1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 21
Текст из файла (страница 21)
млтаицы и опгвделитвли 1гл. ллг Мы не будем приводить примеров вычисления численно заданных определителей типа таких, которые могут встретиться в приложениях, например, 1,З25 2,427 1,2Г5 -0,647 2,354 — 1,621 3,514 0,312 — 1,117 — 2,311 1,511 — 1,212 2,123 1,427 — 1,21! 2,531 Ясно, что для вычисления такого определителя нужны хотя бы несложные вычислительные средства. Мы рассмотрим прил!еры другого рода, не требующие вычислительных средств, но нуждающиеся в проявлении известной сообразительности при применении свойств определителей.
П р и м е р !. Вычислить 'аа аы ... аа 0 ам . ала О О ...ааа Квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, называется верхней (или правой) треугольной. (Заметим, что главной диагональю квадратной матрицы называется последовательность элементов, стоящих в позициях (1, 1), (2, 2), ..., (и, п).) Ясно, что определитель треугольной матрицы равен произведению опала ... а„„элементов ее главной диагонали, ибо это произведение есть единственное слагаемое, отличное от нуля. П р и м е р 2.
Вычислить 1 1 1 ... 1 1 ал ! ... 1 1 1 ал ... 1 1 1 1 ... а„ Здесь естественно ко всем строкам прибавить первую, умноженную на — 1. Тогда получится определитель: 1 1 1 1 0 ал 1 0 0 0 0 а,— 1 0 = (ал — 1) (аз — 1)... (Оа — 1). 0 0 О аа — 1 П р н м е р 3. Вычислить определитель порядка и 0 ! 1...1 1 О 1...1 1 1 0...1 1 1 1 ... 0 твовия опгвделитвлви юз Если бы вместо О в левом верхнем углу находилась 1, мы легко вычислили бы определитель, подобно примеру 2.
Прибавим все строки к первой. Получим и — 1 п — 1 и — 1...и — 1 о о = (и — 1) 1 ... О о Остается вычесть первую строку из всех остальных. Получим: ! 1 1 ... 1 Π— 1 О... ΠΠΠ— 1... О = ( — 1) (и — 1). Ь„= (и — 1) о о о...— ! П р и м е р 4. Вычислить 123...гг л 1 2...л — ! л — 1 л 1...и — 2 Ь л 2 3 4 ... 1 В строках циклически передвигаются 1,2,3, ..., и. Прибавим ги последней строке все предшествующие. Получим: л и ! 2...и†! л — 1 л !...и — 2 л(л+!) л 3 4 3 ...
2 ! 1 1 ... 1 Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий (из последнего предпоследний, из предпоследнего предшествующий и т. д.): и(л+ 1) г з 1 ! 1 о о ! — л 1 ! 1 1 — л 1 ! — л ... ! 1 1 ... 1 — и 11 и(и+ 1) 1 1 1 — и 1 1 — и ! г-гг" ( ! 1 1...1 О ! ... 1 1 . О ... 1 мат»ицы и опнндвлитвли и"л. ог Теперь вычтем первую строку из всех последующих: 1 1 ... 1 — и . 0 ...
0 0 — л ... о И(И+1) ' л+! л 0 0 ... — и 0 Разложение по последнему столбцу дает — И 0 ... ΠΠ— а ... О О и(а+ 1) ( 1)л+1( 1)а п= 2 о о ... — л а (и+ 1), а!-!+а-!-л-2 л-2,,п-! и (и+ 1) 2 ! 2 ! ' ! 2 л †! Ьл(»„»„..., »л) = 22 Х2 ''' »2 2 а-! 1 к„ кл ... хл называется определителем Вапдермонда и имеет некоторое теоретическое значение, так как возникает в различных ситуациях. Подсчитаем определитель Ваидермонда для и = 2 и п = 3 Имеем ! х! Л2 (»!, «2) = ~ ) = »2 — «,. 1 х2 При подсчете определителя третьего порядка 1 х, х! «2 «2 2 «3 «3 2 бз(»! «»л «2)= Прн решении последних примеров мы довольно смело составляли линейные комбинации строк, Однако при этом важно сле' дить, чтобы не прибавлять в неизмененном виде строку, изменившуюся в процессе предыдущих преобразований.
Иначе можно, например, «доказать», что любой определитель равен нулю. Вот это «доказательство»: дан определитель'. Прибавим первую строку ко второй и вторую к первой. Получим определитель с двумя одинаковымн строками, а он равен нулю. Ошибка в этом «доказательстве» состоит именно в том, что вторая строка уже изменилась после прибавления к ней первой строки, и прибавлять ее к первой можно только в этом измененном виде — только тогда можно говорить о сохранении величины определителя. 7.
