1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Перемножая эти равенства, получим после очевидных преобразований а|пои,иг+ Ь1а|и,ог+ агиго, + Ьо|ог) = 1, откуда, в силу того же предложения, числа а|аг и Ь взаимно просты, ибо и|и, и а,и,о, + аги,о, + Ьо|ог — целые числа. Предложение 7, Если целые числа а|, аг, ..., по все взаимно просты с Ь, то произведение а|аг ... аг тоже взаимно просто с Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Применим метод математической индукции. При Ь = 2 предложение верно в силу предложения 6. Допустим, что оно верно для произведения Й вЂ” 1 множителей, и в этом предположении докажем его для й множителей. Запишем а,а, ... а, как а,1аг ... а,). Первый множитель а| взаимно прост с Ь по условию.
Второй аг ... аь взаимно прост с Ь в силу индуктивного предположения. Следовательно, мы можем применить предложение 6 и заключить, что а,аг ... а, взаимно просто с Ь, что и требовалось доказать. Предложение 8. Если целые числа а|, ..., ал и Ьг, ..., Ь таковы, что каждое число аь г = 1, ..., й, взаимно просто с каждым числом Ьь !'= 1, ..., |и, то их произведения а| ... аг и Ь| ... Ь взаимно просты. Д о к а з а т е л ь с т в о. Применив т раз предложение 7 к числам а,, ..., а„и Ьь !' = 1, ..., т, получим, что числа Ь„..., Ьм взаимно просты с числом а| ...
а,, Применяя еше раз предложение 7, получим, что Ь| ... Ь„взаимно просто с а| ... ам что и требовалось доказать. П р едл о же и и е 9. Если целые числа а и Ь взаимно просты, то при натуральных й и т числа а" и Ь тоже взаимно просты. Для доказательства достаточно в предложении 8 положить а, = ... = а, = а, Ь! = ... =- Ь„= Ь. П р едл о ж е н и е 10. Если произведение аЬ двух целых чисел а и Ь делится на целое число с и первый множитель а взаимно прост с с, то Ь делится на с. Доказательство, По условию а и с взаимно просты, так что сушествуют целые ио и оо такие, что аио+ соо — — 1. Умножив это равенство на Ь, получим аЬио+ сЬоо = Ь.
Первое слагаемое левой части делится на с по условию, второе делится на с тривиальным образом. Следовательно, и их сумма Ь делится па с, что и требовалось доказать. Предложение 1!. Если целое число а делится на целые взаимно простые числа Ь, и Ьг, то а делатся и на их произведение. До к аз а тел ьс тво. Пусть а = Ь,с при целом с. По условию а делится на Ьь а Ь| взаимно просто с Ь,. Следовательно, согласно предложению 8 число с делится на Ь,, т.
е. с = Ьгт прн целом т. Поэтому а = (Ь|Ьг) т, что и требовалось доказать. таоэия делимости целых чисел 1З установленные предложения очень просты и кажутся почти тривиальными. Тем не менее из них можно вывести некоторые не совсем тривиальные следствия. Выведем, например, что степень с натуральным показателем дробного рационального положительного числа не может быть целым числом. Действительно, пусть а/Ь вЂ” дробное рациональное число с целыьг положительным знаменателем Ь и с целым числителем а. Без нарушения общности можно считать, что числитель и знаменатель взаимно просты, этого можно добиться за счет сокращения на наибольший общий делитель.
Пусть это выполнено. Ясно, что Ь ) 1, иначе а/Ь было бы целым. Пусть т — натуральное число. Тогда (а/Ь)~ = а /Ь . В силу предложения 7 а~ и Ь взаимно просты. Поэтому а~ ие может делиться на Ь, так что а /Ь" ие является целым числом. Из доказанного следует далее, что если целое положительное число с не является т-й степенью целого числа (при натуральном т), то оно не является т-й степенью дробного рационального числа. Поэтому ~/с есть либо целое число, либо иррациональное. Так, числа Ч/2, ~/3, .~/5, 1/6, ~/7, ~/8, ~~19, ...
(пропускаются целые 1/4, .1/9, ...) все иррациональны, также иррациональны и числа 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, у?, 1/9, ч ГО, ... (пропускаются целые 1)'8, ~ф27, ...) и т. д. 6. Простые числа. Целое положительное число, большее единицы, называется простым, если оно не имеет целых положительных делителей кроме себя и единицы. Так, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83. 89, 9? простые, а числа 4, 6, 8, 9, 1О, 12, 14, ... нет.
