1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

..., х* ) ~ О, ..., Н,(х"„..., х'„) Ф О, где Н» ..., Нь — некогорьсе отличные ог нуля полиномы аз А[к» ..., х [. Тогда полиномьс Р, и Рт равны формально. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим полипом (Р~ — Рг) Н,, Н,, ,Он равен нулю при всех наборах переменных, так как там, где Н, =,г* О, ..., Н„Ф О, обращается в нуль первый множитель. В силу теоремы о тождестве (Р1 — Рг)Н| ... Нь = О (формальное равенство). Но А[х» ..., х„,[ есть область целостности и Н~~О, ... ..., Н„ФО.

Следовательно, Р~ — РЕ=О, т. е. Р~ = Рв что и требовалось доказать. Установленная теорема оказывается полезной в довольно часто встречающейся ситуации, когда равенство значений двух полиномов удается установить в предположении о необращении в нуль одного пли нескольких полиномов. В силу доказанной теоремы после установления равенства поставленные ограничения автома.тически сннмаютси.

ГЛАВА 1М йтАТРИЦЪ| И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ $1. Матрицы и действия над ннмн 1, Определение матрицы. А(агрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектамн. По большей части мы будем рассматривать матрицы с элементами из некоторого поля, хотя многие предложения сохраняют силу, если н качестве элементов матриц рассматривать элементы ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца.

Чаше всего элементы матрицы обозначаются одной буквой двумя индексами, указывающими «адрес» элемента — первый йпдекс дает номер строки, содержащей элемент, второй — номер столбца. Таким образом, матрица (размеров т Х л) записывается в форме ап ам ... ага А аз ам ° ° ° И ааа а,„,...а Матрицы, аоставлениые из чисел, естественно возникают нрн рассмотрении систем линейных уравнений апх, +а„х, + ... +агах„йн а„,х, + а„зх, + ...

+а„„х„й„. Входные данные для втой задачи — это множество коэффициентов, естественно составляющих матрицу ь, и совокупность свободных членов, образующих матрицу ь„ (немеющую лишь один столбец. Искомым является набор значений неизвестных, который, как оказывается, удобно пред- млтеицы и двиствня нлд ними эн к~ кз состоящей из одного ставлять тоже в виде матрицы к„ столбца. Важную роль играют так называемые диагональные матрицы.

Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равными нулю, кроме элементов главной диагонали, т. е. элементов в позициях (1, 1), (2,2), ..., (и, л). Диагональная матрица кз с диагональными элементами йь ам...

..., з1„обозначается б(ац(йь ам, йа). Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечениях нескольких выбранных строк матрицы А и нескольких выбранных столбцов, называется субматриней для матрицы А. Если а1 аз ( ... ( ал — номера выбранных строк и р1 ( = Рд ( ... ( Р~ — номера выбранных столбцов, то соответствующая субматрица есть аа,а, аа З ''' аа,э а а ...

а айз, айз ' ' азз~ аа З аа З ... а В частности, строки н столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы. Матрицы связаны естественным образом с линейной подстановкой (линейным преобразованием) переменных. Под этим назва« пнем понимается переход от исходной системы переменных хь х„..., х„н другой, новой, уь ум..., у, связанных по формулам| у,=апх, +амх, + ... +а,„х„, уй=них! +а22хз + ... +азах„, у„=а,х, +а,х,+ ... +а „х„. Линейная подстановка переменных задается посредством матрицы коэффициентов ао ам ... а„, ам ам ° .. айа Среди систем линейных уравнений наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных.

Среди линейных подстановок переменных основную роль играют подстановки, в которых число исходных и новых переменных одинаково. В этих ситуациях матрица коэффициентов оказывается квадратной, т. е. имеющей одинаковое число строк и столбцов; это млтгицы и ОПРеделители 1гл, ач число называется порядном квадратной матрицы. Вместо того чтобы говорить «матрица, состоящая из одной строки», и «матрица, состоящая из одного столбца», говорят короче: строка, столбец.

