1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда (66ч1)" =1, так что 66 '=е есть корень и-й степени из 1 и (! = 6ьз, Обратно, если 6 = (!ьз и е есть корень степени и из 1, тоб"= йье"= =а. Последнее предложение показывает, что корни степени и из 1 при действии извлечения корня и-й степени нз комплексного числа играют такую же роль, как знаки ~ при извлечении квадратного корня. Это естественно, так как постановка знаков ~ равносильна умножению на ~1, т.
е. на корни степени 2 из 1. "-- 5. Алгебраическое вычисление некоторых корней из !. При не- скольких малых показателях корни из 1 легко вычисляются. Ясно, что квадратные корни из 1 суть ~1. Корни 4-й степени равны, очевидно, +1, — 1, 1, — 6 Для вычисления корней 3-й степени нз ! рассмотрим уравнение хз — 1 = О. Разложение левой части на множители дает '(х — 1) (х'+ х+1) = О. Приравнивание к нулю первого множи- теля дает х = 1. Второй множитель порождает корни — — ~ 1 —, . чГз 2 2 являюшнеся первообразными кубическими корнями из 1. Срав2гя ..
2чп пение с формулой еь = соз — + 1 з)п — показывает, что . ч'з — — +1 — = сов 120'+ ! з!п 120'. Сравнение компонент дает хо- рошо известные из тригонометрии формулы соз120 = — соз60 = — —, з(п120 =з!п60'= —. 2' Разложение на множители многочлена хч — 1 = (х — 1) (х + 1) (хг + х + 1) (хг — х + 1), 1гл, и КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ч/5 — 1 '~/10 + 2з/5 4 4 '4/5 — ! ..!/! Π— 2Ч/5 4 4 З/5 — 1 . '1/!О+ 2 З/5 4 4 з/5 1 1/10 2 з/й 3= 4 2ал .. 2ал Сопоставление с формулой х„= соз — +1 з!и — = соз й 72'+ + 1 51п й ° 72' дает сравнительно мало известную формулу сов 72 = 4 Из иее легко выводится формула для длины стороны а42 правильного десятиугольннка, вписанного в круг радиуса г. Именно, 2л л гл ах 2л а = 2г з!и — = 2г з!и — = 2г соз ~ — — — ) = 2г соз — = 5 з/й — 1 =г 2 Из этой формулы следует способ построения стороны правильного десятиугольника циркулем и линейкой (рис.
7), известный еше в глубокой древности и описанный Евклидом. ч/5-! Разумеется, формулу ам — — г — легко обосновать без привлечения задачи о корнях из 1. Именно (рис. 8), равнобедренный треугольник с основанием ага и боковыми сторонами г имеет угол 36' при вершине и, следовательно, углы 72' при основании. Биссектриса одного из этих углов разбивает треугольник снова на два равнобедренных треугольника, так что !ОР)=)ВО)= ) АВ~= а4,. Из подобия треугольников ОАВ и ВОА получаем а~4 г — а,4 2 1/5 — ! — — откУда ам+ го 12 — г2 = О и ам = г— г а14 показывает, что первообразные корни степени 6 из 1 суть корни — — уравнения х — х + 1 = О, ибо прнравнивание к нулю 2 других множителей дает не первообзпазные корни. Рассмотрим а = 6. Уравнение х — 1 =0 приводит после разложения на множители к уравнению (х — 1)(х4+хз+х'+х+ + 1) = О.
Первообразные корни являются корнями уравнения х'+ха+ ха+ х+ 1 = О. Оно равносильно уравнению х'+ х-'+ + х + х-' + 1 = О. Положив х+ х-' = г и заметив, что х'+ 2+ + х-' = г', мы получим следуюшее уравнение относительно г: г' + г — 1 = О, откуда г! — — — + — ; г2 = — — — †, . Корни из 4/5 1 4/5 2 2 ' 2 2 1 находятся из уравнений х' — г4х+ 1 = О и х' — гах-1-1 = О, откуда х= и х= . Подставив вместо г! 2 2 и г, их значения, получим коими из вдиницы Во времена Евклида были известны способы построения циркулем н линейкой правильных п-угольников, вписанных в данный круг, для следующих значений »м л = 4,л = 6 (а значит, н а =3), 1 1 1 а 10 (с ним н л = 5 и л = 15, нбо — = — — †, 1 — и прием 16 6 удвоения числа сторон, что приводило к возможности построення прн а = 2", л = 3 ° 2», а = 5.2" н и = 15 2".
Никаких других случаев возможности аналогичного построения не было известно до конца 18 в. Тем более поразительным было открытие в 1801 г. способа построения правильного 17-угольника восемнадцатнлетннм немецким математиком К. Ф. Гауссом. Более того, Гаусс показал, что для возможности построения циркулем н линейкой вписанного О Э А Рис, 6. Ряс. 7.
в данный круг правильного а-угольника необходимо и достаточно, чтобы каноническое разложение числа п имело вид 2»р!7 ... г, где й — любое целое число, а р, !7, ..., г †т называемые простые чнсла Ферма. Простое чнсло р называется числом Ферма, если р — 1 есть степень числа 2. Наименьшими простыми числами Ферма являются 3=2+1, 5=2'+1, 17=2'+1, 257=2'+1, 65537=2!»+1. Легко видеть, что для простоты числа 2" +1 необходимо, чтобы показатель а сам был степенью двойки (но не достаточно: 2»'+! — не простое число). Существует лн бесконечно много простых чисел Ферма, илн их лишь конечное число— вопрос, не решенный до настоящего времени.
