1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Действительно, компоненты чисел р и — р отличаются только знаками, и суммы квадратов компонент одинаковы. Далее, )а — р!=!а+( — р) )(!и)+! — р(=(и!+!р!, что и требовалось доказать. Для доказательства неравенства с) применим неравенство Ь) к а = (а+ р) — р. Получим; !а! = (а+ р(+!р), откуда (и+ р! « «!и! — (Р!.
Наконед, )а — р!=!и+( — (3) ! «!а! — !р!„чем доказано неравенство д). Все доказанные неравенства имеют ясное геометрическое ис. толкование (рис. 5). Если точки, изображакзщие О, а, ~, не лежат на одной прямой, то треугольник с вершинами О, а, я+ р имеет длины сторон )а!, Ф» и !сс+ р!. Из известных «неравенств треугольник໠— сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности — получаем неравенства а) и Ь) / (даже без включения равенства, что обеспечивается сделанным предположением о невырожденностн треугольника О, а,а + р).
Нера- а-,д венства с) и б) становятся очевидными прн взгляде на треугольник с вершинами в точках О, сс, р. Длины двух его сторон равны !сс! н !!~(, длина третьей стороны равна длине радиус-вектора точки )х — р, т. е, равна (сс — р!. Применение неравенства треугольника йриводит к неравенствам с) и Й), снова без знаков равенства, которые могут появиться в случае вырождения треугольника в отрезок. При доказательстве неравенств с) и д) мы отметили одно обстоятельство, интересное само по себе: модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображаюхцими эти комплексные числа.
Неравенства с) и д) иногда полезны в слегка усиленной формулировке с') д') !ГЛ. И комплексныа числА ав Из неравенства Ь) и обобшенного неравенства а) следует !и!+ а2+ ... + а!(~ (а!( — (а2+ ... + аА(=22 ~~ !О!( (М2( ° ° ° !гАА( ° Это неравенство можно рассматривать как обобшение неравенства Ь). Оно удобно для оценивання снизу суммы, в которой модуль одного слагаемого больше суммы модулей остальных. : б.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. Пусть х! — — Г,(соз!р, + 2яп!р,) и а2 = Г2(соз р,+гяп!р2). Тогда а,а,=г,г, (соз !р, соз !рз — 5!и !р, 510 !р,+! (5!п !р, соз !р2+соз !р, 5!п <р,)) = = г!г2(соз (!р! + !р,) + ! яп,(!р, + ф2)). Таким образом, а!02 легко преобразуется к тригонометрической записи числа, модуль которого равен Г!Г2 и аргумент равен ф!+ ф,. Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей н аргумент произведения (точнее, одно нз значений аргумента) равен сумме аргументов сомножителей.
В буквенной записи !002!=!а!! ° !02!, аги(а!02) = агпа, + агиа2. Эти правила распространяются на произведение любого числа со- множителей. Именно, )а!02... 02|=!а!! ° !02! ... (021, агп(а!02... 02) = агпа!+ агя02+... + агдаА. Действительно, эти формулы верны для й = 2. Допустив, что они верны для произведения из й — 1 сомножителей, мы получим )а!02... 02(=(а, ! ° )02... 02)=(а! ! ° (02!... (ПА (, агп (а!02 ... 02)= =агда!+агд(02 ... 02)=агда!+агпа2+ ... + агйаь. В обеих цепочках равенств последний переход обеспечивается ин- дуктивным предположением.
6. Возведение комплексного числа в степень с целым показате- лем и формула Муавра. Положим в формуле Г! (соз ф! + ! 5!п ф!) Г2 (соз ф2 + ! 5!п ф2), ° ГА (соз фА + ! 51п фА) = Г!Г2... ГА(С05(ф! + ф2+ ... + фФ) + ! ЯП (ф! + ф2+... + фй) ) ю что все сомножители равны, так что Г, = Г2= ... = ГА = Г, !р, = = ф2= ... =!рз = р. Получим (Г(С05 ф + ! 5!П ф)) = Г (Соз ЬР+ ! 5!П ЬР) При Г = 1 получается знаменитая формула Муавра: (соз ф+ ! 5!и ф)» с05 йф+ ! 5!п Ьр.
з г1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА зт Мы вывели эту формулу в предположении, что е — целое положительное число. Покажем, что она остается верной и при е = 0 и при целом отрицательном !с, считая для комплексных чисел, так же как для вещественных, а'=1 и а = —. При й = 0 формула превращается в верное равенство: (сОЕ ф+451пф) = сов 0+15!ПО = 1. Положим теперь е= — лв, считая пг целым положительным.
Тогда (совф+1 в|и ф) =(совф+! Е1п ф) 1 сов тф — 4 з|п впф сов тф+ 4 Мп тф сов'т ф+ Мпв пир = сов Ьр + 1 яп йф. Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях я. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим несколько примеров.
П р имер 1. Выразить 1цбф через (цф. Имеем соотношение сов 54р+ | в|И бф = (сов ф+ ! яп ср)', Применив бином Ньютона, получим сов 54р + |в1п 5р = совзср+ 54 сов' р яп ср — 10соввср яп'ср— — ! 01 совг 4р в! пз 4р + 5 сов 4р ы п4 ср -|- 1 в|из ср (пользуемся тем, что !г = — 1, |в = — 1, 44 = 1, |в= !).
