1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вычислим Ь! и Ь„. Заметим, что Ь! есть коэффициент .".ри 1 ' в определителе ан ап а~л ап ! а22 а2л — ал~ — ал1 ° °: 1 алл Буква ! входит, причем в первой степени, только в диагональные элементы матрицы 1Š— А. Следовательно, каждое слагаемое определителя, содержащее !"-!, имеет в числе сомножителей по крайней мере и — ! диагональных элементов, но тогда и последний сомножитель тоже диагональный.
Таким образом, коэффициент прн !"-' равен коэффициенту при !"-' в полиноме (! — ан) л, К(! — ам) ... (! — а ), т. е. равен — (он+ам+ ... +а..). Таким образом, Ь! = он+ ам+ ... + а . Это выражение имеет специальное название — след матрицы А и обозначается Зр А или Тг А (от 8риг — нем., Тгасе — англ.).
Для подсчета свободного члена положим г = О. Получим ( — !) "Ь„= с$е1( — А) =( — 1)" де(А, откуда Ь„= де1 А.. Остальные коэффициенты тоже можно подсчитать, но это несколько сложнее. 142 мхтж|цы и опгеделитвли |гл |ч 2. Теорема Кэлн — Гамильтона. Теорема 1. При подстановке матрицы в ее характеристи|еский полинам получается нулевая матрица. (Иными словами, матрица является корнем своего характеристического полннома.) Доказательство. Обозначим через В матрицу, союзную с 1Š— А. Ее элементы принадлежат кольцу К[1) и являются полиномами от г' не выше (и — 1)-й степени, ибо они равны, с точностью до знаков, минорам (и — 1)-го порядка матрицы гŠ— А, элементы которой содержат Г не выше чем в первой степени.
Можно записать В = В,!" — ' + Вх1" — э + ... + В,. | Г + В, где В|, Вм ..., В,„ь „— матрицы над й, По свойству взаимной матрицы имеет место равенство В(1Š— А) = бе1(1Š— А)Е, которое можно записать подробно (В|1"-'+ Вх1"-'+ ... + В, |(+ В,) (ГŠ— А) = = (г~ — Ь11"-'+ ... +( — 1)"-'ь. 31+( — !) "Ь.)Е. По определениям равенства матриц и равенства полиномов, мы вправе приравнять коэффициенты прн одинаковых степенях на всех позициях, что равносильно приравниванню матричных коэф- фициентов при степенях Е Получаем цепочку равенств; в,=е,  — В|А = — Ь Е, Вз — В 1=Ь~Е. „— В„|А = ( — 1)" Ь„|Е, — В„А =( — 1)" Ь„Е. Умножим справа первое равенство на А", второе на А"-', третье на А" — ', ..., (и — 1)-е на А и сложим с последним.
Слева все ела. гаемые взаимно уничтожатся и останется нулевая матрица. Справа получим Ае Ь!Ал-|+ ЬхА~ э+ 1 ( 1)п-|Ь„,А 1 ( 1)льлЕ Итак, ~(А) Ал Ь,Ап-'+Ь,А~-'+ . +( !)и-|Ь~,А 1 ( 1)нЬеЕ=О, что и требовалось доказать. ГЛАВА Ч КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ й Е Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой бт хв 1.
Определение н матричная запись квадратичггой формы. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких букв. Обозначим эти буквы через хг, хг, ... ..., х,. В обшем виде квадратичная форма может быть записана так: ~(хг, х, ..., х„)=сох',+ с„х,х,+ ... + с,„хгх„+ +с,хг х+ ... +с т.,х„+ +с„,к .
Коэффициенты в этой записи образуют треугольную матрицу. Однако эта форма записи неудобна. Если в поле (нли кольце), нз которого берутся коэффициенты формы, выполнимо деление на 2, то удобнее каждый недиагоиальный коэффициент разделить на 2 и записать два раза, при произведениях букв в обоих порядках.
Запись примет вид )(хгг хг...„х„)=а„х', +а,гт,х, + ... +а,„х,х„+ +а,х,х, +а х-' + ... +а „х х„+ +а„,х х, +а„х„х + ... +а„„хз, причем аи = ал. Такую запись квадратичной формы назовем правильной. (егг со ". еггг Матрица А = ' " ' '" называется матрицей квадрааю а„г...а„„ тичной формы. Она симметрична, т. е. Ат =А. Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения. Вынося хг из первой кВАдРАтичныз ФОРмы 1гл. т СтрОКН ЗаПИСИ, ХХ ИЗ ВтОрОй, „ ., Хл ИЗ ПОСЛЕдисй, ПОЛУЧИМ 1 (х„хь, ..., хл) = х, (апх, + а,ьхэ + ...
+ а2лхл) + + ХХ (а„Х, + ат2Х2 + ... + а,„.тл) + + Хл (а„Х, + алХХХ+ ... + а,лХл) = анх2 + аих2+ ... + а~еле а22Х2 + 2222Х2 + ' + а2ехл (ХЬ Х22 2 Хл) ал2х2 + аелхл+ . ° ° + алехе Х2 а,2 ан ° .. а2е х, =(хи х„..., хл) ал2 ае2 ... алл Обозначив столбец (хь хт, ..., х„)т через Х, получим )'(хь хх, ..., Хл)= Х'АХ. 2. Линейное преобразование перемеикых в квадратичной форме. Пусть в квадратичной форме 1(Х) = ХХАХ делается линейное преобразование переменных с невырождениой матрнцей: Х = ВУ. Тогда квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму От буКВ уЬ ут... ул (КОМПОИЕнт СтОЛбца У), ИМЕННО, В 12(У) = =У'В'ЯВУ= Ут(В"АВ)У.
