1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 17
Текст из файла (страница 17)
+ Ь „~„ записывается в виде Х = ВТ, где  — матрица коэффициентов, Т вЂ” столбец из (ь Поэтому суперпознцию этих подстановок можно записать в виде У = А(ВТ). Вместе с тем матрица суперпозицин равна АВ, и этот факт записывается так: У=(АВ)Т. Таким образом, верно следуюшее соотношение ассоциативности: А(ВТ) = (АВ) Т, где Т вЂ” столбец. Рассмотрим теперь свойства действия умножения матрьц. 1. (сА) В = А (сВ) = сАВ. 2. (А1+ А2) В = А!В + А2В. 3. А(В1+ В2) = АВ1+ АВ2. Эти свойства непосредственно следуют из того, что элементы произведения выражаются как через элементы А, так и через элементы В в виде линейных однородных полиномов.
4. (АВ) С = А(ВС) (ассоциативность умножения). Это свойство трактуется таким образом, что если одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и они равны. ° и млтгицы и двиствия над ними Пусть (АВ) С имеет смысл и пусть л/ есть число строк матри- цы А, А — число ее столбцов. Тогда В имеет й строп, ибо АВ имеет смысл.
Пусть матрица В имеет 1 столбцов. Тогда и АВ имеет 1 столбцов, так что для осмысленности (АВ)С нужно, чтобы С имела 1 строк. Итак, для осмысленности (АВ) С необходимо и до- статочно, чтобы число столбцов матрицы А равнялось числу строк матрицы В, а число столбцов матрицы В равнялось числу строк матрицы С. Аналогично прослеживается, что те же условия необ- ходимы и достаточны для осмысленности А(ВС). Остается дока- зать равенство (АВ) С = А(ВС). Введем в рассмотрение матрицы Р = АВ, 6 =(АВ) С, 1/= ВС и Н = А(ВС), обозначая их эле- менты соответствующими малыми буквами. Имеем: 1!» — — ~„а!„Ь,», далее, а ! .э д'!/ = х 1!»с»/ = х„~„а!!,Ь,!»с»/, » ! ! а ! //а/ Е Ьа»с»/~ ! ь » ! 1!и Х а~а//а/ Х~ Е амба»с»/ к=! -! »-! г/(ы видим, что д// = /!//, ибо эти элементы представлены в виде сумм одинаковых слагаемых, только расположенных в различных порядках, Равенство (АВ) С = А(ВС) можно доказать менее вычисли- тельно, воспользовавшись следующим простым замечанием.
Пусть Р и Π— две матрицы такие, что РО имеет смысл. Пусть О!, О,, ... ..., Я/,— столбцы матрицы О. Тогда столбцами матрицы РО яв- ляются РС/!, Р//и ...„РЯ!„что непосредственно следует из опре- деления. Это обстоятельство можно записать в виде Р(Я!, 1/и ". Яа) = (Р/'/!, РОм ", РЮ Обозначим через С!, См ..., С! столбцы матрицы С. Тогда (АВ) С = ((АВ) Сь (АВ) С!ь ..., (АВ') С!).
Далее, ВС = (ВС!, ВСм ..., ВС!) и А (ВС) = (А (ВС!), А(ВСз), ..., А (ВС!) ). Но, как было установлено выше, (АВ) С, = А(ВС,), (АВ) С, А(ВСз), ..., (АВ)С! = А(ВС!), нбо С!, С!ь ..., С! — столбцы. Таким образом, (АВ) С = А(ВС). Особую роль прн умножении матриц играют единичные матрицы.
Это квадратные матрицы, у которых элементы главной диаго. налн равны 1, а все остальные элементы равны О. Обозначать единичные матрицы будем Е„(если нужно указать порядок) или мхтницы и ОпРеделители [гл. те просто Е. Из правила умножения матриц непосредственно следует, что ЛВ = А и ЕЛ А, если произведения определены. Ясно, что единичной матрице соответствует единичная подстановка переменных: У~ =Х2 92 Х2 Ча= х„, сводящаяся просто к переименованию переменных. На языке под.
становок переменных свойства едипичвых матриц становятся совершенно очевиднымн. Отметим еще, что представляют собой субматрнцы произведения двух матриц. Пусть В=(...... ) — АВ. Саа ... ВВ22 Субматрнца, образованная строками с номерами аь 22„..., иа н столбцами с номерами ))ь й2, ..., рь равна произведению субматрицы матрицы А, составленной из строк ЕВП а2, ..., а2, на субматрицу матрицы В, составленную из столбцов ()2, ()2, ..., рь Это непосредственно следует из того, что Са,а, есть произведение с2,-й строки матрицы А на ~пй столбец матрицы В. 4. Транспонирование матриц.
