1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

2. Кольца и поля. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия — «сложение» и «умножение», сопоставляюшие упорядоченным парам элементов их «сумму» и «произведение», являюшиеся элементами того же множества. Предполагается, что действия удовлетворяют следуюшим требованиям: 1. (а+ Ь)+ с = а+(Ь+ с) (ассоциатнвность сложении), 2. а + Ь = Ь + а (коммутативность сложения). 3. Существует нулевой элемент 0 такой, что а+0= а при любом а.

4. Для каждого а существует противоположный — а такой, что а+( — а) = О. 5. (а+ Ь)с = ос+ Ьс; 5'. с(а+ Ь)=са+ сЬ (левая и правая дистрибутпвность). Первые четыре требования обозначают, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения, которая называется аддигивной группой кольца. Выведем простейшие следствия нз поставленных требований.

а з! некОтОРые ОБшгге пОнятия АлГЯБРы Предложение 1. Если а+х = а+у, то х=у. действительно, пусть а+х = а+у. Тогда ( — а)+(а+х) = ' ( — а)+(а+у). Воспользовавшись ассоциативностью, получим (( — а)+ а)+ х = (( — а)+ а)+ у, О+ х = О+ у, и, следовательно, х=у. П ред ложен не 2. При данных а и Ь уравнение а+х = Ь имеет единственное решение ( — а)+ Ь. Действительно, если а+ х =.

Ь, то ( — а)+(а+ х)=( — а)+ Ь, О+х=( — а)+Ь и х=( — а)+Ь. Обратно, если х=( — а)+Ь, то а+ х = а+(( — а)+ Ь) = О+ Ь = Ь. Из предложения 2 следует единственность нуля и противоположного элемента, ибо О есть решение уравнения а + х = а, а — а есть решение уравнения а+х = О. Предложения 1 и 2 верны для любой абелевой группы, а не только для алдитивиой группы кольца. Предложен не 3. а О = О а = О лри любом а. Действительно, а. О = а (О+ О) = а О+ а О, и, в силу предложения 2, а О = О. В общем определении кольца на действие умножения ие накладывается никаких ограничений кроме дистрибутивности со сложением.

Однако чаще всего возникает необходимость рассматривать кольца, в которых умножение удовлетворяет тем или другим дополнительным естественным требованиям. Наиболее употребимыми являются: 6. (аЬ)с = а(Ьс) (ассоциативность умножения). При выполнении этого требования элементы кольца образуют полугруппу относительно умножения. 7. аЬ = Ьа (коммутатнвность умножения). 8. Существование единичного элемента 1 (т.

е. такого, что а.1 = 1 а = а для любого элемента а). 9. Существование обратного элемента а-' для любого элемента а, отличного от О. В конкретных кольцах эти требования могут выполняться как порознь, так и вместе в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если в нем выполнено условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным, если выполнены условия 6 и 7. Если выполнено условие 8, говорят о кольце с сдиниг!ей, снабжая слово «кольцо» прилагательным в зависимости от выполнения условий 6 и 7. Если в кольце есть единица, то она единственна.

Действительно, если ! и 1' — две единицы, то 1 1'= 1, так как 1' — единица, и 1.1'= 1', так как 1 — единица, поэтому 1=1'. Кольцо называется областью целостности, если из равенства ПЬ = О следует, что хотя бы один из сомножителей а или Ь ра,вен О. Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент а имеет целые числа !гл.

г обратный а-г. Иными словами„поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют коммутативную группу. Эта группа носит название мультипликативкой группы поля, Любое' поле есть область целостности. Действительно, если аЬ = О и а чь О, то а-г(аЬ)= а †'О = О, и, следовательно, Ь = О.

Существуют поля, в которых некоторое целое кратное 1, т. е, т 1 = ! + 1+ ... +1, равно нулю. Йаименьшее натуральное число, обладающее этим свойством, называется характеристикой поля. Характеристика поля всегда равна простому числу. Действительно, если т 1 = О и т = пггтг при 1 ( пгг ( пг, то (т1 1) (тг 1)=О, откуда пгг 1 = О или тг 1 = 0, так что пг— не наименьшее натуральное. Поле вычетов по простому модулю р имеет, очевидно, характеристику р. Если же любое кратное единицы отлично от нуля, то говорят, что характеристика поля равна О.

