1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Пусть (а~, ам ..., а,) и ((3ь рм ..., (3„)— две данные перестановки. Если ~~ =а„то (ам...,~и„) и ((3э,..., 13,) отличаются только порядком и, в силу индукционного предположения, посредством нескольких транспозицнй можно перейти от (ав ..., а„) к ((3м ., Р„) и, следовательно, от (ип ам ..., а„) к фь (3з, ..., 13,).

Пусть теперь Р, ~аь Тогда (31=а; при некотором 1Ф1. Сделав в (ап ам ..., а„) транспозицию (ап он), мы придем к новой перестановке, у которой на первом месте находится ап =.(3ь В силу доказанного эта перестановка превращается в рп бв . , б. посредством нескольких транспознций, Следовательно, от (ап аз, ..., а,) к ((3ь йм ..., 13,) можно перейти посредством нескольких транспозиций, что и требовалось доказать. В терминах подстаиовок предложение можно переформулировать так; любая подстановка может быть представлена в виде произведения транспозиций.

Переход от одной перестановки к другой посредством транс- позиций совершенно не однозначен. Однако в силу предложения 3 МАТРИЦЫ Н ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (гл. «ч четность илн нечетность числа транспозиций для такого перехода инвариантна. Именно, для перехода от перестановки к другой перестановке той же четности число транспозиций обязательно четное, ибо каждая транспозицня меняет четность перестановки на противоположную. Аналогично, для перехода от перестановки к другой перестановке противоположной четности требуется нечетное число транспозиций.

3. Определитель порядка л. Определение. В п. 1 была дана предварительная формулировка для определителя. В ней не хватало правила расстановки знаков слагаемых, но было указано, что это правило должно быть связано с разбиением перестановок на два класса. В п. 2 было описано разбиение перестановок на два класса — четных и нечетных перестановок. Это разбиение и положим в основу правила расстановки знаков в определителе. Таким образом, приходим к следующей полной формулировке.

Определителем квадратной матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов втой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомиожители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным — со знаком' «минус».

Легко проследить, что расстановка знаков в определителях второго и третьего порядков соответствует сформулированному правилу. Настоятельно рекомендую читателю не пожалеть времени и выписать в развернутой форме определитель четвертого порядка. В символической записи определитель можно записать так: ао ад .

° ° а~л ам алз "° алл ~лл(л, л, .... ал) ( — 1) " а,„аь, ... ал„, (лл л» ..., а„) ал~ а„2 "° алл где (аь ам ..., а„) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., и; ыл(л,, а,, ..., ал) далее, множитель ( — 1) ' ' " равен' +1, если (аь ии ...

..., а„) — четная перестановка, и равен — 1, если нечетная. Ясно, что понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из любого ассоциативного коммутативного кольца н, в частности, из любого поля. 4. Свойства определителя. 1. Общее правило знаков. Для дальнейшего будет полезно знавать, с каким знаком входит в определитель ! У ап аи ...

а~л слагаемое аа аа ... а, е, где (ссь ам ..., и,) ал. ал2 и (()ь Рм ..., (),) — две пеРестановки чисел 1, 2, ..., л. ДлЯ того ТЕОРИЯ ОПРЕПЕЛИТЕЛЕП втобы узнать это, следует расположить сомножители в порядке следования строк. Заметим, что если поменять местами два сомножителя, то происходит транспозиция как в первых, так и во вторых индексах, так что число инверсий в первых индексах и число инверсий во вторых индексах меняются на нечетные числа, и потому их сумма меняется на четное число. Поэтому ( — 1) ' ' " ' ' " не изменяется при перемене мест двух сомножителей, а следовательно, и при любом изменении порядка сомножителей, ибо любое изменение порядка равносильно нескольким попарпым переменам мест. Отсюда следует, что знак, с которым входит слагаемое а, е, аа,е, ... а„е )1пч (аг ач, ..., а„)+1пч (еи вч " .

еп) Денствн в определитель, есть ( — 1 тельно, пусть у1,у,, ..., у. — последовательность номеров столбцов после приведения сомножителей в порядок следования строк, так что а ва в ... а е — — а, а, ... а„„. Тогда 1пч (а,, ач, ..., а„)+1пч (Е,, Вт .... Е„) ( 1 ' и ( )1пчп, 2, ..., п1+1пч (Уи У, ..., У ) 1пч (У, У, ..., У ) а это и есть множитель ~1, с которым интересующее нас слагаемое входит в состав определителя.

2. Определитель транспонированной матрицы равен определиуелю исходной, Другими словами — определитель не меняется при транспонироваиии матрицу. Действительно, брать произведения элементов по одному пз каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы — то же самое, что делать это по отношению к транспоннрованной матрице. Далее, номера строк для исходной †э номера столбцов для транспонироваиной, а номера столбцов исходной суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое а е а е ...

