1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Далее, и и ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКПИИ Итак, в выражении (: .')=: ь л» 1 + — „+ — „!) = г„" соз тщ„+ !г„" з|п щр„ вешественная часть стремится к е' сов Ь, мнимая — к е'яп Ь, так что |пп ! 1+ — + — !) =е'(совЬ+ ! яп Ь). „», и и Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции. Установим теперь, что прн умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно: е"э"' е«Гььн=е" (совЬ, + ! япЬ,)е' (сов Ь,+! в|и Ь,)= =е"+ (сов(Ь, + Ь ) +|в|и(Ь, + Ьз)) =е" + Рыь+ь" 2.

Формулы Эйлера. Положим в определении показательной функции а = О. Получим: сов Ь+ |япЬ = е". Заменив Ь на — Ь, получим сов Ь вЂ” |в! п Ь = е-". Складывая н вычитая почленно эти равенства, найдем формулы ьы + е-ь~ ем е-»1 созЬ= 2 япЬ= 2ю' носяшие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями. 3. Натуральный логарифм комплексного числа. Комплексное число, заданное в тригонометрической форме сь = г(сов Ч~+ ! яп Гр), можно записать в форме геч'. Эта форма записи комплексного числа называется показательной.

Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еше более краткая. Далее, и=ге'э=ем'зэк=ем'+~'. Поэтому естественно считать, что 1пгь = = |п г+ Чп', так что вешественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью — его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента — аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Введенная таким образом логарифмическая функция определена для всех комплексных чисел, за исключением нуля. Необходимо только помнить, что логарифмическая функция многозначна, в силу многозначности аргумента.

Однозначность можно было бы установить, например, выбирая ветвь логарифма, для которой — и ( Гр «( и, но это приводит к ряду неудобств. В частности, свойство логарифма — логарифм произведения равен сумме логариф. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА !Гл. и мов сомножителей — верно лишь с учетом многозначности.

Так, например, один из значений 1П! является О, одним из значений 1и( — 1) является п(, нбо — 1 = соз и+ (з(п и = еи'. Однако 1и[( — 1) ° ( — 1Ц=п(+п( = 2пй Это одно из значений логарифма 1 (ибо 1 = соз 2яп+ (з|п2яп), но отличное от О. 4. Показательная функции с произвольным основанием. Пусть ге — комплексное число, отличное от нуля. Тогда а= еи и при любом значении )па. Поэтому естественно считать по определению ив = ев"". Это снова многозначная функция от и и р, в силу многозначности 1п и, который определен с точностью до слагаемого 2лн(.

Посмотрим, например, чему равно Р. Так как 1п 1=1( — + ~2 — +зьи (п + 2ля) . 1' = е ' . Результат кажется несколько парадоксальным — все значения «очень мнимого» выражения р вещественны. ГЛАВА Ш ПРОСТЕПШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ й 1. Полниомы от одной буквы 1. Определение. В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы х называется алгебраическое выражение вида ах'", где а— некоторое число, х — буква, т — целое неотрицательное число.

Одночлен ах' отождествляется с числом а, так что числа рассматриваются как одночлены. Далее, одночлены называются подобными, если показатели прн букве х одинаковы. Подобные одиочлены складываются по 'правилу ах~+ Ьх™ = (а+ Ь)х, называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. В полиноме порядок слагаемых безразличен и подобные одночлены можно соединить, согласно приведению подобных членов.

Поэтому любой полином можно записать в канонической форме а«х" + а,х -'+ ... + а„, с расположением членов в порядке убывания показателей. Иногда оказывается удобным записывать члены полинома в порядке возрастания показателей. Буква х обычно обозначает произвольное число, Иногда х считается переменной, тогда полипом задает функцию от х, называемую целой рациональной функцией. Два полинома называются формально равными, если они, в канонической записи, составлены из одинаковых одночленов. Ясно, что формально равные полииомы равны тождественно, т. е.

принимают одинаковые значения при каждом значении буквы х. Верно и обратное утверждение: если два полинома равны тождественно, то они равны формально — ио это совсем не очевидно и требует доказательства, которое будет дано в п. 7. Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы йесколько расширить понятие полинома. Пусть А — некоторое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и пусть х — буква, посторонняя для кольца А. Одночлгном от буквы х с коэффициентом из А называется выражение ах'", где а ен А, т — целое неотрицательное число. Считается, что ах« = а, так что элементы кольца А являются одночленами частного вида.