Приравнивая компоненты, получим сов 5ф = совзф — 10сов'фяпгф -|-5совфв|п4ф, яп 5ф = 5 сов4 ср в!п ср — 10 совг,р ыпо,р + в!Пз ф откуда 5сов'фв|п ф — 1Осозвф в|по ф+ вш'ф 51кф — 10|авф+12'ф 1Ф5ф — з в в сов ф — !псов фвш ф+5совфвш ф 1 — 1012зф+5124ф (Мы поделили числитель и знаменатель на совзф.) Ясно, что подобным образом мо>1кно выражать тригонометрические функции кратного аргумента через тригонометрические функции исходного. П р и мер 2. Выразить яп'ф линейно через тригонометрические функции кратных аргументов. Положим сс = сов ср+ в в|и ф, тогда а-' = сов ср — вяп4р, св'= = совйф+вв!и Ьр, а-в = совЬр — !ыпЬр, откуда а+ а-' . а — а-' а" +а-" . а" — а-А сов ф=, .яп 4р=, сов йф= 2 ' 24 2 яп Ьр= —.
21 комплаксныа чнслз (гл, ы Воспользуемся зтими формулами: а — а-' хв а' — 5а'+ 1Оа — 1Оа-' + 5а-' — а-' з!ивф — )— 2! .)— 52! (а' — и-' -5 (а' — а-')+10 (а — а- ') 321 2! в!и 5ч — !О! мп 5%+20! в!и а в!п 5ф — 5 в!и зф+ 10 з!п ф 32! Аналогично, любое выражение вида соз'фа!и ф можно представить линейно через тригонометрические функции кратных аргументов. П р и и е р 3.
Преобразовать сумму В = з!и ф+ з!п 2ф+ ... ... + з!паф. Введем в рассмотрение другую сумму А = сов ф+ сов 2ф+ ... ... + сохи!р и запишем А+ В! = (сов !р+ !в!п ф)+(сов 2ф+ +(з!п2ф)+ ... +(созпф+(з(паф). Мы пришли к сумме геометрической прогрессии. Для дальнейших преобразований полезно ввести обозначение а=сов — +! з!и —. Тогда Ф Ф 2 2 л азл+' — ав А + В! = ав + а' + ... + авл = а' — 1 Вынесем теперь в числителе и знаменателе такие степени а, чтобы в скобках оставались разности степеней с противоположными показателями (для возможности зтого мы ввели сокращенное обозначение для соз — + ! яп —, а не для сов ф+ за!пф, что, каза- Ф . Ф лось бы, естественнее): ил+в (ал а л) ил+~ (ал а-л) А+В! ( а+! ..
л+1 з, аа спв — !р + с з!п — е) 2! вт— 2 2 ) 2 2! з!ив Ф 2 аа ~сов — ф+ ! з!п — ф) 2 Г а+1 .. а+1 2 2 в!ив 2 откуда ар, (а+!) Е зпп — в|ив В= з!и— Ф 2 ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОРО ЧИСЛА В качестве «бесплатного приложения» мы получили сумму мп — ллл А= мп— ф 2 Аналогичным образом могут быть преобразованы суммы вида а, созЬ|+ азсозЬЗ+ ...
+алсозЬл и а~з!ПЬ,+ а»з1ПЬ»+ ... ... + а„з1ПЬ„, если аргументы Ьь Ьн ..., Ьл тригонометрических функций образуют арифметическую прогрессию, а коэффициенты аь а,, ..., а„— геометрическую. Разумеется, рассмотренные примеры не исчерпывают возможности применений формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. $3, Извлечение корня из комплексного числа 1. Вывод формулы извлечения корня. Пусть п — натуральное число.
Извлечь корень с показателем и нз комплексного числа ив это значит найти комплексное число (нли числа) р так, что рл = а. Каждое число р такое, что рл = а, называется корнем п-й степени л из а и обозначается .т/а. л Ясно, что если а=О, то единственным значением Х/а является число О, поэтому сосредоточим внимание на случае а фыр. Запишем а в тригонометрической форме а= г(соз~р+~з1пф) н будем искать О тоже в тригонометрической записи: О=я(с Е+ з1ПВ).
Равенство Ол = а запишется в виде тт ( О+ 'з1плй) = г( р+ ~з1П р). Приравнивая модули и аргументы (с учетом многозначности), получим, что последнее равенство равносильно равенствам: Дл лО = ф+ ййн, Ь ~ 7. Данное число г положительно (ибо а Ф О) н искомое число м должно быть тоже положительным. Известно, что для любого поЛожительного числа существует единственное положительное значение корня л-й степени, называемое арифметическим значением корня, н это значение принято записывать в виде степени с дробным показателем. Итак, )т = гнл.
Аргумент же О находится просто ,делением: ф+ 2»л в КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1гл $! Таким образом, корни и-й степени нз комплексного числа и существуют, н все они даются формулой ()А — — ги" (соз в+ " +(з)п в ) при любом Ф ~ г, (мы ставим индекс й при и для того, чтобы под- черкнуть многозначность Ча и зависимость его значений от па- раметра й, могущего принимать все целые значения), 2. Исследование формулы извлечения корня. Теорема 1. Существует ровно п значений корня и-й степени иэ отличного от нуля комплексного числа а = г(соз ~р+1з)п~р). Их дает формула туа=ги" ~сов +гз1п — ) <р+ 2ьи . ф+ 2ьк к в предположении, что й пробегает какую-либо полную систему вычетов по модулю и, например, й = О, 1„«, п — 1. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