Непростые числа 4, 6, , называются также составными. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. П р е д л о ж е и и е 12. Всякое целое число„большее 1, делится по крайней мере на одно простое число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и ) 1 — целое положительное число. Если оно простое, предложение верно, ибо и всегда делится на себя. Если оио составное, то оио делится на ~исло и, ) 1, меньшее чем и.
Если п1 простое, предложение доказано: п делится иа пь Если нет, то оно делится на меньшее чем и, число и, и т. д. Процесс выделения делителей п =» п~ ) п2 ) ... оборвется через конечное число шагов, а оборваться он может только на том, что мы придем к простому делителю пм Предложение доказано, Простых чисел существует бесконечно много. Это непосредственно вытекает из следующего предложения.
П р е д л о ж е и и е 13. Каково бы ни было конечное множество пРостых чисел (Рь Рьч ..., Рч), всегда найдетсЯ пРостое число, нв принадлежащее этому множеству. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА [гл 1 Доказательство. Рассмотрим число и = р~р, ... р»+ !. В силу предложения 12 оно делится по крайней мере на одно про- стое число р. Это число р не может совпадать ни с одним из чисел рь ры '..., р». Действительно, если р = рь то 1 делится на р; как разность двух чисел„делящихся на рн что невозможно.
Это рассуждение было известно еше Евклиду. Предложен не !4. Если целое число и не делится на про- стое число р, то и и р взаимно просты. Доказательство. Пусть Н = (и, р). Так как р делится на й и р простое, для й имеются только две возможности: д = р или д=1. В первом случае и делится на р, во втором и и р взаимно просты, что и требовалось доказать.
Из предложения !4 вытекает следующее утверждение. Предложение 15. Если р| и ре — два различных простых ьисла, то они взаимно просты. Действительно, меньшее из них не делится на большее, и, сле- довательно, они взаимно просты. П р ед л о же н и е 16. Если произведение двух целых чисел делится на простое число, то по крайней мере один из сомножи- телей делится на зто простое число. Действительно, пусть аЬ делится на р, где а, Ь ен 7, р — про- стое. Если а делится на р, то предложение справедливо. Если а не делится на р, то а и р взаимно просты, а тогда, согласно предложению 10, Ь делится на р. Это предложение легко обобщается.
П р е д л о ж е н и е 17. Если произведение нескольких целых чи- сел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей. Дока за тел ьство. Применим метод математической индук- ции по числу сомножителей. База есть — предложение верно для двух сомножителей. Допустим, что оно верно для произведения й — 1 сомножителей. Пусть теперь а1а» ... а» делится на простое число р. Так как а~аз ... а, = а~(а, ... а,), заключаем на основании предложения 14, что либо а1 делится на р, либо произ- ведение а» ...
а» делится на р. Во втором случае, в силу индук- тивного предположения, один из сомножителей а,, ..., а, де- лится на р, а в первом а1 делится на р. Тем самым предло>кение доказано. Теперь мы в состоянии доказать основную теорему теории де- лимости целых чисел, Теорема 18.
Каждое натуральное число, большее единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножи- телей, и два таких разложения могут отличаться только порядком следования сомножителей Д о к аз а тел ьство. Применим метод индукции. Для числа 2 утверждение теоремы тривиально (так же, как и для всякого про- бтого числа). Допустим, что теорема верна для всех натуральных ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЯ чисел, меньших и, н в этом предположении докажем ее для числа и.
В силу предложения 12 число и делится на некоторое простое число ри так что и = р2пи причем п2 ( и. Если п2 = 1, то и есть «произведение» одного сомножителя рь Если п2 ) 1, то в силу индуктивного предположения п2 допускает разложение на простые сомножители: и, = рз ... р», и тогда и= р2р» ..
ры Возможность разложения доказана. Докажем однозначность разложения с точностью до порядка следования сомножителей. Пусть п = р1р» ... р» = д~д» ... дь где все числа р» ри ..., р», дь дь ..., д2 простые. Из этого равенства следует, что произведение д,д» ... д2 делится на рь В силу предложения 15 один нз сомножителей дь д2, ..., д2 должен делиться на р2 и в силу простоты дь д», ..., д2 совпадать с рь Без нарушения общности, за счет изменения нумерации сомножителей второго разложения, мы можем принять, что д2 = рь так что р2р» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