Выведем формулы, из которых следует, что построение вписанного в круг правильного 17-угольника выполнимо циркулем н линейкой. Разумеется, мы в состоянии это сделать здесь лишь формально, не вскрывая глубоких причин успеха. Прежде всего заметим., что длина стороны а»4 правильного 2я 34-угольника, вписанного в круг радиуса г, равна 2г з(ив 2.З4 = я Гя я~ Зя 2 34 ~ 2 34 1 = 2г з(п — = 2г сов~ — — 4 ~ = 2г соз —, .
Положим е = соз — + +1зш —. Рассмотрим следующие два числа: 2и 17 о! = з + з» + е» + з» + з» + е» + з!з + е!», а» = е» + з» + е» + вт+ е'» + вп + зм + з'4. комплексиыа числА згл. и 48 Заметим, что е+е + ... +е =, = — = — 1, Поэтоц, з" — в 1 — в му а1+ взз —— — 1. Далее, числа а1 и ввз вещественны, ибо е' и е"-з = е-з комплексно сопряжены, и, учитывая расположение на единичном круге слагаемых е", легко убедиться, что а1 ) О, аз ( О. Вычислим теперь а,а, =е'+ ев+ ар+ ез+ еп + е" + е'з+ е'в+ ез-1- е'+ + ез+ ев+ е1з+е1з+е14 1 81в+ет 1 рв+ ем+ в11 1 + е" + е'в+ в'в+ е+ еп + е'з+ е'4-1- е'в+ е+ е'+ + аз + ее + е з + ем + ем + е/в + ез + ез + рв + ее + + е'в + е+ ез+ ез + ев + ер+ ез + е1в 1 е + аз + + е' + ев + вз + ез + в'в + е'з + вз -1- е' + ев + вв -1- +ев 1 е10+е11 1 е13 Пока мы просто умножили каждое слагаемое нз а1 на каждое ела.
гаемое из ввз, заменив все показатели, большие 16, их остатками от деления на 17. Внимательное рассмотрение получившейся суммы показывает, что среди 64 слагаемых присутствуют все числа е, ез,, е", каждое по четыре раза. Поэтому и1из=41е+ е'+... ... -1- е141= — 4. Итак, а1 + аз = — 1, а1а, = — 4, а1 ) О, аз О. Поэтому — ~ + з/й — 1 — ч/йт а,= 2 ' 2 аз = Рассмотрим теперь числа р1 = е+ ев+ е'в+ е'в и рз = аз+ е'+ + е'+ е'в.
Из расположения слагаемых на единичной окружности легко получить, что р1) О, Оз( О. Далее, ~1+~3з а1, р1/рз=ез+ев+е/в 1-е14+ев+ем+в/з 1 + е'+ е'в+ ев+ ез+ е" + е + е'+ ез+ е'4 = — 1. Поэтому а, + А/а1 + 4 а, —.у а1+ 4 / 2 / з 2 Возьмем еще рз=ез+е'+-е в+ е 4, р4 — — е'+ег+е14+е". Для них аналогично получим, что 12з+ 64=ам рз64= 1 6з > О 114 < О, откуда аз — 4 /аз+ 4 Р4 2 Теперь положим у, = е4+ е'з, у, = е+ е'в.
Ясно, что уз ) т1 ) ) О. Далее, у1+у,=111, у/тз —— -ез+е +егв+е" = рз, откуда р1 — 1/р1 — 4рз 4 ° 214 11= 2 ' . Но у1 — — 2 соз — = — азв. покАЗАтельнАя и лоГАРиФмическхя Функп44и 49 Итак, сторона правильного 34-угольника, вписанного в круг радиуса г, находится по формуле Р,— 4~~- )1, 4134 2 где а4+ ~/а!-)-4 аз+ 4/а2+4 — 1+ 4/!т й! = ° Рх= 2 ' 2 ' 2 а! = — 1- А~!т в2 2 Таким образом, для вычисления а24 нужно кроме арифметических действий сделать несколько извлечений квадратного корня.
Все эти действия выполнимы при помощи циркуля и линейки. й 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной 1. Определение показательной функции. Показательная функция ах вещественной переменной х !Ири положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений х — как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое -л значения для х по правилама = — „и а2=1. Далее рассматриваются дробные показатели, прн которых значение показательной функции определяется при помощи корней: ахм= !7СР.
Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа — с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, 2!''— совершенно непонятно. Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании е = 2,71828... была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы: х= — )п — +С, 1 ! х+1 1 — х' 2 х — 1 — 4!х = агс1я х + С. 1 В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене х на х4'.
!гл. ы 50 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ала 55 У„ а !+— л . э соз ф„= з!п ф„= —. гл л лг Теперь (1+ — + — ») =гл(соз пф„+» з!п пфл). Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для г„" и тир„н найти эти пределы. Ясно, что гл-л1 и п ( +За+а» лЕ и Далее, ифл=п з!Пф ° —,. = — ° — -лЬ. Рл Ь 5!а фл Гл 5!а фл Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими. У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием е, именно, е'+" = сл (соз Ь + ! 5!и Ь).
Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним. Известно, что при вещественном х имеет место предельное соотношение: е =1!гп ~1+ — »! . В правой части находится многол.+,ю л член, имеющий смысл и при комплексных значениях для х. Предел последовательности комплексных чисел определяется естест- ВЕНИЫМ ОбраЗОМ. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ С = пи+ Ьл! СЧИтаЕтСя СХО- дяп(ейся, если сходятся последовательности ал и Ь„вещественных и мнимых частей и принимается 1!т си =!Пп а„+» !Нп Ьл. л.+- " и.+ю " и.+м ач-мхи Найдем 1пп 11+ — »! . Для этого обратимся к тригономел+ ~ ~ и а ь трической форме 1+ — „+ — „» = гл(созфи+» яп фл), причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка — и ( ф„( и. а ь Прн таком выборе ясно, что ф„-~О, ибо 1+ — + — »-л1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
