1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Вычитание и деление комплексных чисел. Действия вычвтания и деления определяются как действия~ обратные к действиям сложения н умножения, т. е. вычитание — как действие, восстанавливающее одно из слагаемых по данной сумме н второму слагаемому, а деление — как отыскание одного нз сомножителей по данному произведению и второму сомножителю.

Их возможность и единственность обосновывается следующими предложениями. Э 2! ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 31 Предло же н не 1. Пусть а и р — данные комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число х такое, что а+ х = р, именно, х = ( — а) + р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем а + (( — а)+ р) = а + ( — а) + + р = р, так что х = ( — а) + () удовлетворяет поставленному тре- бованию. Обратно, если а+ х = (), то ( — а)+а+ х =( — а)+(3, рткуда х =( — а) + (), так что' всякое число, отличное от ( — а) + р, ие удовлетворяет поставленному требованию.

Число ( — а) + р 'есть, таким образом, разность чисел р и а. Она обозначается обыч- ным образом: р — а, Предложение 2. Пусть а и () — данные комплексные числа, 'иричем а ~=0. Тогда существует одно и только одно комплексное Число х такое, что ах = р, ил!енно, х = а-!(). Доказательство.

Если к=а 'р, то ах = аа 7р = (). Если (зх = р, то а-'ах = а-!р, х = а-!(), что и требовалось доказать. Число а-!() есть, таким образом, частное от деления () на а. Частное обычно записывается в форме дроби — . Ясно, что если !Ях = р, то при любом у чь0 будет уах = ур, откуда х = †, татр Ти ()им образом, числитель и знаменатель дроби можно умножать на идно и то же число, отличное от О, Удобно фактически вычислять частное —, умножая числитель а ' )! знаменатель на число, сопряженное со знаменателем: — ==, р ра и ад' так как аа есть вещественное число.

Например, 1+ 3! (1+ 3!) (1 — !) 4+ 2! 1+! (1+!) (! — !) 2 Конечно, этот способ равносилен представлению числа а-' в 1 )тиде =а, указанном выше для а = а+ Ь!. аа $2. Тригонометрическая форма комплексного числа 1. Геометрическое изображение. Комплексное число а = а+ + Ь( естественно изобразить точкой на плоскости, приняв числа а и Ь за координаты точки, изображающей число а. Прн этом каждому комплексному числу соответствует точка и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число.

Вещественйые числа изображаются точками с равными нулю ордниатами, т. е. точками, лежащими на оси абсцисс. На оси ординат располагаются изображения «чисто мнимыхь чисел Ь!. Началу координат соответствует число О. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, наРывается плоскостью комплексной переменной. Ее ось абсцисс иаВывается вещественной осью, ось ординат — мнил!Ой осью в соот- ~гл. и зг комплексные числа ветствии с наименованиями'чисел, изображения которых лежат на этих осях. Наряду с изображением комплексных чисел точками на плоскости удобно с каждым комплексным числом связывать вектор, исходящий из начала координат в точку, изображающую это число (т.

е. радиус-вектор этой точки). Компоненты а н ь комплексного числа а + И являются, очевидно, проекциями (алгебраическими, с учетом знаков) этого вектора на осп координат. Как известно, проекция суммы векторов (в смысле векторного сложения) на любую ось равна сумме проекций слагаемых. Поэтому сумма векторов, изо. бражающих комплексные числа а и р, есть вектор, изображающий сумму сс+ й этих чисел, так как компоненты числа а + () равны суммам соответствующих компонент слагаемых (рис. !). 2. Модуль и аргумент комплексного числа.

Введем в рассмотрение полярные координаты точки, изображающей комплексное число а, принимая начало координат за полюс и вещественную ось за полярную ось (рнс. 2). Как известно, полярными координатами точки являются длина ее радиус-вектора, равная расстоянию от точки до полюса, и величина ее полярного угла, образованного положительным направлением полярной оси и радиус-вектором рассматриваемой точки. Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число а, называется модулел этого числа и обозначается (и). Ясно, что )а))О, причем (сг!=О только, если а=О.

Величина полярного угла точки, изображающей иомплексное число а, называется аргументом этого числа и обозначается агд а. Заметим, что агфа имеет смысл лишь при аФО, аргумент числа О р„с 2 смысла пе имеет. Положительным направлением отсчета аргумента комплексного числа считается направление от положительной полуоси вещественной оси к положительной полуоси мнимой оси, т. е. против часовой стрелки при обычном расположении осей.

Аргумент комплексного числа определен не однозначно, так как угол между двумя направленвями (даже если выбрано положительное направление отсчета) можно отсчитывать многими способами. Уточним характер многозначности аргумента. Пусть ~р~— наименьшее значение аргумента, отсчитанное в положительном направлении. Сделав прн отсчете несколько полных оборотов в положительном направлении, мы придем к значению аргумента э, + + а 2п, где й — число полных оборотов, т. с.

целое неотрицательное число. Простейший отсчет в отрицательном направлении дает, $ э> тгигономвтгичвскхя эогмх комплвксного числа зз очевидно, значение аргумента — (2п — ~р,) =- р« — 2п (рис. 3). Если же сделать еще з полных оборотов в отрицательном направлении„ мы придем к значению ~р,— (э+1)2п, з ) О. Тем самым все возможные значения аргумента даются формулой; р = ~рз+ 2яп, где й — любое целое число, положительное, отрицательное или О. Таиим образом, данному комплексному числу, не равному О, можно соотнести в качестве аргумента бесконечное множество чисел, правда, очень просто связанных между собой, именно, любые два значения аргумента отличаются на целое кратное 2п.

