1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Следовательно, сумма второго и третьего равна нул!о, что и требовалось доказать. Рассмотрим другой путь доказательства свойств 5 и 6. Начнем с шестого. Пусть ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЯ а~~ ... а„, там ... таьл аи ... а1л а|л ан аи ...а,„ ан+та, ... а „+та„„ ам ...а,л Йл аы ал, ... алл ал~ ° ° ° алл алл ал1 ао,. а~л а!л ам...ал ал| ° ° ° алл Свойство 8 особенно важно, так как оно дает ключ к вычислению определителей. Рассмотрим небольшой пример.
Пусть требуется вычислить определитель 1 — 1 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 Прибавим ко второй строке первую, умноженную па — 1, затем к третьей прибавим первую, умноженную на — 1, и затем к четвертой прибавим первую, умноженную на — 1. Получим равный опре- делитель ! ! ! 1 0 О 2 2 0 — 2 0 0 — 2 — 2 0 еперь прибавим к четвертой строке третью, умноженную на — 1, к четвертой — вторую, умноженную на — 1. Получим равный ычетов по модулю 2 мы не могли бы сделать такого вывода.
этом состоит небольшой недостаток второго доказательства сравнительно с первым, 7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю. Действительно, если, согласно свойству 4, вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности, то остается опреДелитель с равными строками, который равен нулю. 8, Определигель не меняется, если к какой-либо его строке добавить числа, пропорциональнь!е другой строке. Действительно, млтгицы и опэеделители определитель 1 1 1 ! 0 0 — 2 — 2 0 -2 0 — 2 0 0 0 4 Теперь оказывается, что из 24 слагаемых определителя отлично от нуля только одно: анамамам = 1 ( — 2) ( — 2).4 16.
Перестановка (1, 3, 2, 4) нечетная, следовательно, определитель равен — 16. 5. Алгебраические дополнения и миноры. Пусть дан определитель а„...а, ...ага а!, а,ь ... а!а аа! ''' ак ''' ла Рассмотрим определитель а,! ... 0 ... а!а 0 ... ! ... 0 аю ° .. 0 .. ° аал матрица которого получается из матрицы исходного определи. геля посредством замены элемента ам на 1 и всех остальных элементов 4-й строки и й-го столбца на нули. Так построенный определитель называется алгебраическим дополнением элемента апа Для него принято обозначение А!м Заметим, что Ага не зависит от элементов 1-й строки и й-го столбца исходного определителя. 9.
Определитель равен сумме произведений элементов какой- либо строки на их алгебраические дополнения. Для доказательства запишем данный определитель в виде ап ... а, ... а,„ аи '.. ам . а3а аа!" а„ь "а„а а, ам а! а !О+...+0...0+...+а +...+0...0+0+...+а а„, а„ ааа где каждый элемент бй строки имеет и слагаемых. Теперь воспользуемся свойством линейности.
Определитель равен сумме ТЕОРИЯ ОПРЕПЕЛИТЕЛЕН 97 следующих п определителей: а ~ ... а, ... й,л а, ... О ... О й 1 ... й .. й йл~ " йлй " йпл йи ... а, ... а „ + О ... О ... а „ а ... а л~ ''' «й ''' лл В каждом из них вынесем в качестве множителя ненулевой эле- мент ~-й строки: а ... й „ ...
и „ ап ... а й ... й,л аи 1 ...О ...О +... +ам ал ... ал, ... алл п~ ''' лй ''' л« йи "' йм "' й~ О ... О + й!л ... й«Ь ... йлл Теперь вычтем из первой строки первого определителя ~-ю, умноженную на аи, из второй — ~-ю, умноженную на ам, ..., из п-й вычтем бю, умноженную на а,ь Все элементы не изменятся, кроме элементов первого столбца, которые заменятся на нули. Поэтому первый определитель равен О ... а „ ... й,л О ... а« ... а Аналогично, остальные определители равны соответствующим алгебраическим дополнениям, так что действительно йп~ ...
