1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Мы уже видели, что значения корня и-й степени из а дНЮтся формулой (1). Покажем, что р», = р», в том и только в том случае, когда й~ вм йз(апой и). Действительно, Ч+ 2ь~п в+2ьри + 2 и и при целом 1 (аргументы равных чисел равны или отличаются на целые кратные 2и„о модулях заботиться не нужно — онн одинаковы у всех чисел 5»). это равенство, в свою очередь, равносильно т. е.

й1 = й,(гпоб и). Итак, действительно, в том и только в том случае, если Й1 в= к,(гпоби); и, следовательно, мы получим все различные значения для Рм если й пробежит значения по одяому из каждого класса по модулю п, т. е. некоторую полную систему вычетов. Пример. Найти 1~2+2~ (один нз немногих «хорошо подтасованных» численных примеров). Имеем 2+ 21= т(8(соз45 +(ейп45'). Согласно формуле ( ~3)1и ( 4з'+А зао'+1 . 4з'+А ш') = ~(2 (соз (15'+ й ° 120') + 1 з)п (15 + й 120')).

Для к достаточно взять значения О, 1„2. Получим трн значения: ()г = Ч/2 (соз 15'+ 1 з)п 15'), (), = у'2 (соз 135' + 1 з1 и 135'), Рз= т/2(соз 255'+ 1з|п 255'). з 3! ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 4! Учитывая, что соз45'= з!п 45'=1/1/2. получим р, = — ! + й Для вычисления бз и рз заметим, что 15' = 45' — 30', так что / 1/з соз!5'= соз 45'сов 30'+ з!п 45' з!п 30'= — ~ — + — ), З/2 х 2 2! l А/З з!и 15' = з!п 45' соз 30' — соз 45' з!п 30'= — ~ — —— ч/2 2 Поэтому «/з+! . чз — ! 2 2 А/3 — 1 .А/3 — 1 2 2 В заключение отметим, что среди и значений корня л-й степени из комплексного числа нет оснований, вообще говоря, предпочитать какое-лнбо одно значение остальным.

Понятие «арифметического значения» при извлечении корня из комплексного числа не вводится и его невозможно ввести каким-либо естественным способом, Легко проследить, что упоминавшееся выше «противоречие» вЂ” 1=!з= !/ — 1А/ — 1= 1/( — 1) ( — 1)=ч/1=!имеет своим источником путаницу в выборе значений квадратных корней. Дело в том, что в применении к комплексным числам формула А/а ~/5 = = !/а~3 верна (прн выбранных значениях для ~/а н !/(1) лишь при одном выборе значения для 1/а~~ а при другом выборе она -не верна и даже в случае, если ар оказывается вещественным положительным числом, подходящее значение з,'а~ не обязано быть арифметическим. В рассмотренном примере игра идет на равенствах: 1/ — 1 1/ — 1 = — 1 и ~1 — 1А/ — 1=1.

Первое из них верно, если в качестве значений для обоих сомножителей взять одинаковые значения !/ — 1 (т. е. ~', 1 нли — Г, — !), второе верно, если взять различные значения (т. е, !, — ! или — 1, !). 3. Извлечение квадратного корня. Извлечение квадратного корня пз комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия. Пусть х+ уг'= ~~а+ Ы, и положим, что Ь ФО, так как только этот случай представляет интерес. Тогда а + Ы = (х+ у()' = = х' — у' + 2ху(, что равносильно системе уравнений х' — у'=а 2ху = Ь, причем нас интересуют только вещественные решения этой системы, Мы уже знаем, что задача имеет решения. Это дает право комплексные числА [гл.

и предположить, что под буквами х и у подразумевается решение задачи. Тогда (ха — у')' = а', 4х~уз = Ь'. Складывая эти равенства, получим (ха + уз) ' = а'+ Ьз, откуда х'+ у' = ~/а~ + Ь', причем здесь должно брать арифметическое значение корня, нбо х' + у' > О. Сопоставляя последнее равенство с первым уравнением системы, получим 2х' = ~а'+ Ь' -(- а 2у'= 1/а'+ Ь' — а, По замыслу задачи правые части обоих равенств должны быть не- отрицательны, и это действительно имеет место, ибо ~/а'+ Ь' > > ~1 а~ = ! а !.

Из последних равенств находим ть' а' + 6 ~ + а / Ч~а~ + 6~ — а х=о, 1I 2 'ч Здесь снова берутся арифметические значения для корней, а о~ и оа принимают значения -~-!. Ясно, что так вычисленные числа х и у удовлетворяют первому уравнению системы х' — у' = а. Ио они должны удовлетворять и второму: 2ху = Ь. Это дает Г~~~ ь- .

~ ьЬР ь- ь* — ° или, после очевидных преобразований, а,аа ~/Ьа=Ь, откуда а1аа = 1, если Ь > О, и о|па — — — 1, если Ь ( О, так чтс аа = а, з!дп Ь, где з!дп Ь обозначает знак Ь, т. е. +1, если Ь - О, н — 1, если Ь СО. Это дает формулу — I тlаь+ 6'+ а .. I 4а'+ ба — а) ~'а+Ь(=~ ~ ~( +!з!дпЬ'1( Пример 1. ( /ч/Т+ю+о . ~ч/!+о — о) !+ь' Пример 2. .1/3 — 4! ° ~ ('~1~ 2 — ! '~/ 2 ) = ~ (2 — !). 43 кОРни из единицы $4. Корни из единицы 1. Формула для корней из единицы.

Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для числа 1 существует ровно и значений корня и-й степени. Так как 1 = созО+ !31п О, то для корней и-й степени из 1 имеет место формула е„= соз — + !' 31п — при й = О, 1, ..., и — 1. 2ая .. 2ап и и Конечно, в качестве значений для й может быть взята любав полная система вычетов по модулю и. 2.

Геометрическое изображение. Все корни из 1 имеют модуль', равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке О. Один из них при я = О есть просто число 1 и изобра- гг >кается точкой пересечения положительной и 4~ полуоси вещественной осн с единичной ок. о ружностью. Корень е! имеет своим аргумен- 2к ! ек м том †, т.

е. — часть полной окружности. п ' ' п Дальнейшие корни ем е>ь ..., е„! имеют 2 3 и — ! 47 >и своими аргументами —, —, ..., — чав га и сти окружности, так что они все делят еди- те ничную окружность на и равных частей !рис. б). Рис. 6. Все корни п-й степени из 1 являются корнями уравнения х" — ! = О. По этой причине уравнение х" — 1 = О носит название уравнения деления круга. - 3; Первообразные корни п-й степени из 1. Корень и-й степени нз 1 называется первообразным или принадлежащим показателю и, если он не является корнем из 1 с меньшим чем и натуральным показателем. Другими словами, е есть первообразный корень и-й степени из 1, если в" = 1, но при любом натуральном т ~ п, 2Я .. 2 в~ ~ 1. Число е, = сов — +1 з1п — есть, очевидно, первообразный корень и-й степени из 1, но при и) 2 существуют и другие первообразные корни.

Именно, верна следующая теорема. 2йп .. 2кк Теорем а 1. Число ее= сов — + !' з!п — есть первообраз- а Л ный корень пкй степени из 1 в том и только в том случае, если й и и взаимно простьь Действительно, е" = 1 всегда. Пусть я и и взаимно просты и 2Ьпя пусть е = 1, где и> — натуральное число. Тогда = 2(п при и йт целом ! и — =г, т. е. я>п делится на и. Но я и п взаимно просты. Комплексные числА 1гл.

п Следовательно,пг делится на и и потому не может быть меньше и. Поэтому е» есть первообразный корень п-й степени нз 1. Предположим теперь, что е» есть первообразный корень п-й сте- пени из 1, и пусть й = н.о.д.(й, и), и = йп„й = ййь Тогда е» вЂ”вЂ” = сов — +1з1п — и е" =1. Отсюда следует, что й = 1, т. е. 2й я . 2»~я л~ л~ й и и взаимно просты, иначе п~ ~ и и е» вЂ” не первообразный ко- рень. Из доказанной теоремы следует, что число первообразных кор- ней п-й степени из 1 равно числу меньших и и взаимно простых с и чисел, т.

е. оно равно. значению <р(п) функции Эйлера. Йапри- мер, при и= 12 имеется четыре первообразных корня: еь еь ет и еп. 2»я . . 2йя Предложение 2. Число е»=сов — +тейп — является иервообразным корнем из 1 степени и, = — „, где й = и. о. д. (й, п). л й Действительно, пусть и, = — „, й~ = — „. Тогда числа п1 и й~ 21~я . 2»~я взаимно просты и е» вЂ” — соз — +1з(п — есть первообразный л| л, корень степени п1 из 1 в силу только что доказанной теоремы. Итак, среди корней и-й степени из 1 присутствуют первообраз- ные корни нз 1, принадлежащие всем показателям п,= —, яв. в ляющимся делителями и. Например, среди корней 12-й степени нз 1 присутствуют первообразные корни степени 12 (еь ем ег, еп), степени 6 (е» и е1»), степени 4 (е» и е»), степени 3 (е» и е»), сте- пени 2 (гл) и степени 1 (еь).

4. Свойства корней из 1. Предложение 3. Произведение двух корней степени и из 1 есть корень степени и из 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а и р — корни степени п из 1. Это значит, что а" = 1 н бл = 1. Но тогда и (а(1)" =алрл= 1, т. е. аб — тоже корень п-й степени из 1. Предложение 4, Число, обратное корню степени и из 1„ есть корень степени и из 1. Доказательство. Если а" = 1, то (а-')" = 1, Эти два предложения означают, что корни степени и из 1 обра- зуют абелеву группу относительно умножения.

Предложение 5. Пусть е — любой первообразный корень степени и из 1. Тогда всякий корень степени и из 1 получается из е возведением в некоторую степень с натуральным показателем. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть е — какой-либо первообразный корень степени и из 1. Тогда при любом целом й число е" будет корнем степени и из 1, ибо (е')" = (е")» = 1. Рассмотрим числа 1, е, е», ..., е"-'. Все оин суть корни степени п из 1. Среди них нет равных, ийо если е" = е"' при 0 ~ й с. л» ~ п — 1, то е -" = 1, кОРни из единицы что невозможно, ибо т — й есть натуральное число, меньшее и, а е — первообразный корень степени и.

Итак, числа 1, г, ег, ... ..., е"-' — попарно различные корни и-й степени нз 1, н их число равно и, т. е, равно числу всех корней и-й степени из 1. Поэтому 1, е, ег, ..., е"-' суть все корни степени и из 1, что и требовалось доказать. Заметим, что сопоставление целому числу я корня зь из 1 со- относит одному корню класс чисел по модулю и, и, так как при умножении степеней показатели складываются, сумме классов со- ответствует произведение корней. Тем самым группа корней и-й степени из 1 изоморфна группе классов вычетов по модулю и отно- сительно сложения, Предложение 6. Все значения !~а (аФО) получаются из одного значения посредством умножения на все корни степени п из 1. Доказательство. Пусть бь а и 6"=а.

Характеристики

Список файлов лекций