Определитель Вандермонда. Определитель вида ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ вычтем из третьего столбца второй, умноженный на х/, из второго. первый, умноженный на хь Получим: 333(Х1. «2 ХЗ) = = (Х2 Х1) (ХЭ вЂ” Х1) (Хз — Х2). Очевидно, что аналогичные рассуждения можно проводить и при ббльших п, и это дает основание сформулировать гипотезу: /3„(Х„«2, ..., Х,) = (Хз Х1) (Хз К1),, (Хл Х!) (Хз ХЭ)... (Хл ХЭ) (Хл Хл 1)= Ц (Х, — Х/). л> ! >/ > 1 Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Пусть она доказана для определителя порядка а — 1.
В определителе порядка а вычтем из каждого столбца предшествующий, умноженный на х11 о о 2 1 «3 — к «2 «231 «3 «1 «3 «3«! 2 Л„(Х„ХЭ, ..., Хл) = 1 к, — «1 2 л-1 л-2 хл — х„к, , хл — хл х, 1 «2 ... «2 хз хз =(Х2 — Х!) (Кз — Х1) ... (Хл — Х1) 1 « ° ° к — (ХЭ Х1) (Х3 Х!), (Хл Х!) Лл 1 (Хз ХЗ> ~ Хл) йзы можем применить предположение индукции: Ь„(Х!, Х,, ..., Хл) = (Хз — Х,)(ХЗ вЂ” Х,) ... (Хл — Х,) Ц (Х, — Х/) = Ц (Х, — Х ).
л>1>/>2. л>1>/>1 Формула доказана. 8. Система и уравнений с в неизвестнымн с ненулевым определителем матрицы коэффициентов. Дана снстема и линейных о 1 кз — х, 1 хз — к, о 2 Кз — ХЭХ1 2 «3 хзх! о л-1 -2 «2 «2 «1 л-1 л-2 Хз «3 «1 1гл.
Т|Р МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ уравнений с-л неизвестными ацх! + а|эх, + ... + а„,хл Ьц аз,х, + а22х2 + ... + а,„х„= Ь2, ал,х|+ал,х,+ ... +аллхл=Ьл с числовыми коэффициентами (результаты остаются в силе дл|е системы уравнений с коэффициентами из любого поля). л|! лц ° ° а!л а2| а22 а|л Предполагаем, что Р= Ф О. ам ЛЛ2 ... алл Сначала допустим, что уравнение имеет решение и что хь х2„... ..., хл составляют решение, так что уравнения уже превратились. в верные равенства. Обозначим через Ац алгебраические дополнения ац в Р. Умножим первое из равенств системы на Ац, второе на Лц,...
а е на Ал! и сложим. Получим (ацАц+амА2, + .. +а |Ал!)х, + +(а„Ац+а22А2|+ ... +алАл,)х, + ... ... + (а,лАц + а,лА„+ ... + а„лАл,) хл = =Ь!Ац+Ь,А„+ ... +ЬлЛл| Коэффициент при х| есть определитель Р, представленный в разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же прн Х2, ..., Хл ВСЕ РаВНЫ НУЛЮ, таК КаК ОНН СУТЬ СУММЫ ПРОИЗВЕДЕИИй алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству Рх! = Ь|Ац+ Ь2АИ+ ... + Ь„А„Р , Таким же образом, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим Рх2 = Ь|А|2+ Ь2АИ+ ... + ЬлАл2 н т. д, Из этих равенств получим 1 В (Ь!Ац + Ь2А2|+ ...
+ ЬлАл|) х2 = —., (Ь!А„+Ь,А„+ ... + ЬлАл2), 1 хл |л (Ь|А!л+ Ь2А2л+ ' ' ' + Ьл ~лл) Тем самым мы показали, что если решение сушествует, то оно единственно и дается формулами, которые мы установили. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕИ 1ат Теперь нужно доказать, что решение существует, т.
е. что формулы для хь хм ..., х, действительно дают решение. Имеем апх~+ амхт+ ... + а~ х = Ь1(апАИ+ а1зАИ+ ... + аыАы)+ + Ьз(апАм+ амАм+ ... + а1»АЯ»)+ ... + Ьл(апА», + а,2А»т+ ... + аь»4»л). Здесь коэффициент при Ь~ равен 0 в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при Ьм ..., Ьл равны нулю как суммы элементов первой строки на алгебраические дополнения других строк, Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные хь хь ..., хл удовлетворяют и всем остальным уравнениям. Тем самым мы доказали теорему о существовании и единственности решения системы и линейных уравнений с и неизвестными ю ненулевым определителем матрицы коэффициентов.
