1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Легко проверяется коммутативность и ассоциативность сложе- ния и умножения и дистрибутивиость умножения со сложением. Далее, ясно, что (а, О, ..., О, ...)+(Ь, О, ..., О, ...) = (а+ Ь, О, ..., О, ...) и (а, О, ..., О, ...)(Ь, О, ..., О, ...)=(аЬ, О, ... ..., О, ...), и, более общо, (а, О, ..., О, ) (Ьо, Ь~, ..., Ь», ...) = (аЬо, аЬ!, ..., аЬ», ...), 1Ч. а ~ А отождествляется с последовательностью (а, О. ...,О, ...). Легко проверяется, что аксиома 1Ч не находится в противоре- чии с первыми тремя.

Рассмотрим теперь последовательность (О, 1, О, ..., 0,,), обозначив ее буквой х. Тогда х' = (О, О, 1, О, ..., О, ...) и т. д. Поэтому (ао, аь аь ..., а„О, ...)=(ао, О, О, ...О, ...)+ +(О, а|, О, ..., О, О, ...)+ ... +(О, О, ..., а„, О, ...) = =по+ а|(0, 1, О, ...)+ а»(0, О, 1, О, ...)+ ... .;. + а„(0, О, ..., 1, 0 ...) = ао+ а|х+ а»х~+ ... + а,х". Таким образом, нам удалось построить элементы кольца поли- номов.

2. Высший член и степень полинома. Пусть 1(х) = аох~+ + а|х"-'+ ... + а„, причем а, ь О. Одночлен а,х' называется высшим члено|и полинома 1(х) и показатель и называется .ге- леною 1(х) и обозначается дед~. Нулевой полипом не имеет выс. ва пгостаишна сввдвния ов алгавгв полиномов [гл. гп щего члена в смысле данного определения и считается, что он равен О. Степень нулевого полинома условно считается равной символу — оо.

Предположим теперь, что кольцо А есть область целостности, т. е. что произведение двух элементов из А может равняться нулю, только если один из сомножителей равен нулю. Пусть даны два пол ином а 1(х) = аох" + а 1х"-' + ... + а„и и(х) Ььх +Ь|х -'+ ... +Ь из кольца А1х], причем аь~О и Ььчь О, Тогда произведение )(х)д(х) содержит ненулевой одно- член аьх" Ьох'" = аьЬьх"+", который будет, очевидно, высшим членом для )(х)у(х), ибо остальные произведения членов 1(х) на члены п(х) имеют меньшую чем н+ т степень. Отсюда непосредственно следует справедливость следующей важной теоремы: Теорема 1.

Если кольцо А есть область целостности, то кольцо нолиномое А 1х) — тоже область целостности. В частности, кольцо полиномов над полем есть область целостности. Из формы высшего члена произведения двух ненулевых полиномов следует, что степень произведения двух полиномов (над областью целостности) равна сумме степеней сомножителей. Это свойство сохраняется и в случае, когда один или оба сомножителя равны О, если только условиться в правилах: ( — ьь)+( — оо)= = — оо, ( — со)+ Ь = — оь при любом Ь. 3. Степени элемента а ассоциативном кольце.

Пусть  — некоторое ассоциативное кольцо и а — его элемент. Введем в рассмотрение степени а с натуральными показателями согласно следующим определениям: а' = а, а' = а а, а' = аз а, ..., а" = =а" — 'а. Здесь степени определяются одна за другой и й-я степень определяется после того, как (Ь вЂ” !)-я уже определена. Определения такого типа называются индуктивными.

Теорема 2. Принатуральныхй и т имеет место азам = аз~"„ Доказательство. Если т = 1, утверждение теоремы верно согласно определению. При т > 1 обратимся к методу математи. ческой индукции, допустив, что утверждение верно при сумме показателей, меньшей й+т, Итак, пусть т) 1. Тогда ам = а -'а и аьи~ = аь(а -'а)=(а"а -')а в силу ассоциативности.

Далее, аьа -' = а~+ -' в силу индуктивного предположения и, наконец, (а'+ -') а = а~+ в силу определения степени, что н требовалось доказать. Из теоремы следует, в частности, что а' = аза = ааз, аа = а'а = азиз = а а' и т. д. Степени элемента а коммутируют при умножении, ибо аь ам = а'+'" = а"'~ь = а'".а'. 4. Значение полииома.