Разумеется, многозначности аргумента можно было бы избе>кать, наложив на аргумент ка- 11> кие-либо требования, выделяющие одно значение из всех возможных, например, О (Ч> (2п или — п(~р(п. Однако это оказывается ие- . ха удобным, особенно при изучении функций ог комплексной переменной. Пусть, например, комп- рис 3. лексное число х+у1 изменяется так, что его изображение описывает в положительном направлении окружность с центром в начале координат, начиная, например, с точки 1 и возвращаясь в ту же точку (рис, 4). Если бы мы пало>кили ограничения на аргумент: 0~<р(2п, нам пришлось бы считать, что при подходе к точке 1 аргумент скачком переходит от значений, сколь угодно близких к 2п, к значению О, и это неестественно.

Естественно считать, что аргумент изменяется непрерывно, но когда х+у> возвращается в исходную точку, его аргумент получает приращение, равное 2л. Впредь, говоря об аргументе комплексного числа, мы будем подразумевать какое-либо его значение, безразлично какое. Если же возникает необходимость выбирать определенное значение, это приходится делать при помощи надлежащего описания (например, «возьмем наименьшее неотрицательное значение аргументами).

3. Тригонометрическая запись комплексного числа. Модуль г = (а! и аргумент и> = агп а комплексного числа а = а+ Ь( связаиь> с его компонентами при помощи формул а=гсоз~р, Ь = гя(пч>. Эти формулы непосредственно следуют из определения функций соз и яп любого угла. Ясно, что г ~/Р+Ь', созя>= ~, япЧ> г Ь = —. Эти формулы определяют модуль и аргумент по данным а и Ь.

Для определения аргумента можно пользоваться формулой Ь вЂ” прн ачьО. Однако эта формула задает ~р лишь с точно- КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. м стью до целого кратного п (т. е. полуоборота), а ие до целого кратного 2Л. Это заставляет дополнительно выбирать из двух значений «р в противоположных четвертях одно, по знаку сову (или 5!пф), совпадающему со знаком а (соответственно Ь).

Подставляя вместо компонент комплексного числа а = а+Ь« нх выражения через модуль и аргумент, получаем а = 1'(С05 ф+ 151П ф). Такая форма записи комплексного числа называется тригонометриЧЕСКой. Примеры: 1=1(со50+151п 0), — 1 = 1 (соз л + ! 5!п и), '=1(соз — "+15[и — ).

2 1 — «=у2(сов( — 4 ) +15[0 ( — 1)), 3+ 41=5(сов ф+1 5[И «р), з где «р †уг первой четверти, косинус которого ранен — . 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух ком- плексных чисел. Имеют место следующие неравенства: а) ! а + б !» ! а ! + ! ([ ), Ъ) !а — [3 3(! а!+ (й3, с) ! а + р ! ~ ! а ! — ! [[ )„ «!) (а — Р!)!а! — !й!. Этн неравенства удобны для оценивания модуля суммы н модуля разности комплексных чисел, т.

е. для указания границ их изменения, если известны границы для модулей слагаемых. Неравенства а) и Ъ) применяются для оценивания сверху, неравенства с) и «[) дают оценки снизу. Докажем прежде всего неравенство а). Пусть а = г, (соз «р« +15!и ф«), !3 ~ г2(соз «р2+15!и ф2) (здесь г« = ! а ~, г2 = ! р ! ) . Тогда а + р = г« соз ф« + г2 соз «р2 + 1 (г« 5! и «р, + + г2 сбп «р2), откуда [а+ Р! = (Г« с05 ф«+ Г2соз «Р2) + (г«51п ф1+ Г251п ф2) = г2 соз2«р + 2г,г соз ф, соз «р + г2 Со5 «р« + г« 5!и ф« + + 2Г,Г 5!П ф« 5!П ф, + Г2 5!П ф = Г, (С05 ф«+ 51П2ф«) + + 2Г«Г2 (Соз ф« Соз ф2+ 51П ф« 51П ф2) + Г2 (Соз фг+ 51П ф2) = = Г', + 2Г«Г2 соз (ф« — ф2) + Г2.

ям . тгнгономвтгнчвскхя фовмл комплвксного числа 35 !а+ р ! !!а! — !!) !!, ! а — (3 ! «! ! а ! — ! !з ! !. Их справедливость почти очевидна. Действительно, !и+ ()! « «!а! — )р! и !а+ р!«)р! — !а!. Правые части отличаются знаком и, выбрав из них положительную, придем к неравенству с'), Неравенство Й') следует из с') после замены р на — О. Неравенство а) очевидным образом обобщается на сумму нескольких слагаемых: (и1+а»+... +а»!(!а,!+!а»!+... +!а»!. Но соз(<р1 — ~рз)( 1. Позтому (а+р!»(г',+ 2г,г + г~=(г, + г )', откуда в силу положительности (а+р! и г1+ гз заключаем, что )а+ р! ~ г1+ г, = !а!+(р(, что и требовалось доказать. Для доказательства неравенства Ь) заметим прежде всего, что (р! = ! — р!.

Характеристики

Список файлов лекций