1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, «невозможные», «мннмые» числа явились ценнейшим средством исследования, н тем самым нх введение в науку оказалось оправданным не только их непротиворечивостью, но н практической важностью. 5 1. Обоснование комплексных чисел 1. Наводящие соображения.
Задание комплексного числа а + + Ь1 вполне определяется заданием двух обыкновенных вещественных чисел а и Ь, называемых его компонентами. Вводя комплексные числа, необходимо ввести н арифметические действия над ними, по возможности с сохранением обычных правил действий, но с обязательством заменять символ Р иа — 1. Постараемся охарактеризовать правила этих действий в терминах компонент, без упоминания о «сомнительном» символе й Так, если по обычным правилам элементарной алгебры «сложнть» два комплексных числа а+ Ь1 и с+ Ж, то мы получим комплексное число $ и ОБОСНОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЗ (а-1-с)+(Ь+д)й и при этом компоненты суммы двух комплексных чисел будут равны суммам соответствующих компонент слагаемых.
Далее, (а+ Ы) (с+ й) = ас+ Ьс(+ ай+ ЬдГЕ = (ас — Ьд)+ '+(Ьс+ ай) й т. е. первая компонента произведения двух комплексных чисел равна разности произведений первых и вторых компонент, а вторая компонента равна сумме произведений первой компоненты одного из сомножителей на вторую компоненту другого.
Наконец, положив Ь = 0 (и считая, что 01 =0), получим д + 01 = а, т. е. комплексное число с нулевой второй компонентой отождествляется с вещественным числом, именно, с первой компонентой. Разумеется, все эти соображения имеют лишь наводящий характер — мы сформулировали в терминах компонент правила действий иад комплексными числами, как будто мы уже какнм.то образом убедились в закономерности введения этих странных математических объектов. Но то, что нам это удалось сделать, естественно наводит на мысль дать само определение комплексных чисел и действий над ними в терминах компонент, т.
е. вещественных чисел. 2. Определение комплексных чисел. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел (компонент), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам). 1. Пары (и, Ь) и (с, д) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты. В символической записи: де1 Га=с, (а, Ь) (с, д)чм.~ (Ь=д.
П. Суммой пар (а, Ь) и (с, д) называется пара (а + с, Ь+ д), т. е. вел (а, Ь) + (с, д) = (а + с, Ь + еГ). Ш. Произведением пар (а, Ь) и (с, д) называется пара (ас — Ьд, ад+ Ьс), т. е. ее~ (а, Ь)(с, д) =(ас — Ьд, ад+ Ьс). 1Ч. Пара (а, 0) отождествляется с вещественным числом а, де! т. е. (а, 0) = а. Таким образом, в данном определении комплексных чисел, со'ставными частями которого являются определения их равенства, ~уммы, произведения, нет речи о каком-лнбо извлечении квадрат- комплексныв числа !гл ы ного корня из отрицательных чисел. Все определения формулируются в терминах вещественных чисел н действий над ними.
В первых трех аксиомах речь идет об определении разных понятий. Г!оэтому их сопоставление не может принести к каким-либо противоречиям. Единственное, чего можно опасаться, зто нарушения обычных законов действий, которое априори могло бы произойтн. Несколько в другом положении находится аксиома 1Ч. Дело в том, что понятия равенства, суммы и произведения для вещественных чисел имеют определенный смысл, и если бы оказалось, что эти понятия расходятся с теми, которые возникают в силу аксиом 1, П, П! при рассмотрении вещественных чисел как пар специального вида, то это привело бы к такой путанице (пришлось бы отличать сумму вещественных чисел как таковых, от их суммы как пар, и т.
д.)„что следовало бы от аксиомы 1Ч отказаться. Поэтому прежде всего нужно сопоставить аксиому 1Ч с аксиомамн 1, И, П1. 1 и 1Ч. Пусть вещественные числа а и Ь равны, как отождествленные с ними пары (а, 0) и (Ь, 0). Это будет, согласно аксиоме 1, в том и только в том случае, когда а = Ь, т. е. если они равны в обычном смысле. П и 1Ч. Сумма вещественных чисел а и Ь, рассматриваемых как пары (а, 0) и (Ь, О), равна, согласно аксиоме И, паре (а+ Ь, 0), отождествленной с числом а+ Ь, т. е. с суммой а и Ь в обычном смысле. 1П и !Ч. Произведение вещественных чисел а и Ь, рассматриваемых как пары (а, 0) и (Ь, 0), равно согласно аксиоме И! паре (аЬ вЂ” 0 О, аО+ ОЬ)=(аЬ, 0), отождествленной с числом ас, т. е.
с произведением а и Ь в обычном смысле. Таким образом, аксиома 1Ч хорошо согласована с аксиомами 1, П, П1 и не приводит к путанице, которой можно было бы опасаться. Обратим внимание еще на одну формулу, непосредственно вытекающую из аксиом Ш, 1Ч, именно, т(а, Ь)=(та, тЬ), если т — какое угодно вещественное число. Действительно„ т (а, Ь) = (т, 0) (а, Ь) = (та — ОЬ, тЬ + Оа) = (та, тЬ). Допустим теперь, что т — натуральное число. В силу аксиомы П (а, Ь)+(а, Ь) =(2а, 2Ь), (2а, 2Ь)+(а, Ь)=(За, ЗЬ) и т. д., так что (тл, тЬ) есть результат последовательного сложения т слагаемых, равных (а, Ь), что хорошо согласуется с привычным пред.
