1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Но кольцо полиномов есть область целостности. Следовательно, равен нулю один из сомножителей. Равенство нулю второго приводит к Л = — (а'+ Ь'+ с'+ пз) ', что не имеет места при следующих значениях букв: а = 1, Ь = = с = с(= О. Следовательно, Л = (а + Ь + с + Р) э. 6. Теорема Вине — Коши.
Пусть произведение двух прямоугольных матриц есть матрица квадратная. Это будет в том и только в том случае, когда не только число столбцов первой ма- длльненшив свонствь опгвдалитнлен зы 1з! трицы равно числу строк второй, но и число строк первой равно числу столбцов второй: л'в в=лет л м м В этой ситуации имеет место следующая теорема, называемая теоремой Бине — Коши.
Т е о р е м а 3. Определитель матрицы АВ равен нулю, если гп и, и равен сумме произведений всех миноров и!-го порядка матрицы А на соответствующие миноры и!-го порядка матрицы В, если тп ~ и. Соответствие миноров понимается здесь в следующем смысле: номера столбцов матрицы А, составляющие минор, совпадают с номерами строк матрицы В, из которых составляется соответствующий минор. В формульной записи: де1АВ= Е А», т, „, т В„, т,„„т, т,<т,«" ты где А „т,, „т — минор матрицы А, составленный из столбцов с номеРами т!, Тм ..., У, и Вт,, „„,,т — миноР матРицЫ В, составленный из строк с номерами у!, уз, ..., у .
Теорему Бине — Коши можно доказать аналогично доказательству теоремы об определителе произведения двух квадратных матриц (которая, конечно, есть частный случай теоремы Бине— Коши). Однако при этом пришлось бы воспользоваться теоремой Лапласа в общей формулировке. Приведем доказательство, основанное на другой идее. Запишем подробно ,де1 АВ = аньн+а!!Ьг!+... +еыьь! ° .. аль!т+анЬ!ы+ ° +а!льши ащ!Ь! !+аы!Ь!!+...+а~ильл! ° . ° ат!Ь!т+атзьзт+ ° ° ° +етаьпт Теперь применим свойство линейности определителя к первому столбцу.
Получим бе1АВ= т- - + =х !ш м! а Ь а ! итаьа! ' ! гзе МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ !ГЛ, 1Ч где у всех определителей столбцы, начиная со второго, такие же, как у де1 АВ в исходной форме. Применим теперь свойство линейности ко вторым столбцам определителей, составляющих эту сумму. Получим ага,Ьа,1 а1а,~аа де1 АВ= ~~ а .
а ата~~а~1 ата|Ьа~г где индексы а1 и аг пробегают независимо значения 1, 2, ..., и. Здесь у всех определителей столбцы, начиная с третьего, такие же, как в исходной,форме у де1 АВ. Тем же способом продолжаем разложение определителя де1 АВ на сумму определителей, применяя свойство линейности к третьим, ..., 1п-м столбцам. Получим в результате а1а Ь«,1 а1а Ьа г а1а Ьа т де1 АВ = «1, а,...,ат та1 а,1 та аг '' тат атт а Ь а Ь ...
а Ь где индексы а1, аг, ..., а принимают независимо друг от друга все значения от 1 до л. Здесь всего и слагаемых. Вынесем нз каждого столбца общий множитель. Получим а!а а!аг "1а $ г т де1АВ= ~~' Ьа,1Ьа г ° ° ° Ьа т ата ата ''' ата 1 Если т ) л, то индексам а1, аг, ..., ат будет «настолько тесноь, что среди нх значений будет находиться хотя бы одна пара равных. Но тогда все определители, входящие в слагаемые де1 АВ, будут равны нулю как имеющие равные столбцы. Поэтому 1!е1 АВ = 0 при гп ) л. Пусть теперь и ( п. Если среди значений индексов найдется хотя бы одна пара равных, то соответствующее слагаемое равно нулю. Все такие слагаемые можно отбросить и останется сумма, распространенная на попарно различные значения индексов а1, аг, ..., а . Наборы таких значений могут отличаться как составом значений, так и порядком, если состав один и тот же. Такие наборы носят название размен!ений.
Обозначим через уь уг,..., т набор значений индексов а1, иг, ..., ит, расположенных в порядке возрастания: у1(уг" . (у„, так что при одном и том же составе значения индексов я1, яг, ..., и„, будут образовывать перестановки элементов уь уг, ..., у . Проведем сначала суммирование по всевозможным наборам а1, аг, ..., Сгт ОдниаКОВОГО СОСтаВа, т. Е. ПО ПЕрЕСтаНОВКаМ ЗЛЕ- ментов у1, уг, ..., у, а затем сложим получившиеся суммы по возможным составам. дхльнеишие своиствА опгеделителей Получим с)е1 АВ щт а1а, а!а '.. а!а Ьа 1Ьа,2... Ьа т '(21( "(тт(" (а~ а2 ""ащ) где во внутренней сумме суммирование ведется по всем наборам (аь жм ..., 22 ), составляющим перестановки чисел уь уь ..., у . В пределах внутренней суммы определители отличаются только порядком столбцов. Приведя столбцы в порядок возрастания значений индексов, получим: а1а а!а ...