Эта теорема носит название теоремы Крамера. Формулы для решения моисно преобразовать, учитывая, что Ь~ ли ° ° л~л Ьл ам ° .. алл Ь,АИ+ЬЯАи+ ... +Ь»А,»= Ьл влл ° ° ° ллл и аналогично преобразовать остальные числители. Получим лл 0» В» тэ' тэ'''" л в' тде О, есть определитель, матрица которого отличается от матримы определителя В только 1-м столбцом, в который помещены Ьп Ь,, ..., Ьл. Эти формулы носят название формул Крамера. Уаньше мы их получили для и = 2 и и = 3.
9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. Следствие 1, Если известно, что система п линейных уравнений с п неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю. Действительно, если бы определитель был отличен от нуля, то система имела бы решение. Следствие 2.
Если система п линейных уравнений с п неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы мз ее коэффициентов равен нулю. Действительно, иначе система имела бы единственное решение. Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. Однородная система (иезависимо от числа уравнений) всегда имеет решение, состоящее из нулевых значений для всех неизвестных. Для однородных систем представ- мхттицы и оптвделнтяли 1гл. чу 1ОВ ляет интерес вопрос о том, является ли нулевое решение единственным или кроме него существуют другие, нетривиальные„решения.
Следствие Э. Для того чтобы система и линейных однородных уравнений с и неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы определитель матрицы из ее коэффициентов был равен нулю. Действительно, если хотя бы одно нетривиальное решение имеется, то система имеет более чем одно решение, так как нулевое всегда есть. Следовательно, определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю. й 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 1.
Определение и простейшие свойства. Напоминаем, что линейной комбинацией строк (нли вообще матриц) иь им ..., им называется строка (матрица) с1и, + с2иь+ ... + с„,и, где с~ — числа (элементы основного поля). Ясно, что если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация равна нулевой строке. Совокупность строк иь иь ..., и называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты сь сь ..., с, не равные нулю одновременно, такие, что с~и, + сзиз+ ... + с и = 0 (здесь 0 обозначает нулевую строку).
Если же такие коэффициенты не существуют, т. е. из равенства с~и1+ сьиз+ ... +'с и = 0 следует, что все коэффициенты сь сь ..., с равны нулю, то совокупность строк называется линейно независимой. Так, например, строки и~ (1, 1, 1), иь= ( — 1, 2, 1), из= (1, 4, 3) линейно зависимы, ибо 2и1 + из — иь = (О, О, О). А строки и| —— (1, 1), и2 — — ( — 1, 2) линейно независимы, нбо из с|и1+ с2из — — О следует с,— с,=О, с, + 2сз=О, откуда с1 = се= О.
Предложение 1. Для того чтобы совокупность строк была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бн одна из строк была линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть совокупность строк иь иь ..., и линейно зависима. Это значит, что существуют сь сз, ..., с, ие равные одновременно нулю, такие, что с,и|+ сеиз+ ...
+ с и = О Пусть с; ФО. Тогда 1 '1+~ 'а е, ' ''' с с + ''' с Необходимость доказана. Пусть теперь и; = с,и1+ ... +с~ 1и; 1+семи~+~+ ... + с иыТогда с1и|+ ... +с~ 1ш 1+( — 1)ш+стыи+~+ ... +с„и,.=О„ т. е. совокупность иь ..., и линейно зависима. ЛИНЕИНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК !СТОЛБЦОВ) ч з) 109 Другая формулировка этого предложения: Для того чтобы совокупность строк была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы ни одна из строк не была линейной комбинацией остальных. Отметим ец)е некоторые очевидные предложения, касаюц)неся свойств линейной зависимости и независимости.
Ясно, что любая совокупность строк, содерзсащая нулевую строку, линейно зависима. Действительно, нулевая строка есть линейная комбинация остальных строк с нулевыми коэффициентами, Столь же ясно, что всякая совокупность строк, содержащая две равные или две пропорциональные строки, линейно зависима. Далее, если совокупность строк линейно зависима, то всякая ббльшая совокупность будет тоже линейно зависима. Наконец, если совокупность строк линейно независима, то и всякая ее часть линейно независима. П р едл о ж е н не 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