йлл ... йп„ Это свойство носит название разложения определителя по зле. ментам строки, Разумеется, существуют аналогичные разложения Ьо элементам столбцов. а, ... а й ... а и "' ы"' 1л й1, о ...й„...о =аоАИ+ ... +а„А„+ ... +а««Аы. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 99 !Гл. гт Следующие два свойства являются непосредственными следствиями из разложения по элементам строки. аи ...ап ап 10. Пусть в определителе выбрана строка с но- ап~ ° ° ° аип мером ! и даны и чисел Ь Ь.С мм ь " и у а произведений этих чисел на алгебраические дополнения элементов 1-й строки равна определителю, в матрице которого на месте ап, ..., ам стоят Ьь..., Ь„: ао .и* а1п ь, ...
ьи Ь!Ап+ ... + Ь„А,„= а„, ...а„п Действительно, а„... а~п °" ьп =ЬАТ+ ... +ЬА', ап, ...Ь„п а~и а~и а ... а „ аи1 ° ° аии Тогда, по предыдущему свойству, аи ...ап а, ...аьи им А и + аетА„+ ... + аьиА,„= а, ... а апи ибо получился определитель с двумя одинаковыми строками. Следующее свойство касается вычисления алгебраических до. полнений, где А;„..., А',„— алгебраические дополнения элементов Ьй строки этого определителя.
Но алгебраические дополнения не зависят от элементов 1-й строки, так что онн совпадают с алгебраическими дополнениями Ап, ..., Ам исходного определителя, 1!. Сумлга произведений элементов какой-либо строки но алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (свойство ортогональности строк и алгебраических дополнений)з Действительно, пусть дан определитель ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Минором порядка л — 1 для данного определителя называется определитель матрицы, получающейся из матрицы исходного определителя посредством вычеркивания одной строки и одного столбца.
Минор, получающийся вычеркиванием строки и столбца, содержащих а11д обозначается через Л1л. !2. Алгебраическое допо,гнение Ам отличается от соответствую- и(еео минора Л1д лишь на множитель ( — 1)1+а (т. е. Аы = Л1л пли А1* = — Л1л в зависимости от того, четно или нечетно число 1+ й), При доказательстве рассмотрим два случая. Сначала положим 1=1=11 ! 0 а Ац= 0 адл ... адд Согласно определению А„= 2„( — 1) (д,, и.....дд) а„) а1д аьа ' ' ада ' причем нужно положить ац = 1, ам = О при й=2, ..., гг и ап = О при ! = 2, 3, ..., и. Поэтому в сумме нужно сохранить только слагаемые прн а! — — 1 и (аь ..., ал), пробегающей все перестановки чисел 2, 3, ..., и, причем положить ац = 1. По- лучаем Ац=,), ( — 1) ' ' ' "а,, а„„. ~лл (1, дл...., ад) (д, ..., дд) 0 а, а , ...
а, ац ...а, а ... а. 0 а. ... а 1-1, 1 . 1-1, а-1 1- 1, а+! ' ' ' 1-1, д 0 ... 0 ! 0 ... 0 а1+ь! '' а+па-1 0 а1л.1,а ад! ''' ад а ! О ад,ф+! "'' адд Ясно, что !пч(1„аь ..., ал) =(пч(иь ..., ад), ибо ! на первом месте не образует инверсий с другими элементами, Поэтому А ~" ( 1)'""("д "д) а (д, .„, дд) Для того чтобы установить последнее равенство, достаточно восам ... алд пользоваться определением определителя для °, учиадл адд тывая„что вторые индексы на единицу больше номеров столбцов в этом определителе, так что !пч(аь ..., а.) равно числу инверсий в номерах столбцов. Итак, Ац = Лц, Теперь пусть !' и й любые: мйтРицы и опРеделители 100 !ГЛ 1Ч Переместим 1 в левый верхний угол, сохранив порядок остальных строк и столбцов.
