1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Однако и в первом случае, когда нет необходимости в действии извлечения кубического корня из комплексного числа, как правило, «хорошие» корни, если онн есть, формула Кардано преподносит «под маской». Благополучный пример, типа приведенного выше примера 2, является исключением. Рассмотрим еще один пример. Пример 4.

ха+ Зх — 4 = О. Здесь снова «светится» корень к = !. Формула Кардано дает: е «72+ «~4+ )+ Ч2 — 14+ ! 42+ ~/6+А — ~76. 4 я Решение уРАВненип тРетьей и четВеРтоп степени ат Правда, и здесьможно «снять маску», если знать, что 2+ ~/5 =( ) — =~ ~к) ) и 2 — 1/5 =!к ) . Если принять это во внимание, получим 1 1 — 1 1 х, = — + — 1/5 + — — — 1/5 = 1, 2 2 2 2 хг=(2 + 2 'Ф) а!1+ Я вЂ” 2 '»/5) 41» 2 + 2 хз (г + 2 '1/5) ах+( —,' — —, Ъ~5)в!= 2 3. Решение уравнений четвертой степени. Вскоре после того, как Кардано опубликовал способ решения кубических уравнений, его ученики и последователи нашли способы сведения общего уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Изложим наиболее простой способ, принадлежащий Л. Феррари. При изложении способа нужно будет воспользоваться следующей элементарной леммой. Лемма. Для того чтобы квадратный трехчлен Аха+Вх+С был квадратом линейного двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его дискрилшнант В' — 4АС равнялся нулю. Доказательство. Необходимость. Пусть Ах»+ + Вх + С = (йх + 1! а.

Тогда А = йа, В = 221, С=В и Вз — 4АС=О. Достаточность. Пусть В' — 4АС=О. Тогда 4х'+ Вх+С =(1/Ах+=) . Идея излагаемого способа состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения х'+ ах«+ Ьх'+ сх+ д = О в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для достижения цели левую часть представим в виде: ( х + — х+ — ) — — х — — — — — ух-+ Ьх + сх+с! а у Хх а' х аух у' 2 2х 4 2 4 !х + х+ ) ~( 4 +у — Ь)х +( — — с)х+( — д)~.

Здесь у — вспомогательная неизвестная, которую нужно подобрать так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. В силу леммы для этого необходимо и доста. точно выполнения условия Я с)' — 4(4 +у Ь)(4 д)-О. пРОстеишие сведения ОВ АлГеБРе пОлиномов [Гл. 2!! Это условие есть уравнение третьей степени относительно у. После раскрытия скобок оно преобразуется к виду Уг — Ьуг+(ас — 4д)д — (с'+ аг2[ — 4Ьг[) = О Пусть у! — один из корней этого уравнения. Тогда при у = у, условие будет выполнено, так что имеет место ) ( ) (— 2 — + у, — Ь) х'+ ( — — с1 х + ( — ' — д) = (йх + 1)2 при некоторых й и 1.

Исходное уравнение примет вид (хг + — х + — "' ) — (лх + 1)' = О, или (х + — х + У' + Ьх + 1) (х'+ — 'х + ~' — Ьх — 1) = О. Приравнивая нулю каждый из сомножителей, мы найдем четыре корня исходного уравнения. Сделаем еше одно замечание. Пусть х! и хг — корни первого сомножителя, хг и х4 — корни второго. Тогда х,хг= — + 1, хгх4 ф! = — — 1, Сложив эти равенства, получим, что У! = х!хг+ хгх4, Таким образом, мы получили выражение корня у! вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

П р и м е р. Решить уравнение х'+ 2х' — 6х' — 5х+ 2 = О. Согласно изложенному выше методу преобразуем левую часть: х'+ 2хг — 6хг — 5х+ 2 = = ~х' + х+ — ) — ух — х — ху — — — бх' — 5х + 2 = 2 У 1~ 2 2 У' 2) 4 =(х'+ х+ф) — ~Ь+7)х'+(у+5) х+ ~ — ", — 2)~. г уг Теперь положим (у+5)' — 4(у+ 7)( 4 — 2) =О. После прег образований получим уравнение уг+ буг — [6у — 6[ = О Легко видеть, что одним нз корней этого уравнения является число у! = — 3. Подставив его в преобразованную левую часть исходного уравнения, получим: х'+ 2хг — бх — 5х+ 2 = ~х + х — — ) — ~4х' + 2х + — ~ = 2 2 [1 2) 43 3'2 = ~х-'+ х — — ) — (2х+ — ) = (хг+ Зх — 1)(хг — х — 2).

2 ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ БУКВ 69 % 3! Приравнивая сомножители нулю, получим — з+ зс'Гз — з — з/сз Х,= 2 ' 2 х2 Ха=2 Хс= — 1 Что касается уравнений выше четвертой степени, то здесь были известны некоторыс классы уравнений сравнительно частного вида, допускающих алгебраические решения в радикалах, т. е. в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня. Однако попытки дать решение общих уравнений пятой степени и выше были безуспешны, пока, наконец, в начале 19 в.

Руффисси и Абель не доказали, что решение такого рода для общих уравнений выше четвертой степени невозможно. Наконец, в 1830 г. гениальному французскому математику Э. Галуа удалось найти необходимые и достаточные условия (проверяемые довольно сложно) для разрешимости в радикалах конкретно заданного уравнения. При этом Галуа создал и использовал новую для своего времени теорию групп подстановок. 9 3. Полиномы от нескольких букв !. Определение и основные действия. Пусть дано коммутативиое кольцо А с единицей и несколько посторонних для А букв хь ..., х .