а~а а12 а~т " а12 ьт(аьа,....ащ) ' 2 т =( — 1) ата ата ' ' ' ата а „ а ... а 2 т гак что 4е1 АВ = Ь,АЬ,2... Ь, ( — 1)'а'(а'"*'""' ) К (ас ..., ат) а!т, а12, " а~т„ х тт! "тт2 " ' щтт 2(т,« . тт(а Во все слагаемые внутренней суммы входит сомножителем один и тот же определитель.
Его можно вынести за знак суммы2 4е(АВ = Ьа !Ьа 2 ° ° ° Ьатт( 1) (а, а, ...,ащ) т,(-"<т После вынесения минора матрицы А за знак внутренней суммы Азсталосьдрагоценноенаследство в виде множителя( — 1)ма(' ' "" т), наличие которого позволяет заключить, что внутренняя сумма равна определителю Действительно, она есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы этого определителя, взятых по одному из каждой 2)троки (ведь (аь а2, ..., я ) пробегает всевозможные перестановки чисел уь уь ..., у ) и по одному из каждого столбца. а~т ...
а~ тт~ ''' щта ь и ь ... ь Ь Ь ... Ь тт~ тт ттт млтеицы и опееделнтели ил цг 1зь Сомножителя записаны в порядке следования столбцов, а (пу(яь ам ..., ц ) есть число инверсий в номерах строк. Итак, де( АВ = Ьу ! Ьу 2 Ьу у1 ''' уа а~ а1 ...
а~ Х 1<у|« - уа,<» ~ту, ~ту, ° аиду,„ Ь Ь ... Ь у„,у ' уу,а что и требовалось доказать. Приведем один интересный пример. Пусть В а, Ь, а„ б„ (а, а,...а„) аь б; — сопряженные с ними. Здесь аь Ь; — комплексные числа, Имеем: АВ = ~ а,л, + .,;, + ... + а1Ь! + а~Ь, + ... + а~за а~Ь| + а,Ь~+, + алзл ~ Ь~Ь~ + Ь~Ь~+ + Ьиаа Вспомним, что произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату его модуля, и заметим, что элементы побочной диагонали АВ комплексно сопряжены.
Поэтому де(АВ=((а,(У+ ! (а (У)(!Ь,!У+ (-!Ь (а) — (а|б|+ аубу+ ... + а,б,!'. По теореме Бине — Коши ылв — у ! !.!' ' ! т~,,ь,—,,ьр Сравнивая результаты, получаем тождество ((а,!' + ... + (а.!')((Ь,!' + ... + ЧЬ.!') — Чп,б, + ... + а„б„(-— = 2.; ! а,б! — а~Ь, (У, !<! откуда следует известное неравенство Коша; )а1б1+ ... + а„ба)х ~((а~(з+ ...
+(а,(у) ((Ь1!'+ ... (-(Ь„(у), причем равенство возможно, только если а~Ь| — а,Ь; = 0 для всех ( и у, т. е. если строки матрицы А пропорциональны, ф б. Обращение квадратных матриц 1. Условие существования обратной матрицы. Для данной квадратной матрицы А правой обратной называется такая матрица В, что АВ = Е. Соответственно, матрица С называется левой обрат- ОБРАшвннв квхдглтных мьтциц моб для А, если СА = Е.
Матрицц называется обратной для А, если она одновременно левая и правая обратная. Теорем а 1. Для того чтобы матрица А с элементами из ноля имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и и о с т ь.
Пусть для ма-. трицы А существует правая обратная В, так что АВ = Е. Приме-. няя теорему об определителе произведения квадратных матриц, получим: »)е1Абе1В = бе1Е=1, откуда следует, что бе1А ~0. То же условие, очевидно, необходимо и для существования левой обратной. Д о с т а т о ч н о с т ь. Требование АВ = Е означает, в частности, что произведение 1-й строки матрицы А на /-й столбец матрицы В при 1Ф) равно нулю.
Этому свойству, согласно свойствам определителя, удовлетворяет матрица А, транспонироваииая к матрице, составленной из алгебраических дополнений элементов определителя бе1А в их естественном расположении. Матрица А носит название матрицы, союзной с матрицей А. Легко видеть, что а„ ам . а1ч Аи А»1 " Аы АА еи лм . ° . а»»» А» Ам ° .. А»» аы аю ... а»»»» Аы Ар, ... Ал»» =бе1А Е.
Действительно, на диагональных позициях оказываются суммы произведений элементов строки на нх алгебраические дополнения, а каждая такая сумма есть определитель бе1А, представленный в виде разложения по элементам строки. На недиагональных позициях оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки, а все такие суммы равны нулю.
Применяя те же свойства к столбцам определителя де1 А, по,яучим, что АА = бе1 А Е. Йоэтому, если бе1АчьО, то матрица — А есть правая н ле- 1 4Ы А Вая обратная для матрицы А, т. е. обратная для А. Она обозначается А-'. Заметим еще, что кроме А-' не существует ни правых, ни левых обратных матриц для А. Действительно, если АВ = Е, то А»(АВ) = А ', но А '1АВ) = (А-'А) В = В, так что В = А-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