Приведем теперь примеры. Множество У всех целых чисел образует кольцо, коммутативное, ассоциативное и с единицей. Оно является областью целостности, но не полем. Полями являются множество О всех рациональных чисел и множество. Й всех вещественных чисел. Классы по модулю пг образуют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Оно называется кольцом вычетов по модулю пг. Если пг — составное число, то это кольцо не будет областью целостности, Действительно, если лг = т1пгг, 1 ( тг ( пг, то т, Ф О, пгг ФО, но йггтг=т =О- Если же пг= р есть простое число, то кольцо вычетов по нему есть не только область целостности, но даже поле. Действительно, предложение 7 З 2 утверждает, что все классы по модулю р, кроме нулевого, обратимы.

В частности, кольцо вычетов по модулю 2, состоящее всего-навсего из двух элементов О и 1 (классы четных и нечетных чисел), является полем. Это поле, несмотря на свою крайнюю просто~у, оказывается важным для некоторых приложений. Все правила и формулы элементарной алгебры, включая теорию уравнений, полностью сохраняются, если под буквами понимать элементы любого поля, так как в основе этих правил и формул лежат свойства действий и возможность деления, кроме деления на нуль.

П р и и е р. Решить уравнение 2хг + 5х + 4 = О в поле вычетов по модулю 1!. Применим обычную формулу решения квадратного уравнения! — 5 -~- ~/5~ — 4 . 2 . 4 — 5 ~ ьl — 7 6 ~ '~Г4 т. е, х = 2 или х = 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ В этом примере квадратный корень благополучно извлскся. хаогло бы случиться и так, что элемент, находящийся под знаком квадратного корня, не является ивадратом какого-либо элемента поля. Это означало бы, что данное квадратное уравнение не имеет корней в исходном поле. 3. Изоморфизм. Часто оказывается, что группы, возникающие и различных областях математики или ее приложений,,оказываюгся совершенно одинаковыми по своим свойствам, хотя элементы, 'дз которых онн составлены, различны но своей природе. Это явление носит название изоморфизма групп.

Дадим точное определение. Взаимно однозначное отобра>кение группы 61 на группу 6Я называется изоморфизмом, если образом результата групповой операции над двумя элементами из 61 является результат применения групповой операции в 6Т над образами исходных элементов. В символьной записи, если отображение обозначено через ср, нужно (кроме взаимной однозначности), чтобы у(а,а~) = = р(а1)Ч~(ат) (мы прибегаем к мультиплнкативной записи группового действия). Группы называются изоморфными, если для них существует изоморфное отображение. Например, группа классов по модулю 2 относительно сложения изоморфна группе, элементами которой служат числа ~1, а операцией — обычное умно- «кение.

Изоморфизм дается сопоставлением классу четных чисел числа 1, а классу нечетных чисел — числа — 1. Менее тривиальный пример изоморфизма имеется для группы всех вещественных чисел относительно сложения и группы положительных чисел относительно умножения. Изоморфизм дается сопоставлением любому вещественному числу х значения показательной функции а". Действительно, оно взаимно однозначно (обратное отображение дается логарифмом) и а" а"=а*~+"ь' Аналогично изоморфизму групп дается определение изоморфизма колец.

Именна, взаимно однозначное отображение Ч~ кольца А~ иа кольцо Аз называется изоморфным, если оно сохраняется при операциях сложения и умножения, т. е. если ~р(а1+ а:) = =%(п1)+ф(оз) н <р(а1пз)=~р(а1)<р(аз). Ясно, что если кольцо 'А, есть область целостности или поле, то его изоморфный образ есть область целостности нли поле. ГЛАВА Н КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Как известно, комплексными числами называются выражения вида а+Ьг', где а и Ь вЂ” вещественные числа, 1 — некоторый символ, удовлетворяющий соотношению Р = — 1. Первые попытки введения в математику комплексных чисел были сделаны итальянскими математиками !б в. Кардано и Бомбелли в связи с решением уравнений З-й и 4-й степеней. Однако признание комплексных чисел как ценного орудия исследования происходило очень медленно.

Недоверие вызывал сам символ 1 («мнимая единица»), заведомо не существующий среди вещественных чисел. Это недоверие усугублялось тем, что некритическое перенесение некоторых формул обычной алгебры на комплексные числа порождало неприятные парадоксы (например, ~Я = — 1, но вместе с тем, используя формальное выражение)=«/ — 1 и обычные правила действий с квадратными корнями, получим Р т/ — 1 ° т/ — 1= 1/~ — 1)'= =«/1=1). Лишь в 19 в. Гауссу удалось дать достаточно убедительное обоснование понятия комплексного числа. Построенная в 19 в. на основе комплексных чисел теория функций комплексного переменного обогатила математический анализ новыми результатами, придала значительной части математического анализа чрезвычайную стройность и простоту, а в дальнейшем оказалась могущественным средством исследования в важных разделах механики н физики.

Характеристики

Список файлов лекций