2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Введем в рассмотрение алгебраические действия над матрицами. Рассматриваем матрицы с элементами из некоторого поля К. При этом две матрицы считаются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах. Определим произведение элемента с е= К на матрицу А = са|| ... са|„ сА= сс| -'( .. сала "° сама (для матриц над некоммутатнвным ассоциативным кольцом следует различать два произведения сА и Ас). Для матриц одинакового строения, т. е.

имеющих одинаковое число строк и столбцов, определяется сложение по правилу: если -'"( .. а„+ Ь!, ... а|а + Ь!а А+Вйн ааа + Ь~| ... а~„+ Ь~„ т. е. элементами суммы двух матриц является сумма соответствующих элементов слагаемых матриц. Отметим некоторые свойства действий. 1. (А+ В)+ С = А+ (В+ С) — ассоциативность сложения, 2. А + В = В + А — коммутативность сложения. 3. Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+ О = А при любой А. 4. Для любой матрицы А существует противоположная — А та. кая, что А+( — А) = О. (В качестве матрицы — А, очевидно, следует взять матрицу ( — 1)А, элементы которой отличаются от элементов А знаком.) 5. (с|+ с,)А = с|А+ сдА.

б. с(А|+ Ас)=сА|+сАь 7. с|(с,А) =(с|с,)А. 8. 1 А=А. Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств действий в поле (или в кольпе). Система математических объектов, в которой определено действие сложении и действие умножения на элементы поля К, причем млтяицы и депствня нлд ними эти действия обладают свойствами 1 — 8, называется векторным пространством над полем К. Таким образом, множество матриц одинакового строения с элементами из данного поля К образует векторное пространство по отношению к определенным выше действиям.

В частности, строки данной длины и столбцы данной высоты образуют векторные пространства. Пусть Аь ..., А~ — несколько матриц одинакового строения. Матрица с,А1+ ... + с,„А,„„при с; ев К, называется линейной комбинацией матриц Аь ..., А . Нам придется применять этот термин преимущественно к строкам и к столбцам. Рассмотрим в свете этого понятия систему линейных уравнений общего вида аих, +а„х, + ... +а,„х„=Ьь а„х, +амх, + ... +а,„х„=Ь„ а„„х, + а„„хт+ ... + а „х„= Ь, введя в рассмотрение столбцы из коэффициентов ам а„ ьм а,„ вье А,= йщ2 ь~ ь, и столбец из свободных членов В = ь„, Тогда систему можно записать в виде х~А~+хзАт+ ... +х.А, = В, н ее решение превращается в задачу: даны и столбцов Аь Аь ...

, А„и столбец В; требуется представить столбец В в виде линейной комбинации Аь Ам ..., А„. Как мы увидим дальше, такая формулировка оказывается полезной. ' ' 3. Умножение матриц. Введем теперь действие умножения матрицы на матрицу. Предварительно рассмотрим частный случай: Произведением строки А на столбец В той же длины, ь, ь, А=~он ам ° ., а„), В= ь„ ~ГЛ.

4Ч млтгнцы н огн вдглитвлн называется число а,Ь|+ а2Ьз+ ... + а~Ь. (или элемент кольца, которому принадлежат элементы рассматриваемых матриц). Для прямоугольных матриц А и В произведение определено, если длины строк первого сомножителя А равны длинам столбцов второго сомножителя В, т. е. если число столбцов А равно числу строк В. Именно, произведение АВ матриц А и В составляется нз произведений строк А йа столбцы В, при их естественном расположении в матрицу. Точнее: произведением АВ матрицы А на матрицу В, где а~~ ан ...

ам 6„6„... 6,„ аи чав ° .. ам В 6и~ 6м ° .. 6и~ аш) ап ~ ° . ать 6„6„... 6,„ называется матрица С, элемент со Ьй строки и 1ьго столбца которой равен произведению Ьй строки А на 12й столбец В, т. с. равен сумме произведений элементов Ьй строки матрицы А на элементы 1'-го столбца матрицы В. Таким образом, сн -— — анЬн + а;,Ььч + ...

