1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Те о р ем а 7. В алгебраически замкнутом поле любой полинам аех" + а>х"-'+ ... + а,, а«~ О, и.-» 1, имеет разложение на ли- нейные множители вида ае(х — с>) (х — с>) ... (х — с„), и такое разложение единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба утверждения теоремы будем дока- зывать методом математической индукции по степени полннома. Начнем с доказательства возможности разложения. Полипом первой степени аех+ а> при а„-ь О в любом поле имеет корень а> с= — —, и аох+ а> = ао(х — с). ао Пусть теперь п ) 1. В силу алгебраической замкнутости 1(х) имеет по крайней мере один корень с, ~ й н, следовательно, 1(х) = = (х — с ) ! > (х), где 1> (х) = аех'-> + (> >х"-' + ...
+ (> „> — полипом (п — 1)-й степени. В силу индуктивного предположения 1>(х)= = ае(х — сз) ... (х — с„), откуда ((х) = ао(х — с>) (х — с,) ... ... (х — с„). Теперь докажем единственность разложения, снова по индук- ции. При п = 1 она очевидна: если а,х+ а> = а«(х — с) = = а,(х — с'), то ао(с' — с) = О, откуда с'= с, нбо а«Ф О.
Пусть теперь и ) 1 и имеются два разложения: 1(х) =а,(х— — с,)(х — с,)... (х — с„)=а,(х — с',)(х — с,') ... (х — с„). Поло>кап х = с>, получим Цс,) =О =а,(с, — с',)(с, — с,')... (с, — с„'). Из равенства нулю произведения заключаем о равенстве нулю одного из сомножителей. Так как а»ФО, должен обращаться в нуль один из следующих сомножителей н, без нарушения общности, можно считать, что с, — с', = О, иначе можно изменить нумсрацню элементов с'„с,', ..., с„'. Итак, с, = с, и ар(х — с,)(х — с ) ... (х — с„) =ад(х — с,)(х — с') ...
(х — с„'). РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТРЕТЬЕН И ЧЕТВЕРТОИ СТЕПЕНИ Я о в Так как кольцо полиномов над полем есть область целостности, можно сократить обе части равенства на х — сь Получим ао(х — с ) ... (х — с ) = во(х — со) ... (х — с„). В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают. Следовательно, совпадают и исходные разложения 1(х), Теорема доказана полностью. Среди сомножителей в разложении 1(х) ао(х — с~) (х — со) ... (х — с„) могут быть равные. Соединив их в виде степеней, получим разложение в виде 1(х) =а,(х — с,)'" ... (х — сь)'"ь, где сн ..., сь уже попарно различны.
Ясно, что сь ..., Сь ЯвлЯютсЯ коРнЯми полинома 1(х) и ДРУгих корней 1(х) в поле К не имеет. Показатели гп1 ..., ть называются кратностями соответствующих корней. Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности 2 — двойными или двукратными, и т. д. Из последней формы разложения полинома на линейные множители следует, что в алгебраически замкнутом поле число корней полинома равно его степени, если условиться считать каждый корень столько раз, какова его кратность. 2 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени Этот параграф имеет скорее историческое, чем научное значение. Правила решений алгебраических уравнений первой н второй степени были известны еще в античные времена.
Для уравнений более .высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения уравнений частных видов. В 16-м веке в Италии несколькими математиками одновременно был открыт способ алгебраического решения кубических уравнений. Оа был опубликован не первооткрывателем метода, но выдающимся разносторонним ученым Кардано, имя которого известно теперь каждому автомобилисту и трактористу, так как Кардано изобрел простое и практичное приспособление для передачи вращения с одного вала на другой, не жестко скрепленный с первым.
Ученики Кардано обнаружили, что решение общего уравнения четвертой степени можно свести к решению кубического уравнения и нескольких квадратных. 1. Алгебраическое решение уравнений третьей степени. Общее кубическое уравнение имеет вид аох'+ а,х'+ аох+ ао = О. пРостейшие сВедения ОБ АлГеБРе полиномоВ [гл. ш Мы будем считать, что коэффициенты — комплексные числа, и задача состоит в отыскании комплексных корней. Без нарушения общности можно считать, что аа = 1, ибо азу О и на него можно поделить обе части уравнения. Сделаем замену к=у — — '. Поз лучим (у З ) +аз(у З ) +аз(у З )+аз=о и ра скрывая скобки и приведя подобные члены, придем к уравнению аз у + (а~ 3 )у+ (ззз 3 + 27а ~ =О. аз азаз 2 з Обозначив а, — — =р, аз — — + — а', =з7, придем к урав- 27 нению аз+ рз= — д Зар = — р.
,3 Возведем второе уравнение в куб: а'р'=- — 27. Мы получили, что для аз и рз известны сумма и произведение. Поэтому числа аз и рз находятся как корни квадратного уравнения ,з аз+да — р =О, 27 откуда а /7' 'Рз аз /зз з аз= + ' + 3/ 4 27' Ч Ч Р Ч 2 ~/ 4 27 ' У 2 . Ч 4 27 ' Для у получается так называемая форлзула Кардано: у +ру+У=О. Для дальнейшего исследования нужна следуюшая элементарная лемма: существует пара чисел а н р с наперед заданными суммой а+ р = а и произведением ар = Ь. Именно, эти числа являются корнями квадратного уравнения гз — аз+ Ь =О.
Положим теперь у = а+ р. Уравнение примет вид аз+ Зазб+ + За(зз+ ~)3+ р(а+ ())+ а = О нли из+ рз+ (Зи() + р) (а+ (4)+ +д=о. Положим Заб + р = О. Тогда а'+ Рз+ з7 = О. Ясно, что если аз+ рз+ д = О и Зар+ р = О, то у = а+ р будет удовлетворять уравнению уз+ ру+ У=О. Таким образом, нам нужно решить систему ая вешания хвхвнанин тввтьви и четвввтои степени бз Для каждого из кубических корней в поле комплексных чисел имеются трн значения и для обоих корней имеется девять комбинаций.