а„ в входит в состав определителя исходной маа Е, а,в, . а Вп трицы и определителя транспонироваиной с одним и тем же мно1пч (ао а, ..., а ) +нч (В1, 11...., Вп) жителем ( — 1) Установленные два свойства указывают, что в определителе строки и столбцы совершенно равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства, устанавливаемые для строк, остаются справедливыми и для столбцов. Следующие два свойства означают линейность определителя относительно элементов любой его строки.

3. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором — вторым. млтгицы и опьеделители 92 )гл. чт Это свойство становится прозрачнее, если от словесной формулировки перейти к формуле: ап ... а~а ьп+ "и '' вы+с!л ап ...а,л ап ... а!л и ''' вл + лп ° ° ° свл ал~ ... алл ам ° ..

алл '!м ° ° ° алл Д о к а з а т е л ь с т в о. е,, ль ...,ел (е, е...., ел) !е, ''' !е! ' ' лел (е,, е, ....а„) ап . а!л ьп Ясно, что первая сумма равна а вторая равна ал! ... алл ап ° а| л ап ''' сол ал~ ° ° ° алл Доказанное свойство естественным образом обобптается на случай, когда элементы строки представлены в виде суммы нескольких слагаемых. 4.

Если все элементы кикой-либо строки определителя имеют оби(ий множитель, то этот общий множитель можно вь!нести эа внак определителя. ап ...а,л л!а ... л!а!„ ал1 ° ° ° алл ал, = а„, ...а„„= л а„... а,л ап " авл ал! °" алл Действительно, (е. е....,е,) (ег еа "" ел) а1! ° а! л !! ''' !л а,! ... ал» ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ 93 5.

Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. 6. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель изменит знак на обратный Эти два свойства тесно связаны и играют особо важную роль в теории определителей. Докажем сначала 5-е свойство, потом б-е. Пусть дан опр ан ... а~п еделитель с двумя одинаковыми строками: чп а ...ап ап1 ° ° ° апп (а,, ..., ап) причем аи = ам, ам = а»ь ° ., аы =. а»' Разобьем сумму на две части, соответствующие четным и не.

четным перестановкам: четв. ап ...а,п а,1 ... а~п ап! ° ° ° апп ап1 ° ° ° апп — Х а„...аа ...а„...а нечетн. Вспомним, что все нечетные перестановки получаются, если во всех четных перестановках (аь ..., аь ..., а», ..., а„) сделать одну н ту же транспозицию (аь а»). Поэтому ( ь...,а,...,а, ...,ап) 1а~ ~ат ''' »а» ''' пап четн. Х а~а ''' 11»а '' а»а '' апа четн. Но а, = а, и а, = аьа Поэтому для каждого слагаемого первой суммы найдется равное ему слагаемое во второй, так что Ь = О, что и требовалось доказать.', Обратимся теперь к доказательству 6-го свойства, причем позволим себе обозначить переставляемые строки просто 1 и П, Нам нужно сравнить определители МАТРицы н опведелнтели 1ГЛ.

1У С этой целью рассмотрим вспомогательный определитель, заведомо равный нулю: а!1 ° ° ° а1« а„... а1« а„... а,„ П 1+И О= 1+И аи! .. а„« 1+ П 1+И ам ... а«« а«! ... а«« аа ... а1„ 1 а11 ... а1и а11 ° .. а1а аи ... аг« П + П П П а«! ° .. а«л аю ° ° а«« аы " а«« а«1 - . а«и а11 ° ° ° а1« ао ...а,„ а ... а и Л'= а„, ... аь« аи ...а„ а«! а а«! ... а«а Возьмем какое-либо слагаемое из второго определителя, записанное в порядке следования его строк: а, ... аа« .. а!« Оно входит в состав Л' с множителем ( — 1) что в Л оно входит с множителем ( — 1) !««1«„..., «!,...., «!, ..., «„) ...!««1«а ...,аа ..., «„, ..., а 1 Ясно, что( — 1) ' ' ' ' " = — ( — 1) так что каждое слагаемое нз Л' входит в Л с нротнвоположным знаком, т.

е. Л'= — Л. Теперь для' доказательства свойства 5 рассмотрим определитель с двумя одинаковыми строками и переменим местами эти строки. С одной стороны, он при этом изменит знак, но вместе с тем он не изменится. Следовательно, Л = — Л, 2Л = О и Л = О. Однако это рассуждение применимо, только если в кольце возможно деление на 2, так что из 2Л = О следует Л = О. В пола Мы два раза воспользовались свойством 3. Первое и четвертое слагаемые равны нулю.

Характеристики

Список файлов лекций