1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Положим х, + х,— х,+ 2х,=у„ хз Ум хз = Уз~ Хз =У,, т, е. сделаем подстановку «~ у~ — уз + уз — 2уз. Ум Уз» кВАдРАтичные ФОРмы 14В 1ГЛ. Ч ПРНДЕМ К ФОРМЕ У',+4Р(У„УЗ, У,), ГДЕ 4Р(У„УИ У4)=2У,У,+2УЗУ,. Здесь нужно вспомогательное преобразование: У~ =го Уз гз~ уз гз+гз у„=г,, после которого 4Р ~уз> Уз У4) =- 2гз+ 2гзгз+ 2гзг4 = =2(гз+ аз+ г) — 2(з+ а) =2(гз+ г+ г) 2 1 з — — г — г г — -г-. 2 З З 4 2 4 Теперь делается замена г,=. иь ИЗ И4 гз из 2 2 ' гз = "з г4 = И4, после которой придем к равенству %1уз, уз, У4) = 2из+ Р4(из и4), где 1 1 1, ~Р (и, и)= — — и — ии — — и = — — зи +и). з з I з з'4!гзззз421зд' Очередная замена: и,=о„ Из оз~ Из = Оз — ОФ И4 = ОФ 1 которая дает 4Р,1И, и4)= — — озз. Итак1 з' 1 = У4 + 4Р (Уг Уз' У4) = г~~ + 2гз + 2гзгз+ 2гзг4 цз+ 2цз+ (Р ~и ц ) оз + 2оз 1 оз Фи линзинов птзовьхзозлние к нлноиичнскомт випх '49 Результирующая подстановка: 1 1 > ! 1 1 2 2 )с, 1 1 о ! -з о1- — о ! 2 о 1 2 о о о (::> В этом примере перед вторым шагом мы «споткнулись» о вспомогательное преобразование.
4. Ранг квадратичной формы. В терминах матриц теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметричной матрицы А существует такая невырожденная матрица В, что ВтАВ = О, где 0 — диагональная матрица. Обозначив С =  — ', получим А= С"0С. Из доказательства теоремы ясно, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов — например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению нвадратов», Поэтому матрицы В и 0 определяются неоднозначно.
Однако число ненулевых элементов матрицы 0 однозначно определено, именно, оно равно рангу матрицы А. Этот ранг называется рангом квадратичной формы. Для доказательства установим .сначала справедливость следующих предложений. Предложение 2. Ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных1 не превосходит ранга каждого из сомножителей. . Доказательство. Столбцы матрицы АВ являются пикейными комбинациями столбцов матрицы А.
Поэтому ранг АВ, равный максимальному числу линейно независимых столбцов, ие превосходит ранга А. С другой стороны, строки АВ являются линейными комбинациями строк В, поэтому ранг АВ не превосходит ранга В. Предложение 3. Если один из сомножителей есть квадратная невырожденная матрица, то ранг произведения равен рангу другого сомножителя.
Действительно, пусть С = АВ и  — невырожденная квадратная матрица. Тогда ранг С не превосходит ранга А. Но А = СВ-', так что ранг А не превосходит ранга С. Следовательно, эти КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ !ГЛ У ранги равны. Аналогичное рассуждение применимо к случаю, если левый сомножитель есть квадратная невырожденная матрица. Из предложения 3 непосредственно следует: если Р = ВАС, гда В и С вЂ” невырожденные квадратные матрицы, то ранги матриц Р и А совпадают. Применяя это к матричному равенству Р = С'АС, ьн ам ° ° ° еы ° ° ° вы ам ам ..
«ть вть ан а ...а, Аь= а, а ... и„„ аи аьз " 'ы " 'ь» з„1 аьз ... «„ь ... аьь где С вЂ” иевырожденная квадратная матрица, получим, что ранги Р и А совпадают. Но ранг диагональной матрицы Р, очевидно, равен числу ее ненулевых элементов. Итак, число ненулевых коэффициентов после приведения квадратичной формы к каноническому виду не зависит от способа приведения и равен рангу матрицы квадратичной формы. 5. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредствол1 унитреугольногопреобразовании переменных. Вернемся еше раз к доказательству теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Если на каждом шагу индуктивного рассуждения «выделение квадрата» происходит без вспомогательного преобразования, то иа каждом шагу матрица преобразования имеет вид правой унитреугольной матрицы.
Так как произведение правых унитреугольных матриц есть, очевидно, правая унитреугольная матрица, результирующая матрицы преобразования будет тоже правой унитреугольной. Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма с невы« рожденной матрицей могла быть преобразована к каноническому виду преобразованием переменных с верхней унитреугольной матрицсй, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых сублттриц ее матрицы были отличны от нуля. Доказательству этой теоремы предпошлем другую теорему, представляющую самостоятельный интерес. Теорема 5.