С этой целью поменяем местами 1-ю строку последовательно со всеми предыдущими, а затем то же сделаем с е-м столбцом. Определитель прн этом приобретет множитель ( — 1)'-'+й-', так что 1 О ... О О ... О 1, й-! 1,й+! "' !л А;, = ( — 1)'+' О а ... а а ... а 1-1,й-! 1-1,й+! "' 1-1,» О а ,, ... а , , а, , , ... а »1 ''' а,й-1 а,й-1-! ''' ал а В силу рассмотренного ранее случая ! = а = ! заключаем, что 11 ''' Ьй-! ! й+! ''' 1л !)!+й 1-1,! "' »1-!.й-1 "!-1,й+! " !-1,а '!ы ! »1+!,! "' »1+1,й-! аюасй+! " »1+1,л а ... а »1 ''' л, й-1 л, й1-1 '" лл а а а!! ам ° ., а,л ан ай, ° .. ааа аа аай . ° ° аал что н требовалось доказать.
6. Вычисление определителей, Для того чтобы вычислить определитель, пользуясь определением этого выражения, нужно вычислить и1 произведений и сомножителей, каждое из которых равносильно и — 1 попарных умножений чисел. Таким образом, для вычисления определителя этим способом требуется п)(п — 1) попарпых умножений н много сложений, которых мы не учитываем как значительно менее трудоемкую операцию.
Так, при п = 100 число умножений равно 100199 ) 10!Ей. Никакая самая мощная вычислительная машина не в состоянии справиться с таким числом операций. Теперь посмотрим, как можно воспользоваться свойствами определителя. Разложение по строке (или по столбцу) показы. вает, что вычисление определителя порядка л в основном сводится к вычислению и определителей порядка и — 1. Но если в строке есть нули, то нужно столько определителей порядка и — 1, сколько имеется отличных от нуля элементов в строке (в столбце). Но при помощи добавления к строкам чисел, пропорциональных другим строкам, можно получать нули в столбцах.
Проследим за этим. Пусть нам нужно вычислить определитель теоРия ОПРеделителеи 101 Положим для простоты, что ап Ф О. Вынесем из первой строки а11 за знак определителя: а,л а,л 1 а„ аа ав а22 ° ° алл ап ал, алл ... алл При этом нам нужно выполнить и — 1 деление (деление и умножение считаются одинаковыми по сложности операциями).
Далее, прибавим ко второй строке первую, умноженную на — ав, к третьей — первую, умноженную на — ам, и т. д. При этом нужно сделать (и — 1)' умножений и столько же сложений. Получится определитель вида а,л а„' а„ / а22 ''' а2 ап Р ал2 ' алл Для этого перехода нужно и — 1+(л — 1)2= п(л — 1) умножений и делений и (л — 1)2 сложений. Но теперь разложение по первому столбцу сводит задачу к вычислению одного определителя (л — 1)-го порядка, и процесс нужно продолжить дальше. Всего для перехода к определителю первого порядка, т. е. к одному числу, нужно п(п — 1) + ...
... +2 1= — умножений и делений и (и — 1)2+ ... + 12= з л (л — 1) (2л — 1) 6 сложений. После этого нужно последнее число (определитель первого порядка) умножить на п — ! множителей, которые выносились за знак определителя. Это требует еще п — ! попарных умножений. Всего при л= 100 нужно +99=333399 умножений 1ОО' — 1ОО з 100 99 199 и делений н =328350 сложений.
6 Современная ЭВМ, способная производить несколько миллиопов операций в секунду, легко справится с таким вычислением. При практических вычислениях все может проходить не так благополучно, как в теоретическом описании. Возможно, что в левом верхнем углу очередной матрицы окажется нуль или число, близкое к нулю. Это обстоятельство заставляет выбирать так называемый ведущий элемент — по возможности, наибольший в строке или во всей матрице, на который производится деление строки. Но зто значительно усложняет программу пря машинном проведении вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