Одно«ленам относительно этих букв называется выражение ах,' ... х„,, где а е= А, йс, ..., й — целые неотрицательные числа. Показатели йс, ..., й, называются степенями одно- члена относительно соответствующих букв, а нс+ ... +й„называется полной степенью или просто степенью одночлена. Для по»( » »1 ь добных одночленов ах,' ... х„" и Ьх,' . х '" определено сложе» ь » ние ах,' ... х ' + Ьх, ... х»=(а+Ь) х,' ... х,„" («прссведессие подобных членов») и определено умножение одночленов: ах ' ... х '" ° Ьх ' ... х '" =аЬх '" ' ... Х~»»'»».

» » с с ь»с Многочленом или полиномолс называется формальная сумма одночленов, причем порядок слагаемых безразличен. Максимальная из степеней одночленов, составляющих полипом, называется его степенью. Полипом, все члены которого имеют одинаковую степень, называется однородньсм полипомом или сСсормос1. Максимальная из степеней относительно какой-нибудь буквы называется степенью полннома относительно этой буквы. Два полннома считаются равными, если они составлены из одинаковых одночленов.

Для полиномов естественным образом определяются действия сложения и умножения. Именно, сумма двух полиномов составлена из объединения всех одночленов, составляющих слагаемые; произеедение есть сумма произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. Полиномы то пРОстеи|пие сВедения ОБ АлГеБРе полииомОВ [Гл. И! образуют ассоциативное и коммутативное кольцо, обозначаемое А(хь ..., х ). Ясно, что полипом от букв х|, ..., х можно рассматривать как полипом от х, с коэффициентами, являющимися полиномами от остальных букв. Теорема 1, Кольцо полиномов от нескольких букв над областью целостности есть область целостности. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Применяем метод математической индукции по числу букв. База индукции имеется — для полиномов от одной буквы теорема была установлена в и. 2 $1. Положим теперь, что кольцо полиномов от т — 1 букв есть область целостности. Тогда и кольцо полиномов от и| букв есть область целостности, ибо оно есть кольцо полиномов от одной буквы над кольцом полиномов от и — 1 букв, которое есть область целостности по индуктивному предположению. 2. Значения полиномов от нескольких букв. Пусть  — ассоциативное коммутативное кольцо (для полиномов от одной переменной коммутативность В была не обязательна), содержащее А, и с единицей, совпадающей с единицей А. Пусть дан полинам Р(х„..., х )=~„,аь „х,'...х'"ееА[хи ..., х ] и даны Ь|, ..., Ь ~ В, Значением полинома Р(х|, ..., х„) в точке (Ь|, ..., Ь ) (или при х| = Ь|, ..., х = Ь ) называется Р(Ь„.... Ь„) = Е а,, Ь,' ...

Ь„'= В. Ясно, что если Н(хь ..., х ) =Р,(х„..., х )+ Рз(хи ..., х ) и 6(х„..., х„,) =Р,(х„..., х ). Р,(хь ..., х„,), то Н (Ь|а ф Ьм) Р| (Ь|~ Ьуп) + Рз (Ь|~ > Ьы) И а(ЬО ..., Ь ) = Р,(Ь„..., Ь,„) Р,(ЬО ..., Ь ). 3. Теорема о тождестве. Если А — область целостности, содержащая бесконечно много элементов, то верна следующая теорема о тождестве. Теорема 2.

Если два полинона Р|(хь...„х ) и Рз(хь...,х ) равны тождественно в А (т. е. принимают одинаковые значения при одинаковых наборах значений букв), то они равны формально. Для доказательства достаточно установить справедливость леммы: Лем м а. Если полинам Н(х„..., х )еиА[хь ..., х 1 тождественно равен нулю в А (т. е. в'се его значения' раенька нулю), то он равен нулю формально. Действительно, достаточно перейти от многочленов Р, и Р к их разности Н = Р| — Рз. пОлинОмы От нескОльких БукВ т1 Доказательство л ем м ы. Мы докажем равносильное лемме предложение: если полинам Н формально отличен от нуля, то найдутся значения х'„..., х" для букв х» ..., х, при которых Н принимает значение, отличное ог нуля.

Применим метод математической индукции по числу букв и» Прн гп = 1 теорема была доказана. Пусть пг 1, Н(х» ..., х )Ф ~О. Запишем Н(х» ..., х,„) как полинам от х~ с коэффициентами из А[хм ..., х,.[: Н(х„ ..., х„) = а (х„..., х )х",+а (х„..., х )х",-'+ ... +а (х, ... х ). Можно считать, что аь(хв ..., х )ОЬО. В силу индуктивного предположения для хв ..., х„, найдется набор значенийх,"... „х' такой, что а,',=аь(х.,', ..., х" ) ~ О.

Тогда = а, (х',, ..., х' ) х", + а, (х',, ..., х ) х", ' +... + а„(х', ..., х' ) =а',х",+а",х"-'+ ... +а" при а' ~ О. В силу теоремы для гп = 1 найдется х", ен А такое, что Н(х*п х,', ..., х') =аьх',"+а',х'," '+ ... +а'„~ь О, что и требовалось доказать. 4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. Те о р е м а 3. Пусть А — область целостности, содержащая бес,.Конечно много элементов, и пусть Р1 и Рэ — два полинома из А[х» ..., х [, принимающие одинаковые значенияР,(х'„...,х')= Р (х'„..., х" ) всюду, где выполнены неравенства Н,(х*„...

Характеристики

Список файлов лекций