Выражение ах" рассматривается формально — как «картинка», изображенная на бумаге. Для одиочлепов естественным образом определяются действие приведения подобных членов ах + Ьх = (а + Ь)х~ и действия умножения ах Ьх" = аЬх"'+', «Картинка», состоящая нз нескольких 64 пРОстеишие сВедения ОБ АлГеБРе пОлинОмОВ |Гл и! одночленов, соединенных знаком +, называется многочленом или иолиноиом от х с коэффициентами из А. Предполагается, что порядок следования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять, а также вставлять и выбрасывать одиочлены с нулевыми коэффициентами.

Вез нарушения общности можно считать полипом записанным в канонической фоРме аох" + а|х"-'+ ... ... + а„(т. е. в порядке убывания степеней) или в порядке возрастания степеней со+ с|х+ ... + с„х", Дадим теперь естественные определения равенства полиномов и основных действий над ними.

1. Два полинома считаются равными, если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т. е. аох" + а|х" ' + ... + а„ = Ьох" + Ь!х" ' + ... + Ь„ в том и только в том случае, если а; = Ьь ! = О, 1, ..., и (снова «формальное» равенство). 2. Суммой двух полиномов называется полинам, получающийся посредством объединения одночленов, составляющих слагаемые.

Разумеется, после объединения следует привести подобные члены. Таким образом, (аохл+ а|хл-! + + ал) + (Ьохл+ Ь|хл-| + + Ьл) =(ао+ Ьо)х" +(а|+ Ь!)х"-'+ ... + (а„+ Ь„). 3. Произведением двух полиномов называется полинам, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. Здесь снова возможно приведение подобных членов. Таким образом, (а,х" + а|х"-' + + а,) (Ьох'" + Ь|х -' + ... + Ь,„) = ' = аобох"+'" +(аоЬ! + а|Ьо)х"+" ' + ... + а.Ь . Коэффициент при х"+ л равен аоЬА+ а|ЬА |+ ...

+ а»Ьо, если условиться считать, что а! = О при ! ) н и Ь! = О при ! ) т. Множество полиномов от буквы х с коэффициентами из кольца А составляет, как легко проверить, кольцо по отношению к определенным выше действиям сложения и умножения. Кольцо это коммутативно и ассоциативно, Оно называется кольцом лолиномоа от буквы х над кольцом А и обозначается А [х). Роль нуля в этом кольце играет нулевой полинам, т. е. нуль кольца А, рассматриваемый как полинам, не содержащий одночленов с ненулевыми коэффициентами. Роль единицы играет единица кольца А.

В данном выше определении Одночлена и полннома имеется одно сомнительное место, Именно, было сказано, что х есть буква, посторонняя для кольца А, и не было объяснено, что это значит. Сказать, что х не принадлежит кольцу А †э сказать слишком полиномы от одной Буквы мало, так как при этом не исключаются нежелательные возмож- 1 — х ности х»ен А или — я А и т.

д. Однако мы в состоянии изба- 1+ х виться от «сомнительной» буквы х подобно тому, как избавились от символа | в обосновании комплексных чисел. Обратим внима- ние на те действия над коэффициентами полиномов, которые долж- ны выполняться при действиях над самими полиномами. Опишем эти действия, исходя из расположения полиномов по возрастаю- щим степеням буквы.

Именно, вместо полиномов рассмотрим бес- конечные последовательности (ао, а|, ..., а», ...) элементов кольца А, в которых все элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Вводим теперь определения равенства и основных действий. 1. (ао, а|, ..., а», ...) = (Ьо, Ь1, ..., Ь», ...) тогда и только тогда, когда а, = Ь|, | = О, 1, ..., а„ ... П. (ао, а„..., ам . )+(Ьо, Ь~..., Ь», )=(ао+Ьо, а|+ + Ь1, ...,' а»+ Ь», ...).

Ясно, что требование об обращении в нуль всех членов, начи- ная с некоторого, сохраняется при сложении. П1. (ао, а|, ..., а», . ° ) (Ьо Ь!,, Ь», ° ..) = (а»Ьо, аоЬ~ + + а|Ьо,, аоЬ»+ а,Ь,, + ... + а»Ьо, .). Здесь тоже сохраняется требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого места.

Характеристики

Список файлов лекций