1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Произведения снабжаются знаками + и — по правиламз + =з Наш вывод имеет смысл при предположении, что решение существует. Однако, если подставить найденные выражения для х, р, з в исходную систему, можно убедиться в том, что все три уравнения обратятся в верные равенства, Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и = 2 и п = 3 имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка вв !гл.

пг МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составля|ощие произведения, входящие в определитель со знаками + и Обратимся теперь к обобщению определителя для квадратных матриц любого порядка п, исходя из формы этих выражений для п=2 и л=З.

Здесь удобно обозначать элементы матрицы одной буквой, приписывая ей два индекса — номер строки и номер столбца. Дадим формальное определение определителя для квадратной матрицы порядка н следующим образом: Определителем квадратной матрицы порядка п (нли определителел~ порядка п) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному нз каждого столбца и снабженных знаками «плюс» и «минус» по некоторому определенному правилу. К вопросу о том, что это за правило, мы обратимся в ближайшее время, а пока попытаемся записать символически сформулированное выше определение.

В каждом слагаемом определителя мы будем записывать сомножители в порядке следования строк. Номера столбцов будут составлять в совокупности все числа от 1 до а, в различных порядках, причем во всех возможных порядках, так как определитель, согласно данному определению, составлен из всех произведений элементов, взятгях по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В буквенных обозначениях: аи ан ... аг» аи ам а»« ~ а„а„... а»а . =Х- °" аю аа~ ° ° ° а«« Здесь индексы аь им ..., а, пробегают все возможные перестановки чисел 1, 2, ..., н. Все перестановки должны быть разбиты на два класса так, чтобы одному классу соответствовали слагаемые со знаком «плюс», другому — со знаком «минус». 2.

Элементарные сведения теории перестановок. Сейчас мы рассмотрим некоторые простейшие свойства совокупности перестановок л элементов. Переставляемыми элементами мгя будем считать числа натурального ряда. П р е д л о ж е и я е 1, Число всех перестановок и элементов равно и! = 1 2 ... и. Доказательство. Применим метод индукции. Для н= 1 предложение очевидно. Пусть оно верно для п — 1.

Совокупность перестановок и элементов разобьем на и частей, по положению элемента и на первом, втором, ..., п-м месте. В каждой части будет (н — 1)! перестановок, так как их число равно числу расположений элементов 1, 2, ..., и — 1 на и — ! незанятых местах. Следовательно, число перестановок равно и (и — 1)! = п1, что и требовалось доказать. тао»ня опяепзлитвлзп Теперь разобьем все и! перестановок н элементов на даа класса, по признаку, кажущемуся довольно искусственным, но именно это разбиение будет нужно для разумного правила расстановки знаков в определителе.

Пусть (а!, аь ..., а,) — некоторая перестановка чисел 1, 2, ... ..., а. Скажем, что пара элементов (!хь а!), ! ( 1, образует инверсию, если а; ) иь Число всех пар элементов перестановки, образующих инверсию, называется числом инверсий в перестановке и обозначается 1пч(а!, а», ..., а„). Так, !пч(3, 5, 1, 4, 2, 6, 8, 7) = 7 (инверсин образуют пары (3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 4), (5, 2), (4, 2), (8, 7) ). Перестановки, содержащие четное число инверсий, называются четными, содержащие нечетное число инверсий — нечетными, Подстановкой на множестве (1, 2, ..., н) называется взаимно однозначное отображение множества па себя.

Удобно задавать подстановку прямым указанием замен для каждого элемента, посредством записи образа под прообразом. Так, запись ( ° ) 1 2 3 4 ЗЧ 3 ! 3 2 4 ) задает подстановку, которая заменяет элементы 1, 2, 3, 4, 5, соответственно, на 5, 1, 3, 2, 4; порядок расположения ее столбцов безразличен. В такой записи в «числителе» и в «знаменателе» оказываются перестановки. Удобно в «числителе» записывать элементы в натуральном расположении.

Последовательное применение двух подстановок приводит к подстановке, называемой их произведением. Так, З 4 3 3) (! 2 З 4 3 3) (! 2 З 4 (мы считаем первой действующей ту подстановку, которая записана слева). Почти очевидно, что при умножении подстзновок имеет место ассоциативность. Действительно, пусть а, т и ~р — подстановки на.множестве (1, 2, ..., н). Сделать (ат)<р — все равно, что сначала сделать о, потом т, затем !р; сделать же о(т!р)— все равно, что сначала сделать а, потом т!р, т. е. к результату применения о применить т и затем <р.

Тождественная подстановка, при которой каждому элементу сопоставляется он сам, играет роль единицы в этом умножении, Если запись подстановки а перевернуть, т. е. ее числитель сделать знаменателем, а знаменатель числителем, мы придем к обратной подстановке о-!, произведение которой на о как в одном, так и в обратном порядке, дает единичную подстановку.