Покажем, что форма 12(У) автоматически получилась правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица ВХАВ симметрична, что легко проверяется: (ВтАВ)т = ВгАтВтт ВтАВ 3. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду. Теорем а 1. Для любой квадратичной 4ормы с вещественными коэффициентами можно сделать линейное преобразование перел2еннгах с невырожденной вещественной матрицей так, чтобы матрица преобразованной формы имела диагональный вид, т. е. чтобы преобразованная 4орма состояла только из квадратов переменных с некоторыми коэ44ициентпми, Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональна.
Предпоп2лем доказательству этой теоремы две леммы о вспомогательных преобразованиях. Лемма 1. Если коэффициент ан при квадрате х22 первой переменной равен нулю, но хотя бы один квадрат входит с ненулевым коэффициентом, то можно сделать линейное преобразование с невырожденной матрицей, после которого коэффициент при квадрате первой переменной станет отличныл2 от нуля. $ гг лннвннов пгновг»зовыгиа к к»ноничнскомт винт 14а Действительно, пусть а»»ФО. Сделаем преобразование переменных: хг = у», х» = уь °, х» =уь ..., х„=у„ т. е.
примем исходные переменные за новые, изменив их нумерацию, Ясно, что это преобразование дает требуемый эффект, Л е и м а 2, Если все коэффициенты при квадратах равны нулю, но хотя бы один коэффициент формы отличен от нуля, то можно сделать невырожденное линейное преобразование переменных так, что после него коэффициент при квадрате одной из новых переменных окажется отличным от нуля. Действительно, пусть ап — — ам= ... — — а.,=О, но ам ФО. Сделаем преобразование х1 — — уь ..., х; = уг+ у», ..., х» =ум ..., х„= у„, Это невырожденное преобразование, так как оио, очевидно, обратимо.
Подсчитаем коэффициент при уг. Переменная у, входит только в хг и х», поэтому у'„может поивиться только из членов аихз, а хг н 2амх;х» квадратичной формы. Первые два равны нулю. Третий преобразуется в 2аы(у, +у»)у„, так что коэффициент при у' равен 2а~» ФО.
Сделав еще преобразование первого типа, добьемся того, чтобы коэффициент в позиции (1, 1) стал отличен от нуля. Доказательство теоремы. Применим метод математической индукции по числу и переменных. Прн п = 1 форма равна апх»„так что доказывать нечего. Допустим, что для формы от числа переменных, меньшего чем и, теорема доказана. Пусть !(х„х„..., х„)=апх', +а,„,хгхг+ ...
+а,„х,х„+ + анхгх, +атгхгг + ... +а „х х„+ +а„,х„х, +а„,х„х,+ ... + а„„хз. Если все коэффициенты равны нулю, то форма равна нулю, н доказывать нечего. Пусть хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что ап чнО, ибо если ан =О, то можно сделать вспомогательные преобразования, после которых коэффициент в позиции (1, 1) станет отличным от нуля. Соединим вместе все слагаемые, содержащие хь и вынесем из них а„за скобку, Получим +аз»к~» + ... +а,„х,х„+ !Гл ч КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 2ЯВ Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы.
11олучим ГГ«ь«2,...,«„)= ИЬ,+ — а" х+... + — '" „)'- а~~ ан Здесь через ~р(х2, ..., х,) обозначена квадратичная форма от Х2,, Хп. Теперь сделаем преобразование: ао а1„ х,+ — х,+ ... + — хп=уь ан ан = Угп Хп уп нлн, что то же самое, а~п а~» аи хл = У» Это невырожденное преобразование, после которого форма пре- ВРатнтСЯ В а„У',+~Р(У2 Уа ..., Уп). ФОРМа <Р(У2, Уа,, Уп) Зависит от и — 1 переменной.
В силу индуктивного предположения сушествует невырожденное линейное преобразование У2= Ь22г2+ .. + Ь,пгп, У = Ь 2г2 + , ° . + Ьппгп, после которого получится: ~р(у„..., уп) = отг2+ ... + а,г'. Добавим к преобразованию еще одну строку: у2 =го У2 = Ь2«г2 + ° ° ° + Ь2 г»1 Уп Ьл2г2+ ' ' + Ьппгл' Это преобразование, очевидно, невырожденно, н после его прн.
менения форма 1 («2 «22 «и) = пну~ + 2р (У2 ' ' ' ° Уп) а и ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВЙЛУ 147 примет канонический вид: ангз+азг~+ ... +а гз. Несколько невырожденных линейных преобразований можно заменить одним невыро>кденным, ибо композиции преобразований соответствует умножение матриц, а произведение невырожденных матриц невырожденно. Теорема доказана.
Заметим, что хотя мы теорему сформулировали для вещественных квадратичных форм и вещественных преобразований— именно этот случай наиболее интересен для приложений — теорема остается верной для квадратичных форм с коэффициентами из любого поля К, характеристика которого не равна 2, нри преобразованиях над тем же полем зт. Рассуждение посредством метода математической индукции есть, по существу, краткая запись единообразного процесса, состоящего в повторении индуктивного перехода.
Поэтому данное доказательство дает и способ преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один пример. з (х~ хз~ хз, хз) = х~ + х~хз — хгтз+ 2х1х4+ + хзх,+ х, '+Зх,х,— + хз — 2хзх, + — хх з ~ +2х4х,+Зхх, — 2хх + 4хз = хз+ 2х,хз — 2х,х + 4х,х, + хз + бх,х, + хз — 4х,х, + 4хз =(х~ + хз — хз + 2хз) — (хз — хз+ 2хз)э+хзз+бхзхз+хз з— 4х х4+4хз= (х, + хз — хз+ 2х,) + 2хзхз+ 2хзх,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
