1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Преобразуем эту форму к каноническому виду ортогональным преобразованием Х = Р Б. Это преобразование не изменит матрицы формы г',+г,'+... +г~, нбо РГЕР= Р'Р==Е в силу ортогональности матрицы Р. Итак, результирующее преобразование Х = СОРБ приводит обе формы к каноническому виду, 'причем положительно определенная приведется к виду чистой суммы квадратов и', + и,' + ...

+ и„'. Теорема доказана. Остановимся еще на некоторых подробностях. Пусть М =- = СРР— матрица результирующего преобразования. Тогда М'АМ = йад(ЛН Лм ..., Л„), где Ль Лм ..., Л,— некоторые Вещественные числа и МГВМ = Е= д(ап(1, 1, ..., 1). Тогда Мт(ГВ А)М йаи(1 Л~ 1 Лз 1 Л ) 164 КВАДРАТИЧНЫВ ФОРМЫ [Гл. ч И йе(М'(1 — А)М =(1 — Х1) (1 — Х,) ... (1 — )~„). Пусть йе1В=Ьо Тогда (йе1М)т=Ь ', так что йе1(1 — А) = Ьь(1 — Х,) (1 — Хт) ... (г' — А„). Тем самым коэффициенты Ан Ат, ..., Х„оказываются равными корням полинома йе1(1 — А), который иногда называют характеристическим полиномом матрицы А относительно матрицы В. Ясно, что этот полипом лишь множителем Ьз отличается от полинома Йе1((Š— В-'А), т.

е. от характеристического полннома матрицы  — 'А. Из равенств МтАМ = й(ац(ХН Хь ..., А,) и МтВМ = гйаи(1, 1, ..., 1) следует (МтВМ) — НМтАМ = М-'В-'АМ = й(ао(~, Хз й„) так что матрица В-'А подобна диагональной матрице й1ай(хь Хь ..., А,„) и все ее собственные значения вещественны. То же относится и к матрице АВ-' = В(В-'А)В-', которая подобна матрице В-'А.

Матрица положительно определенной квадратичной формы называется положительно определенной митрицеи. Покажем, что матрица, обратная к положительно определенной, сама положительно определенная. Действительно, если В положительно определенная, то существует невырождениая матрица С такая, что В СЧ)С, где  — диагональная матрица из положительных чисел. Тогда В-' =С-'В-'(Ст) ' =Сто-'СР где С1 =(Ст)-'. Это значит, что хвадратнчная форма с матрицей В-' приводится к канонической форме с матрицей 0-', составленной из положительных чисел. Сказанное выше о матрицах  — 'А и А — ' мы теперь можем сформулировать так: Матрица, являющаяся произведением двух вещественных симметричных матриц, из которых одна положительно определенная, подобна вещественной диагональной матрице, н все ее собственные значения вещественны.

Заметим, что произведение двух симметричных матриц, вообще говоря, не симметрично. $ 4. Эрмитовы формы 1. Определение эрмитовой формы. Близким аналогом теории вещественных квадратичных форм при переходе к полю комплексных чисел является тедрия так называемых эрмитовых форм Эрмитоеой формой называется многочлен от комплексных перел меиных хь кц .... х„и сопряженных Уь йь..., х„вида ~ аих,хп А~ ! причем предполагается, что ап = аи. В частности, все диагональные коэффициенты вещественны. Напомним, что матрнцей С', эРмитовы ФОРмы сопряженной с комплексной матрицей С, называется транспонированная матрица, в которой все элементы заменены комплексно сопряженными, так что С' = Вг.

Эрмитову форму можно записать в матричных обозначениях в виде Х'АХ, где Х = (хг, хгь ., л.„)", причем матрица Л ее коэффициентов обладает свойством Л' = А самосопряженности или эрмитовости. При линейном, преобразовании переменных Х = ВУ предполагается, естественно, что сопряженные преобразуются с сопряженными коэффициентами, т. е. Х = ВУ, и тогда Х* = У*В'.

Эрмитова форма преобразустся по формуле Х'АХ-г- У'В*АВУ. Ясно, что матрица В"АВ останется эрмитовой, нбо (В*АВ)' = В"А'В'*= В"АВ. Отметим, что значения эрмитовой формы при всех комплекс. ных значениях переменных вещественны. Действительно, пусть Х вЂ” некоторый столбец из комплексных чисел и г = Х*АХ. Тогда = Х'А*Х"* = Х'АХ.= (, так что г вегцественно.

Определители эрмитовых матриц тоже вещественны. Действительно, бе1 А = йе1 А йе1 А' = йе1 А. Заметим еще, что эрмитова форма с диагональной матрицей имеет вид йгх,хг + йгхгхг + ... + й хпх„= йг ) хг ) г + йг|хг г г + ... ... + й,~х,(з с вещественными йг, Им ..., й,. В частности, эрмитова форма с единичной матрицей есть )хг)з+)хг)з+ ... +(х,)з. 2. Свойства эрмитовых форм. Эрмитовы формы обладают свойствами, аналогичными свойствам вещественных квадратичных форм. Доказательства соответствующих теорем тоже почти дословно повторяют аналогичные доказательства для вещественных квадратичных форм.

Поэтому мы позволим себе сформулировать эти теоремы, опустив их доказательства. Теорем а 1. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду (с диагональной матрицей) посредством преобразования переменных с невьгрожденной комплексной матрицей.