Для того чтобы квадратная невырожденная матрица представлялась в виде произведения левой унитреугольной, диагональной и правой унитреугольной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц были отличны от нуля. Такое представление однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Фп линвинов пеиовв»зов»нив к к»ноническомт виля 151 Фак что А = А„. Пусть, далее, о ...
о ... о аи ! ... о ... о ь„ь„... ! ...о л! »л» ''' »» ( 1 с ... сы ... с,„ О ! ''' »2» ''' с» О О ... ! ... с»„ О О ... О ... ! 0=О!ац(с!», с!ь ..., »!», ..., с(,), 0» —— йад(с!!, !1ь .„И») и А=ЕР»с. Тогда де1А=де1Еде10бе1й= с(!с!» ... с(, и, так как де1АчьО, должно быть с!!ФО, 1=1, 2,, и. Легко видеть, что А» = Е»Р»К», отк да следует, что бе1 А» — — бе1 Р, = с1!с!» ... с(» чь О. остаточиость. Применим метод математической индукции по субматрицам А!, Аь ..„Аы ..., А„= А При я= 1 утверждение теоремы тривиально.
Пусть оно верно для А» !, и в атом предположении докажем его для Аь Разобьем матРицУ А» и искомыс Ем сг», 0» на клетки, выделив блок А» ь так что (!с» ! у) Здесь и =(а~», ..., а»-ь»)т, о =(а»ь ..., а»,»-~), х — неизвестная строка в матрице Е», у — неизвестный столбец в матрице И», еимволом О обозначены нулевые строки и столбцы. Пусть А» = Е»РЯ». Выполняя умножение по правилу умножеиия блочных матриц, получим Е» !Р» Д» !=А» !, 1.»,0»,у = и, хР» ф» !=о, хР»,у + ໠— — а»». х! силу индуктивного предположения Е» !, 0»-! и Я» ! можно считать известными, обратимыми и определенными однозначно.
Тогда 152 кВАлРАтичпые ФОРмы 1гл. у однозначно определяются у, х и й», именно, у = О» ~Е» ~и, х = е)э» ',О-', и й,=а„,— хО,,у Остается убедиться в том, что й» ~ О, что нужно для обратимости Ом Но бе1А,=де) О, =бе) О,, й», е»1 А» откуда й»= е, ' =~ О. Теорема 5 доказана полностью. Теперь легко доказать теорему 4. Пусть А — невырожденная матрица квадратичной формы, допускающей унитреугольное преобразование к канонической форме. Тогда А = Я'Огг, где гт' — правая унитреугольная матрица, И' — левая унитреугольная.
В силу теоремы 5, в части необходимости все определители верхних угловых субматриц отличны от нуля. Обратно, если все такие определители отличны от нуля, то А = ~Ой (в прежних обозначениях). Но А симметрична, так что А = — Л' = Я'ОЕт. В силу однозначности разложения должно быть Е' = й, т е. А = ггтОЯ, что обозначает, что квадратичная форма приводится к каноническому виду посредством линейного преобразования переменных с правой уннтреугольной матрицей И. $ 2. Закон инерции квадратичных форм В этом и следующем параграфах речь будет идти только о квадратичных формах с вещественными коэффициентами и о линейных подстановках переменных с вещественными коэффициентами.
!. Положительно определенные квадратичные формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Примером положительно определенной формы от переменных хь хм ..., х„может служить форма х»1+х,'+... +хе. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением нулевого значения при нулевых значениях переменных.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений. Так форма х'-, — 2х,х + х~=(х, — х.)э положительно полу- определена. Форма х';+ х' как форма от двух переменных х1 и хе положительно определена, но как форма от трех переменных хь х,, хь лишь полуопределена. Квадратичные формы, принимающие, как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными. зАкои иннРции кВАдРАтичных ФОРМ Для и =! ненулевая квадратичная форма ахз либо положительно определена (при а ) 0), либо отрицательно определена (при а ( 0).
Неопределенные формы появляются, начиная с п=2. Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы после приведения ее к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных были положительны. Доказательство. Пусть форма 1(хь хв ..., хл) преобразуется в каноническую а,у',+агу~+ ... +алул посредством линейной подстановки с невырожденной матрнцей: Х,=Ьиу,+Ь„у,+ ... +Ь„,ул, ХК=Ь„у, + Ь, у, + ... +Ьглул, хл=Ьл,у, +Ь„,у,+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