Умножение подстановок, вообще говоря, некоммутативно, например, (2 1 З)(2 3 1) (3 2 1)' (2 3 !)(2 1 3) (1 3 2) Число всех возможных подстановок на множестве нз н элементов равно и1, ибо таково число возможных знаменателей при фик. сированном числителе. мАтРицы и опРеделитсли 1гл. 1У Подстановка называется транспозицией, если она и — 2 эле- мента оставляет на местах, а остальные два элемента перестав- ляет местами. Вместо того чтобы записывать, например, транспо- Г! 2 3 4 5 6Х аннию (, 1 5 3 4 2 6) ' пишут кратко (2, 5). Предложение 2. Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Она равна произведению нечетного числа гранспо- зиций соседних элементов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана перестановка (а, Ь, ..., с, с(, е, ..., 1, д, ф, ..., Ь, 1), и транспозиция меняет местами с и Ь.

Обозначим через т число элементов д, е, ..., ), у, лежаших между с н Ь. Переставим ме- стами с с с(, затем с с е, ..., с с 1, с с у. После этого мы придем к перестановке (а, Ь, ..., д, е, ..., ), д, с, Ь, ..., Ь, 1). Мы сделали последовательно т транспознций.

Теперь переставим с и Ь. Придем к (а, Ь, ..., д, е, ..., 1, д, Ь, с, ..., Ь, 1). Теперь «перегоним» Ь на место, которое занимало с, переста- вив Ь по очереди с у, с ), ..., с е, с с(. Мы придем к перестановке (а,Ь, ...,Ь,д,е, ...,1,д,с, ..., Ь,(), т. е. как будто мы сделали одну транспозицию (с, Ь). Всего мы сделали т+ 1+ т = 2т+ 1 транспозицнй соседних элементов. Таким образом, транспозиция (с, Ь) равна произведению 2т+ 1 транспозицнй соседних элементов. Все это рассуждение равно- сильно одному равенству: (с, Ь) = (с, д) (с, е) ... (с, 1) (с, у) (с, й) (д, Ь) (1, Ь) ...

(е, Ь) (д, Ь). П р едл о же н не 3. При транспозииии соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на одну единицу. Доказательство. Нам нужно сравнить число инверсий в перестановках (а, Ь, ..., с, с( е, 1, ..., Ь, 1) (а, Ь, ..., с, е, 11, 1, ..., Ь, 1). Обозначим через 1', н 1', число инверсий в парах, не содержа- щих элементов д и е, в обеих перестановках соответственно; через 1, и 1,' — число инверсий в парах, содержаших один из элементов 11 и е; через 1 и ззн — число инверсий в паре з(, е и через 1 и 1'— з з з « полное число инверсий. Ясно, что 1= 11 + 11+ зз, 1 =1, + зз+ 1', Далее, очевидно, что 1, = 1,'. Число зз тоже Равно 1', так как каждый из элементов д и е расположен относительно осталь- ных элементов одинаковым образом в обеих перестановках.

На- ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ конец, если 1ь О, то 1ь=1, и если 1ь — — 1, то (ь'=О. Поэтому 1' — 1= 1', + с'+ 1' — 1, — 1э — 1 = 1', — 1 = д- 1, что и требовалось доказать. Сл едств ие 1. Если в перестановке сделать транспозицию соседних элементов, го чегность перестановки изменится на противоположную. С л е д с т в и е 2. Любая транспозицил изменяет четность перестановки на противоаолоэкную. Действительно, любая транспозицпя равносильна нечетному числу транспозиций соседних элементов. П редл ож ение 4. Число четных перестановок л элементов равно числу нечетных перестановок.

Доказательство. Пусть число четных перестановок равно а, число нечетных равно Ь. Рассмотрим множество всех четных перестановок. Сделаем в них одну и ту же транспозицию, например, (1, 2). Мы получим нечетные перестановки, попарно различные, в количестве а штук, Так как число всех нечетных перестановок равно Ь, заключаем, что а ( Ь. Теперь рассмотрим множество всех нечетных перестановок и сделаем в них транспозпцию (1, 2). Мы получим Ь четных перестановок и, следовательно, Ь ( а.

Из установленных неравенств следует, что а = Ь, что и требовалось доказать. Попутно мы получили, что если во всех четных перестановках сделать одну и ту же транспознцию, то мы получили все нечетные перестановки. П р едл о же ни е 5. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких грансиоэиций. Д.оказательство. Применим индукцию. Для п = 2 утверждение тривиально. Пусть а ) 2 и для перестановок и — 1 элемента предложение доказано.

Характеристики

Список файлов лекций