Теорема 2. Ранг матрицы эрмитовой формы равен числу ненулевых коэффициентов в канонической форме. Эрмитова форма (и ее матрица) называется положительно определенной, если все ее значения положительны, кроме значения при нулевых значениях переменных. Теорема 3.

Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достато гно, чтобы коэффициенты ее канонической формы были положительны. Теорема 4. Для того чтобы эрмитова форма с невыроэсденной .иатрицей приводилась к каноническому виду преобразованием с правой унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы левые верхнив диагональные миноры аг, Ьг, ..., Ьь были ог- КЙАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [ГЛ. Ч личны от нуля. При этом коэффициенты в канонической форме равны Лн Ьи/Лн ° ., Л„/й,-ь Теорема 5. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы верхние диагональные миноры Ьн Лм ..., Л ее матрицы были все положительны.

Т е о р е ма 6. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в канонической форме не зависит от способа приведения к каноническому виду (закон инерции). Теорема 7. Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны, Теорема 8. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с унитарной матрицей. При этом коэффициенты канонической формы равны собственным значениям матрицы формы, а столбцы преобразующей матрицы равны соответствующим собственным векторам. Теорема 9. Две эрмитовы формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к каноническому виду.

Теорем а 10. Собственные значения матрицы, являющейся произведением двух эрмитовых матриц, одна из которых положительно определенная, все вещественны, и матрица подобна диагональной матрице, составленной из собственных значений. ГЛАВА Ч1 ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ В 1.

Теория делимости для полиномов от одной буквы 1. Делимость в кольце. Пусть А — коммутативная ассоциатив.ная область целостности (т. е. кольцо без делитечей нуля) с единицей. Говорят, что элемент а ~ А делится на элемент Ь вЂ”.= А, если существует такой элемент сан А, что а =Ьс. Говорят также, что а — кратное для Ь, Ь вЂ” делитель а, Ь делит а.

Из этого определемия ясно, что если а1 и ат делятся на Ь, то а~ ~ ат делится на Ь. .Далее, если а делится на Ь и Ь делится на с, то а делится на с. -Элемент е кольца называется обратимым илп единицей, если для него существует обратный е-' ~ А, т. е. такой, что ее-' =. 1. Элементы, отличающиеся обратимым множителем, называются ассоциированными. Ясно, что любой элемент делится на ассоциированные элементы и са единицы, Единицы н ассоциированные элементы считаются неинтересными, тривиальными делителями. Необратимые элементы, не имеющие делителей кроме тривиальных, называются неразложимыми.

Теория делимости для данного кольца (или класса колец) заключается в выяснении характера разложения любого элемента кольца в произведение неразложимых. Если такое разложение существует и однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей и замены сомножителей на ассоциированные„то кольцо называется факториальным. Мы уже имели пример теории делимости для кольца целых чисел. В этом кольце имеются только две единицы ~1, неразложимыми элементами являются простые числа и имеет место теорема 'об однозначности разложения на простые множители, т.

е. кольна .целых чисел факторнально. Другим уже известным примером факторнального кольца может служить кольцо полиномов К[х] над алгебраическн замкнутым полем К. В этом кольце неразложимыми элементами являются только полиномы первой степени, которые ассоциированы с линейными двучленами вида х — с. Имеет место однозначное разложение на линейные множители [(х) = аь(х — с~) (х — с,) ... (х — с„). В кольце полиномов К[х] с коэффициентами из произвольного поля К единицами являются все элементы поля К„кроме нуля. Других единиц нет, ибо если Ц,=1, Гь[тен К[х], то степени (~ н [т не могут быть больше нуля, т.

е. [~ и [ь — константы из К. Ассоциированными являются полиномы, отличающиеся множите- !Гл. чъ ПОЛИИОМЫ И ДРОБИ лями из К. Полиномы со старшим коэффициентом 1 называются нормализованными. Ясно, что любой полинам из К!х) ассоциирован с нормализованным, и два нормализованных полинома ассоциированы, только если они совпадают. 2. Деление с остатком. Теор ем а 1 (о делении с остатком). Длл данных полиномов 1, д ен К !х), д Ф О, суи!ествуют и единственны полиномы д и ген К!х) такие, что ! = дд+ г и степень г меныие степени д, Теорема эта очень похожа на соответствующую теорему теории делимости целых чисел.

Полинам д называется неполным частным, г — остатком от деления ! на д. Доказательство. Пусть 1= а х" + а|х"-'+ ... + а„, д = Ьох™+Ь1х — '+ ... + Ь„, причем Ь«ФО. Применим метод математической индукции по степени полинома 1, считая а фиксированным. Пусть и ( т. Тогда ! = у О+1, так что в качестве д можно взять О, в качестве г — сам 1; оба требования будут выполнены.

Этот случай дает базу для индукции. Допустим теперь, что для полиномов степени, меньшей и, теорема доказана и докажем ее для полинома 1, считая и . т. Воспроизведем первый шаг известного процесса деления многочленов, т. е. построим одно- член †' х" и составим разность !1 — †! — †' х" а. Полинам 1о Ьо Ьо имеет меньшую чем и степень, ибо при вычитании высшие члены исчезнут. В силу индуктивного предположения найдутся полиномы д1 и г такие, что 11 = аа, + г и дец г «. деца.

Характеристики

Список файлов лекций