл 119 р расширенная матрица — с присоединенными свободными чле- рамы 1 ал] "° веч ФФ ВП1Я ЬЧ1 Теорема 4 (Кронекера — Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной (т. е. имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффи- циентов был равен рангу расширенной матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Записав систему уравнений в виде х]и] + ... + х„и„ = Ь, еде и], ..., и„— столбцы матрицы коэффициентов н Ь вЂ” столбец свободных членов, мы видим, что для совместности системы не, обходимо и достаточно, чтобы столбец Ь был линейной комбина- цией столбцов и], ..., и . Для этого равенство рангов, конечно, необходимо, но опо и достаточно, ибо если ранги одинаковы, то базис для иь ..., и„будет базисом и для и], ..., и„, Ь, так что Ь есть линейная комбинация базисных столбцов для и], ..., и,. 4. Строение множества решений неоднородной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