+ амбы = ~ аыЬ4н а Рассмотрим примеры: 1. (1, 2) ( ) = 1 3 + 2 ° 4 = 11. (5 3)(3 4) (5 !+3 3 3 2+3 4) (14 22)' Последние два примера поучительны тем, что в ннх рассматриваются произведения одинаковых сомножителей, но в разных порядках. Результаты получились различными. Следовательно, свойство коммутативности при умножении даже квадратных матриц не имеет места. Условие, когда произведение матриц определено, а также раз. меры произведения двух матриц удобно изобразить при помощи схематического рисунка. т~ Ясно, что если определены произведения АВ и ВА, то число строк А равно числу столбцов В и число строк  — числу столбцов А.

Оба произведения АВ и ВА будут квадратными матрицами, но разных размеров, если А и В не квадратные. Если А и В млтяипы и лгиствия нкл ними квадратные, то АВ ие обязано равняться ВА, как мы только что видели на примере. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, на/! 2к вываются коммутирующими. Например, матрицы А=~э ) и 'пз 4) В = ( ) коммутируют, нбо АВ = ВА = ( ), Это определение умножения матриц на первый взгляд не ка- жется естественным. Оно становится совершенно естественным, если связать матрицы с линейными подстановками переменных. Пусть А и  — матрицы указанного выше вида. Рассмотрим линейные подстановки переменных с этими матрицами, заметив, что число старых переменных в первой подстановке равно числу новых во второй, что дает основание обозначить их одинаковыми буквами: у, =апх, +а„х, + ...

+аахм = аг!х! + аггхг + ° ° . + аггхп, у = а ,х, + а ,х, + ... + а гхг х! = Ь|А + Ьм1г + ° ° ° + Ь!п1п хг — Ьм1! + Ьгг1г + ' + Ьгп1п хг = Ьы1! + Ьгг1г + ... + Ьпп1п. Покажем, что если эти две подстановкй сделать одну за другой, т. е. выразить переменные у!, ..., у через 1!, ..., 1п, то матрица коэффициентов окажется равной АВ. Действительно, пусть у, =с,!1!+ ... + с,п1п, ут = ст!1! + + стп1п.

Тогда коэффициент сп есть коэффициент при 1; в у!. Выпишем все необходимое для вычисления этого коэффициента: у! =апх, + амх, + ... + аыхп, ° + Ь|!1!+ х,= ... +Ьг!1!+ ..., х„= ... + Ьг!11+ ... При подстановке хь хг, ..., хп в у!, мы получим У!=оп( ° . +Ьг11г+ ...)+ам( . +Ьг!1!+ " )+ ° ° ° +аы(... +Ьг!1!+, ) + (аггЬ!1 + аггбг1 + ' ' + а!гЬИ1) 11 + ° ° ° 1ГЛ, 1Ч млтРицы и опРеделители Таким образом, сн = апЬЦ+ аиЬИ+ ..

+ а,ЬЕИ так что матрица коэффициентов в вырагкениях у,, у через 21, ..., 1„действительно равна АВ. Итак, последовательному проведению («суперпозицин») двух линейных подстановок соответствует произведение нх матриц. Заметим, что линейную подстановку у, =ацх, +а„х, + ... +амхы уэ =а21Х1 +а2 Х2 + ° ° . +а22ХИ у„, =а,х, +а 2х,+ ... +а ьх„ можно записать в матричных обозначениях У = АХ, где а11 а,2 ... а12 22 А= " " "' '", Х= а~а! аа!2 ... ааааа Соответственно, подстановка Х! — Ь!1!1 + Ь12!2+ + Ь!а!а Х2 Ь21~\ + Ь22!2+ + Ьэагаю х =Ь21г1+ Ь„2~ + ...

Характеристики

Список файлов лекций