Однако из них нужно сохранить только те, для которых ар= — —, т. е. брать (! = — ~ . Обозначим через в1 и вз пер- Р за . ~~з вообразные кубические корни из 1, т. е. в, = — — +! —, в = . ч~з = — — — 1 — . Пусть а~ и р, — одна подходяптая пара значений 2 2 для а н р. Остальные значения для а будут а|в1 и а~вм соответствуюптие значения для р будут р1в~ н р1вь Поэтому формула Кардано дает три корня уравнения: у =а~+()о ух=а,в, + (),в,, у,=а,в,+ )),во П ри мер 1. уз+(3 — 3!)у+( — 2+ 1) = О.
у = ~/ 1 — — + ~1 — — ) + (1 — 1)' + 2 ~/~ 2) +ф —,' —,~ф -Я'+(! —.) = '~/ 1 — — + ~/ — — — 31+ '~~ 1 — — — ~/ — — — 31=" 2 )/ 4 Ч 2 "7 4 з/ ! (з 1 а/ ! (з /1 — — + (-1 — 11+ /1 — — — (-1 — 1) = ='~Ус + ~У2 — 2!. При извлечении кубических корней нужно помнить, что их произ- ведение должно равняться — ' — = — 1+1. Поэтому, взяв для пер- Р вого корня значение — 1, для второго нужно взять — 1 — 1. Корни данного уравнения суть: у1 = — 1+( — 1 — 1) = — 1 — 24, l чГз у~= — (в, +( — 1 — Х) в~= — +1 — + 1)1, 2 (, 2 уз (в2+( 1 е)в! +( + 1)!.
чрез П р и м е р 2. уз — 9у + 28 = О. у = '1/ — 14 + !/14' — 3'+ )/ — 14 — т/14' — 3' = = )',~ — 14+ 13 + )7 — 14 — 13 = ф — 1+ )У-27. 64 пРОстеишие сведения ОБ АлГеБРе полииОмов [ГЛ П! Нужно помнить, что произведение кубических корней должно рав- няться — — =3, так что, взяв для первого корня значение — 1, Р для второго нужно взять — 3. Корни данного уравнения суть: у,= — 1 — 3= — 4, уг = — аг! — Зазг = 2 + ! .1/3, уз = азг За!! = 2 — ! 1/3. Данный пример решился очень благополучно, что является скорее исключением, чем правилом, как будет видно из дальней- шего исследования. 2. Исследование фбрмулы Кардано.
Проведем исследование формулы Кардано в предположении, что коэффициенты р и 17 уравнения уз+ ру+ д = О являются действительными числами. Из вида формулы з/ / , , з/ ='ч — -+ ц — + — +'ч — — — ц — +— 2 7 4 27 Ч 2 '7 4 27 чз Рз ясно, что знак выражения 4 + — должен оказывать существен- ное влияние на характер корней уравнения.
Рассмотрим три случая. Случай 1. — + — ) О. В этом случае числа — — + Ч Р 27 2 /Чз з /4 гз + т/ — + — и — — — т/ — + — оба действительные н они 4 27 2 ~/ 4 27 различны. Если значение а, первого кубического корня взято дей- ствительным, то и для второго корня нужно взять тоже действи- тельное значение 111, так как их произведение должно быть дей- ствительным числом — —. Таким образом, в этом случае корни Р будут у! — — а!+ р1, а!+р, а,— а! .
1- у, = , , + б,ы, = — , + ', ' ~/3, Уз=а!азг+Р!аз!= — 2 — 2 !.УЗ. а,+й! а,— р! Следовательно, у! — действительный парень, у, и у, — комплексно сопряженные не действительные корни, ибо а! Ф 11!. чз Рз Случай 2. — + — =О. В этом случае числа — —, + 4 27 2 / з Лз /ч' + !1/ — + —. и — — —,т/ — + — действительные, но равные. Ч 4 27 2 М 4 27 Действительному значению а, первого кубического корня должно соответствовать действительное же значение 11! второго, и на этот раз и! —— р!. Комплексные же значения кубических корней нужно пРОстнишие сведвния ОВ АЛГБЕРБ полиномОЕ 1гл. и1 Итак, гдей=О, 1,2.
Все три корня оказываются действительными и, как нетрудно видеть, попарно различными. Интересно отметить, что в этом, казалось бы, самом лучшем (в смысле действительности корней) случае комплексные числа появляются по существу, и это было одним нз стимулов введения комплексных чисел в математику. Рассмотрим еще примеры. П р и и е р 3. уз — 9у+ 8 = О.
Здесь имеется бросающийся в глаза корень у = !. Посмотрим, что дает формула Кардано у Ф вЂ” 4+ !/(6 — 27+~/ — 4 —.~/!6 — 27= =''т' — 4+ 1-~/1! + т' — 4 — 1.т/! !. Ничего похожего на число ! мы не видим. Однако если знать, ум! з что — 4+ 1 1/(! =~ ! (о чем нетрудно догадаться, заранее зная, что исходное уравнение имеет корень !), то получим 1 — З/й! 1+1«/й! У~= + 2 2 1 — 1 1~И! 1+1«1и! 1 ч/33 0)~ + й»= + — у-, 1 — 1ч/й „+ 1+!А/и „! ~~зз "3 2 "» 2 "! 2 2 В случае, когда все три корня вещественны, можно доказать, что при алгебраическом решении уравнения третьей степени из-' влечение кубического корня из комплексного числа неизбежно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