Замена строк матрицы на еа столбцы, а столбцов — на строки называется транспонированием матрицы. Так, если а„а2 ... а22 ан ам .. аа то транспонированная с ней матрица а) ~ ан ° ° ааа Ат аы а22 " ат2 а12 аВВ ° .. а222 Ясно, что дважды транспонировать — значит вернтуться к исход. ной матрице: (Ат)т = А. Ясно также, что (А+В) = Ат+ Вт и (ЕА) т = сАт Несколько сложнее дело обстоит с транспонированием произведения. Именно: Матрица, транспонированная с произведением двух матриц, равна произведению транспонированных, взятых в обратном порядке.
В буквенной записи (АВ) т ВВАт мйтсицы и деиствия нйд ними Докажем это. Пусть ао ао ... а,й Ь„Ь„... Ь,л А ап а22 ... айй В ь22 ь22 ... ь2л аиа а„й ... ап2й ь„ь„... ьй Положим СО ... С,П2 а22 Н22 '" Ай с22 спп2 Вт ~-~ 422 Н22 ." 2тйй Сйй ... С22П 2йл2 пп2 ° ° Нлй с( „=-Ь, . Пусть, далее, Вп Яа Я22 ° Я222 1п " 6» ВтАт О ~2~ 022 " 2 п22 ° ° ° 2 п2л ал~ Ылй ° ° Флп2 Ат С си С22 так что сн — — а,;, АВ Р= й ТОГДа )Ц = ~ а2лйан л ! й й й Яп Е С(1аал2 Х йл2а22 Е а2лйл! ~Ц а-2 а-2 а-2 Итак, дп=~ц при всех 1=1, 2, ..., т н 1=1, 2, ..., н, а это и вначит, что 6 = Рт, т.
е. ВтАт = (АВ)т, что и требовалось доказать. 5. Обзор действий над матрицами. Над матрицами определены четыре действия: сложение, умножение на элементы основного поля (нли кольца),умножение матрицы на матрицу н транспонированне. Условие применимости н размеры результата поясняются следуюйцими схемами: А+В: и + п2 = пй и и л *": -1::2 — Г:Л. ИАтРицы и опРеделители !ГЛ.
ХР Эти действия обладают свойствами: 1. (А+ В)+ С = А+(В+ С). 2. А+В=В+А. 3. Существует 0: А+0 = О+ А=А. 4. Для А существует — А: А+( — А) = О. 5. (с1 + сз) А = с,А+ с2А. 6. с (А, + А,) = сА1 + сА,, 7. с~(сзА) = (с~сз)А. 8. 1 А = А. Это — свойства векторного пространства, так что матрицы фиксированкых размеров образуют векторное пространство. 9. (АВ) С = А(ВС). 10.
А(В~+ В;) = АВ1+АВР 11. (А1 + Аа) В = А!В + АзВ 12. (сА) В = А (сВ) = сАВ. 13. Существуют единицы, именно, если А = ( ~И, то и Е„,А = АЕ„=- А. 14 (А")т = А 15 (А+В)т Ат ) Вт 16. (сА) т = сАт 17 (АВ) т ВтАт Для квадратных матриц фиксированного порядка и действия сложения н умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо. Кольцо, наделенное структурой векторного пространства, т. е. система объектов, обладающих свойствами 1 — 12, называется алгеброй над основным полем. Таким образом, квадратные матрицы с элементами из поля К составляют алгебру над этим полем.
Само поле К изоморфно вкладывается в алгебру квадратных матриц при помой!и отображения с сЕ, с ~ К. В соответствии с тем, что было изложено в гл.!11 о значениях полинома, в алгебре квадратных матриц естественным образом определяются степени А"' матрицы с натуральными показателями и значения полиномов, именно, если !(!) = а,!" + а,!"-'+ ...
... + а„е— : К[!), то 1(А) = а,А" + а,А"-' + ... + а„,А + а„Е. Значения полиномов от одной и той гке матрицы коммутируют. 2 2. Теория определителей С линейными задачами, использующими теорию матриц, связан аппарат так называемых определителей, очень ценный по широте приложений к теоретическим вопросам. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ Допустим, что система имеет решение и пара х, у составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Умножим обе части первого равенства на Ьь второго на Ь, и вычтем. Получим (а!Ьс — аеЬ !) х = с!Ьз — сзЬ !.