Пусть  — ассоциативное кольцо, содержащее кольцо А в своем центре, т. е. элементы кольца А коммутируют со всеми элементами из В, н пусть единицей кольца В полнномы от однон втквы ап является единица кольца А. Б частности, кольцо В может совпа. дать с кольцом А. Пусть с он В и пусть дан полинам [(х) = аох" + а1х"-'+ ... ... + а Значением полинома [ в с (нли, с некоторой вольностью. языка, при х = с) называется элемент ](с)= аос" + а1с"-'+ ...

+ а„ кольца В. Легко получаются следующие свойства: если Р(х) =(,(х)+)о(х), то г" (с) =(с)+~о(с) если Ф (х) = ~, (х) (о (х), то Ф (с) = ~, (с) Го (с). Действительно, для одночленов это очевидно, а действия над полиномамн определяются через действия над составляющими нх, одночленамн. Из сказанного следует, что значения полиномов из А[х] в одном и том же элементе сев В коммутируют прн умножении, н их множество, обозначаемое через А[с], есть коммутативпее подкольцо ассоциативного, но не обязательно коммутативного кольца В.

5. Схема Харпера и теорема Безу. Если для полнномов г(х) и п(х) из А[х] существует такой полинам Ь(х)он А[х], что ((х)= =д(х)Ь(х), то говорят, что полипом ((х) делится на полнном п(х). Наша ближайшая задача заключается в выяснении вопроса о делимости Цх)енА[х] на линейный двучлен х — с при с~А. Прежде всего установим, что всегда осуществимо так называемое деление с остатком: ](х)=(х — с)Ь(х)+ г при генА. Здесь полипом Ь(х) называется неполным частным, а г — остатком.

Теорема 3. Пусть [(х)=аох" +а,х"-'+ ... +а„онА[х] и ся А. Найдутся полинам Ь(х)я А[х] и элемент генА такие, что г (х) = (х — с) Ь (х) + г. До к аз а тельство. Естественно искать Ь(х) в форме Ьох"-' + Ь|х"-' + ... + Ь„ь Сравнение коэффициентов показывает равносильность равенства аох" + а1х"-' + ... + а„ = =(х — с) (Ьох"-'+Ь1х"-о+ ... +Ь, 1)+ г цепочке равенств ао = Ьов а =Ь вЂ” сь, ао = Ьо — СЬн а„, = Ь„, — сЬ„„ а„= г — сЬ„ 58 пРОстейшие сВедения ОБ АлГеБРе пОлииомОВ !Гл.

Ги откуда последовательно определяются коэффициенты й(х) и оста- ток г: Ьо = ао. Ь, =а!+ сЬо, Ьо — — аз+ сЬ1, Ь„! —— а„, + сЬ„м г=а„+ сЬ„Р Теорема доказана. Кроме того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов й(х) и остатка г. Этот способ носит название схемь! Хорнера. Заметим сразу, что остаток г равен значению ((с) полинома 1'(х) при х = с. Действительно, переходя в равенстве Г'(х) = = (х — с)й(х) + г к значениям при х = с, получим 1(с)= = (с — с) й(с)+ г, откуда г =1(с). П р н мер, Найти неполное частное н остаток при делении полинома хо на х — 2.

Выпишем последовательно коэффициенты полинома хо и, после вертикальной черты, число 2: 100000!2. Под этой строкой запишем коэффициенты неполного частного и остаток, пользуясь только что выведенными формулами: ! 000 0 012 1 2 4 8 16 32 (остаток — подчеркнутое число). Итак, хо = (х — 2) (х'+ 2х'+ 4хо + 8х+ 16) + 32. Теорема 4 (Безу). Для того чтобы полинам Цх)ЕИ А[к) делился на х — с, необходимо и достаточно, чтобы ~(с) = О. Доказательство. Необходимость. Пусть ((х)' делится на х — с, т. е.

)(х) =(х — с)й(х). Тогда ((с)=0. Достаточность. Пусть Цс)=0. Тогда в равенстве Г(х)= =(х — с)й(х)+ г будет г = Г(с) = О, т. е. !'(х) =(х — с)й(х). Теорема доказана полностью. Элемент с кольца А называется корнем полинома !(х), если ((с)=0. Таким образом, теорема Безу может быть сформулирована так: для того чтобы полинам )'(х)~ А(х) делился на двучлен х — с при с~ А, необходимо и достаточно, чтобы с было корнем Г(х). 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. Л ем м а. В области целостности возможно сокращение в равенстве, т. е. Вз аЬ = ас при а ~ 0 следует Ь = с.