ставлением о том, что умножение на натуральное число т равносильно сложению т равных слагаемых. Это енсе раз свидетель. ствует о хорошем согласовании аксиом. 3. Свойства действий. Теперь нам нужно проверить, что аксиомы П н !П согласованы в себе и друг с другом так, что привычные'нам свойства действий над числами сохраняются при пе- я и овосновхние комплексных чисел реходе к комплексным числам. Именно, мы установим, что комп,лексные числа образуют поле.
Прн описании свойств действий мы будем придерживаться принятой в $3 гл. 1 нумерации аксиом кольца н ноля, но при проверке будем несколько отступать от последовательности, предписываемой этой нумерацией. 2. (а, Ь)+(с, Н)=(с, Н)+(а, Ь) (коммутатнвность сложения). Действительно, левая часть равна (а+с, Ь+д), правая равна (с+ а, д+ Ь). Они равны в силу коммутативности сложения вейцественных чисел. 1. ((а, Ь)+(с, Н))+(е, 1)=(а, Ь)+((с, с()+(е, 1)) (ассоциативность сложения). Действительно, в силу ассоциативности сложения вещественных чисел правая и левая части равны (а+ с+ е, Ь+ б+ 1) 3.
(а, Ь)+(О, 0) =(а, Ь), так что пара (О, 0) (отождествляемая с вещественным числом 0) играет роль нуля н при сложении пар. 4. (а, Ь)+( — а, — Ь)=(0, 0). Поэтому для каждой пары (а, Ь) существует противоположная, именно, ( — а, — Ь). 7. (а, Ь)(с, д) = (с, б)(а, Ь) (коммутативность умножения). 'Действительно, левая часть равна (ас — ЬН, ад + Ьс), правая рав'на (са — бЬ, да+ сЬ). Они равны.
5. ((а, Ь)+ (с, с() ) (е, Р) = (а, Ь) (е, 1)+(с, а) (е, 1); 5'. (е,Г)((а,Ь)+(с,Й))=(е,~)(а,Ь)+(е,0(с,б) (левая и правая дистрибутивность). В силу коммутативности умножения достаточно проверить первую из формул 5. Левая часть равна '(а + с, Ь + с() (е, 1) = ( (а + с) е — (Ь + г() 1, ( а + с) 1 + (Ь + И) е) = = (се+ се — Ь( — гК а(+ с1+ Ье+ йе). Йравая часть равна (ае — Ь|, а1+ Ье)+(се — ф, с(+Не) = = (ае — Ь1+ се — Н~, а1+Ье+ с(+ с(е), 'т. е. равна левой части. 6. ((а, Ь) (с, б)) (е, Л=(а, Ь) ((с, Ф) (е, 1)) (ассоциативность умножения).
Действительно, левая часть равна (ас — ЬсК, ад+ Ьс) (е, 1) =((ас — Ь4е — (аб+ Ьс)1, (ас — Ьд)1+ +(ай+ Ьс)е) = (асе — Ьг(е — аф — Ьс~, ас~ — Ь4+ аде+ Ьсе). Правая часть равна '(а, Ь) (се — гЦ, с~+ с(е) = (а(се — гЦ) — Ь(с1+ г(е), Ь(се — гЦ)+ + а (с) + ае) ) = (асс — асЦ вЂ” Ьс1 — Ьг(е, Ьсе — Ь~Ц+ ас) + ас(е), т. е.
правая часть равна левой. 8. (а, Ь) (1, О) =(а, Ь), Таким образом, пара (1, 0) (отождествляемая с вещественным числом 1) играет роль 1 и прн умножении пар.. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ~гл. и Итак, комплексные числа составляют коммутатнвное ассоциативное кольцо с единицей. Введем теперь понятие сопряженных комплексных чисел.
Пары (а, Ь) и (а, — Ь), отличающиеся знаком второй компоненты, называются сопряженными. Умножив сопряженные пары (а, Ь) (а, — Ь) =(аа — Ь( — Ь), а( — Ь) + Ьа) = (а»+ Ь», 0) = а»+ Ь», получим, что их произведение равно неотрицательному числу а»+Ь», которое равно нулю только если а =О, Ь =-О, т. е. если (а, Ь) =О. Если (а, Ь)~0, то, умножив сопряженную пару (а, — Ь) 1 иа вещественное число, +,, мы получим обратную к паре (а, Ь) пару, т.
е. такую, которая при умножении на (а, Ь) дает число 1, Таким образом, верно: 9. Для любой пары (а, Ь), отличной от О, существует обратная Итак, мы доказали, что комплексные числа составляют поле. 4. Возвращение к обычной форме записи. Ясно, что (а, Ь) = =(а, 0)+(О, Ь) =(а, 0)+(Ь, 0) (О, 1)= а+ Ьс', где буквой 1 обозначена пара (О, 1). Из аксиомы 1П следует, что 1 = (О, 1) (О, 1) = (Π— 1, 0+ 0) = ( — 1, 0) = — 1. Таиим образом, мы вернулись к обычной записи комплексного числа в виде а+ Ь(, но «мнимая» единица 1 получила реальное истолкование как одна из пар, действия над которыми определены аксиомами 1, П, П1, 1У, именно, пара (О, 1). Если угодно, множитель 1 при вещественном числе Ь можно истолковать как указание иа то, что Ь является второй компонентой пары (а, Ь). Первая компонента комплексного числа сь = а + Ь( называется аец(ественкой частью этого числа и обозначается Яесс, а вторая иомпонента называется его мнимой частью н обозначается 1т гг.
Подчеркнем, что мнимая часть (так же, как и вещественная часть) комплексного числа есть число вещественное. В дальнейшем, говоря о комплексных числах, мы должны помнить, что вещественные числа мы рассматриваем как частный случай комплексных (с нулевой второй компонентой), так что фраза «сь есть комплексное число» отнюдь не исключает того, что гг может быть и вещественным. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