Теперь первое равенство умножим на — ам второе на а, и сложим. Получим (а!Ье — аеЬ!)у = а!се — а,сь Предположим, что а!Ьз — атЬ! ~ О, Тогда с!Ь! — сеа! а!с! — асс! х=. р а!Ье — ась! ' а,Ь, — а,Ь! (2) Таким образом, предположив, что решение существует, мы смогли его найти. Теперь перед нами альтернатива — либо решение существует и тогда оно дается формулами (2), либо решение не существует. Для того чтобы отделаться от второй возможности, нужно только установить, что формулы (2) действительно дают решение системы, для чего следует подставить х и у из (2) в систему (1).
Сделаем это: а с!Ь! — с,ь, +Ь! а! сс — асс! ! а!Ь! — ась! а!Ь! — ась! а!с!Ь! — а,ссь! + а,ь,с, — аеЬ|е! с, (а!Бс — ась!) — с!! а!с! — аеЬ! а!Ь! — арь! с, Ь, — с!Ь! . . а,с, — а,е, с, (а,ь! — а!Ь!) аз з а!Ь! — ась! ! а!Ь! — аеь! а,ь, — аеь! сз. Мы видим, что оба уравнения превратились в верные равенства, Если а!Ье — аеЬ! — — О, то наши рассуждения не приводят к законченному результату, и мы оставим этот случай пока в стороне. В формулах (2) знаменатель а!Ьт — азЬ! один и тот же. Числителя же очень похожи по форме записи на знаменатель. Для выражения а!Ьз — аеЬ! существует специальное название / а! ь! х опРеделигелл матРицы ( ь ) и специальное обозначение: 1, а! Ьс ) а!Ьз — азЬ! = ~,' Ь' ~ = с(е1 ( а .
Ь' ) . 1. Наводящие соображения. Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными а!х+ Ь|у = с!, (1) азх+Ьеу= сь МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |гл. зт С помощью обозначений для определителей формулы (2) записываются в виде е, Ь!~ сз Ьг! а, Ь! а Ь ! а, с! а, сз а! Ь, а| Ьг Применяя, например, эти формулы к решению системы 2х — Зу= 5, Зх+4у=7, получим в -з~ ~е а~ у= г — з~ |т' ~г — з~ п' Разумеется, понятие определителя было бы не нужным, если бы шла речь только о системах двух уравнений с двумя неизвестными. Результат может быть обобщен на линейные системы и уравнений с и неизвестными.
Рассмотрим еше случай и = 3. Пусть дана система а,х+ Ь,у+ с|х = Н„ а,х + Ьгу + с,е = („ азх + Ьзу + сзе = |зз (3) (аАсз — а|Ьзсг+ агЬзс! — а,Ь|с, + азб,сг — а,Ь с,) х+ + (ЬАсз Ь,Ьзс, + ЬгЬ,с, — Ь,Ь|сз+ Ь,Ь|сг — Ь,Ь,с,) у + + (сАсз — с,Ьзс, + сгЬзс, — сгЬгсз+ с,Ь|с, — с,Ь,с,) е = = сз|Ьгсз сг|Ьзсг + |ггЬзс! а|гЬгсз + гззбгсг — сззЬгс!. Ясно, что коэффициенты при у и е равны нулю. Коэффициент при х играет здесь такую же роль, как а,Ьз — агЬ| для систем второго порядка.
Он называется определителем ма- с а, Ь| с|х а, Ьз с ~ и обозначается: аз Ьз сз ! а, Ь, с, ~ Зг а, Ь, с! ~~ аз Ьз сг ~ = бе( ~ а! Ьг сз ), аз Ьз сз аз Ьз сз трицы Исключим сразу неизвестные у и х. С этой целью умножим первое уравнение на Ьгсз — Ьзсг, второе на Ьзс| — Ьгсз, третье на Ь|с,— Ьгс| и сложим, Получим ТРОРия опгвделителеи В этих обозначениях, если определитель не равен нулю, аз Ь| с| а'э Ьэ с 4 Ь.
.. а, Ьз с, аз Ьэ сэ аз Ьз сэ Аналогично, а, Ь, аз Ьэ ээз аз Ьз Из а| аз с| аэ аэ с, аз а'з сз а| Ь, с| аэ Ь, с, аз Ьэ сэ а, 6, с| а Ь с, аз Ьз сз ~ а Ь ~ а|Ьэ — азЬ| и третьего порядка ! а| Ь, с, аз Ьз сэ =а|Ь,сз — а|Ь,с, + а,Ь,с, — азЬ|сз+ а,Ь,с, — а|Ь,с,, аз Ьз сз Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения состанляются по одному элементу нз каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