полинОмы От ОднОЙ БукВы Действительно, равенство аЬ = ас равносильно равенству а(Ь вЂ” с) = О. Так как а ныл и мы оперируем в области целостности, должно быть Ь вЂ” с = О, т. е. Ь = с. Теорема 5. Пусть [(х) = а х" +а х'-'+ ... + а„— полипом из А[к], где А — (коммугагивная) область целостности. Тогда число корней [(х) в А не превосходит его степени п. Доказательство. Применим метод математической индукции по степени полинома. База для индукции имеется — полнном аь ~ 0 нулевой степени не имеет корней. Допустим, что и ) 1 и что теорема доказана для полиномов степени и — 1, и в этом предположении докажем ее для полинома [(х) степени и.

Если [(х) не имеет корней в А, то утверждение теоремы верно. Пусть корни есть н с, — один из корней. Тогда 1(х) =(х — с,)й(х), где Ь(х) = аьх"-'+ Ь1х" — У+ ... ... + Ь„ , ен А [х]. Если сз — какой-либо корень [(х), отличный от сь то 0 = = 1(сл) =(сч — с,) 6(сх), но сч — с1 чь О, следовательно, й(с,) = О. Таким образом, любой корень [(х), кроме сь является корнем полинома й(х) степени и — !. В силу индуктивного предположения этот полипом имеет не более и — ! корней в А и, следовательно, [(х) имеет не более п корней, что и требовалось доказать.

Заметим, что предположение о том, что кольцо А есть область целостности, здесь существенно. Так, в кольце вычетов по модулю 8 полипом х' — 1 имеет 4 корня: 1, 3, 5, 7. 7. Теорема о тождестве. Пусть, по-прежиему, А — коммутативная область целостности н А[х] — кольцо полиномов над А, Те ор е м а 6 (о тождестве). Если А содержит бесконечно много элементов, то два полинома 1,(х) и [,(х), принимающие одинаковь~е значения при всех с ~ А, равны.

Доказательство. Допустим, что разность Р(х)=!1(х)— — ~ь(х) отлична от пуля, так что Р(х) = аьх" + а,х"-'+ ... + а„ при а, ~ О, Возьмем попарно различные элементы сь с,, ..., с,э, кольца А. Тогда, в силу условия теоремы, (~(с~) =[ь(с~), [1(сг) = — 6(сг) [1(с н) — Й(с -н), так что полипом и-й степени Р(х) имеет более чем п корней: с~, сь ..., с„„ь Это невозможно. Следовательно, Е(х) = 0 и [~(х) = [л(х), что и требовалось доказать. Здесь было существенно, что кольцо А имеет бесконечно много элементов. Так, если А = бГ(5) есть поле вычетов по модулю 5 и . [1 (х) = х'+ х'+ 2х'+ х+ 1, [ч(х) = х" + 2хз+ 2х+ 1 — поли- номы из А [л], то [~(0) = 16(0) = 1, 11(!) =16(1) = 1, 11(2) = [ч(2) = 4, [, (3) = [г(3) = ! [1 (4) = Рь (4) = 2.

Полиномы [1 (х) и '[ь(х) принимают одинаковые значения при всех элементах кольца А, и тем не менее они различны, Их разность хь — х есть отличный 'от куля валином, все значения которого в А равны О. 8. Алгебраически замкнутое поле. Поле К называется алгебраически замкнутым, если любой полипом [(х)вне([х] выше чем 60 пгостепшне сведго>ия ов ллгевгв полиномов >гл. гп нулевой степени имеет по крайней мере один корень в поле К. В дальнейшем будет доказана так называемая «основная теорема алгебры», утверждающая, что любой полипом с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный ко- рень.

Инымн словами, основная теорема алгебры утверждает, чзо поле .С. комплексных чисел алгебраическн замкнуто. По существу, эта теорема принадлежит скорее к математическому анализу, чем к а>тгебре, так как для ее доказательства нужно привлечение средств анализа. Она будет доказана в гл, 1Х, Другие знакомые нам поля не замкнуты алгебранчески. Так, в поле () рациональных чисел полипом х' — 2 не имеет корней, в поле Р действительных чисел не имеет корней полнном хе+ 2. Нетрудно установить, что поля Ог (р) вычетов по простым моду- лям тоже не алгебранческн замкнуты.

Характеристики

Список файлов лекций