1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Доказательство. Пусть 1~ К[х]. В силу предложения 14 1 делится на непрнводимый полинам фь так что 1 фф. В свою $п теогия делимости для полиномов от одиоя вуквы 173 очередь, [, делится на некоторый неприводимый полинам <рм так что 1» = »р»1» н 1= ~рор»1м и т. д. Процесс выделения неприводимых сомножителей закончится в конечное число шагов, ибо степени полиномов 1, 1ь 1» ... строго убывают. Итак, 1 = »р,~р» ...
»р», где все р~ неприводимы. Остается доказать единственность разложения. Применим индукцию по степени. Базу индукции дают полиномы первой степени. Пусть 1 = <р1<р» ... ~р» и 1= »Р1»Р» ... »Р»вЂ” два разложения полннома 7' на непрнводимые. Произведение 'ф»Р» . »Р~ делится на ~рь В силу предложения 13 один из сомножителей»рь фм ..., ф делится на ~рь За счет изменения нумерации можно считать, что»Р1 делится на ~~.
Так как»Р~ и р1 оба неприводнмы, они ассоциированы, т. е. »р,=с,»р1 при с, ~ К. Положим [ = ~рф, Полипом [1 ы К[к] имеет меньшую степень чем 1 и имеет два разложения на неприводимые сомножители: 1, = ~р, ... ~р» и 71 =(с1ф») ... »рь В силу индуктивного предположения зтн разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности, а значит, такими же будут разложения [= = кргр» ...
~р» и 1= »Р1»Р» ... фь Теорема доказана. Если считать неприводимые полиномы нормализованными, то в разложение следует ввести константный множитель ам равный коэффициенту в старшем члене полинома 1, так что разложение принимает вид 1= а»»р,»р» ... ~р». В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Среди сомножителей могут быть равные, и их можно объединить в степени, Разложение принимает внд 1=а <р"~<р"» ... <р "т, где <рь»рг, ..., »р.,— попарно различные нормализованные неприводимые в К[х[ полиномы.
Это разложение называется каноническим разложением на множители полинома из К[х[. Оно аналогично разложению целых чисел в произведение простых. Предложение 17. Над любсчм полем 'существует бесконечно много неприводимых полиномов. Доказательство проведем по той же схеме, что и доказательство бесконечности множества простых чисел.
Именно, если дана любая конечная совокупность неприводимых полиномов ~рь ~р,, ... ..., ~р„составим полипом Р = кргр» ... ~р»+ 1. Он делится по крайней мере на один неприводимый полипом ф, который не может равняться ни»рь ни»рг, ..., ни ~р», ибо иначе 1 делилась бы на»р.
Таким образом, для любого конечного множества неприводимых полиномов мы можем построить новый неприводимый полипом, не содержащийся в этом множестве, Предложение 17 тривиально, если поле содержит бесконечно много элементов, ибо над таким полем существует бесконечно много полиномов первой степени х — с, которые все иеприводимы, и содержательно лишь для конечных полей, к числу которых принадлежат кольца вычетов по простым модулям. Для любого ко- ПОЛИИОМЫ И ДРОБИ !74 !Гл.
Рп печного поля существует лишь конечное число а" нормализованных полиномов х" + а~х"-'+ ... + а„степени и (здесь 7 обозначает число элементов поля). Поскольку число неприводимых полнномов бесконечно, среди них существуют полиномы сколь угодно высокой степени.При помощи значительно более тонких рассуждений можно доказать, что над конечным полем существуют не- приводимые голнномы любой степени. Вычислим неприводимые полиномы второй и третьей степени над полем пз двух элементов (полем вычетов по модулю 2).
Полниомов первой степени два: х и х+1. Полиномов второй степени четыре: х', х'+1, х'+х и хз+х+1. Из ннх приводимы х', (х+ 1)' = х'+ 1 и х(х+ 1) = х'+ х. Неприводимым оказывается один полипом х'+ х+ 1. Полииомов третьей степени восемь, Из них шесть приводвмы: х' х'(х+ 1) = ха+ хз, х(х+ 1)' = хз [ х (х [ 1) з = хз -1- хь -1- х -[- 1, х(х' -[- х -1- 1) = хь -1- хз -1- х н (х+ 1) (х'+ х+ 1) = х'+ 1. Остальные два полинома х'+ х+! и х'+ х'+ 1 неприводимы. Аналогично, отбрасывая приводимые полиномы, которые легко конструируются из неприводимых полнномов меньших степеней, можно строить неприводимые полиномы четвертой, пятой степеней и т. д. Имеются и другие, более тонкие средства.
7. Каноническое разложение над полем )к комплексных чисел н над полем С вещественных чисел. Каноническое разложение над полем .С нам уже известно. Это разложение г(х) ао(х — х~)"' ... (х — х,) "ь на линейные множители, соответствующие корням [(х). П р е д л о ж е н и е 18. Над полем вещественных чисел неприводичсчми полиномами являются только полиномы первой степени и полиномы второй степени, не имеющие вещественных корней. Доказательство.
Пусть 1= аьх" + ... + а„ь= !к[х] и и ) 2. Если полинам ! имеет вещественный корень, то он имеет делитель первой степени и, следовательно, приводим. Неприводимыми могут быть только полиномы, не имеющие вещественных корней. Пусть 1 — такой полином. Он имеет по крайней мере один комплексный корень хь — — а+ Ь~', при Ь ФО. Рассмотрим вспомогательный полипом <р (х)=(х — хь) (х — х,) =(х — а — Ы) (х — а+И)=х' — 2ах+ а'+ Ь'. Ясно, что ~р(х) ~ Й [х] и Ч~ неприводим над Р, ибо иначе он имел бы делитель первой степени и вещественный корень. Полиномы ! и у не взаимно простые, ибо имеют общий корень в С и, следовательно, ! делится на ~р. Если степень ! равна 2, то ! ассоциирован с у и неприводим.
Если степень г больше 2, то ! приводим. В силу доказанного предложения каноническое разложение полинома [ев Р[х] имеет вид: ((х)=а (х — х,) ~ ... (х — хь)ь(х'+р,х+й,)' ... (хз+р,х+о,)'г, ПРОИЗВОДНАЯ $2! 17$ где полиномы х»+ ргх+ йч еи )к [х] не имеют вещественных корней, т. е. р; — 4г)г( О. Отметим простое, но важное следствие: если полинон с вегцественными коэффициентами имеет комплексный корень а+ Ь(, Ь Ф О, то он имеет и сопряженный корень а — Ьг той же кратности. Действительно, комплексные корни а+Ьг при Ьььб являются корнями полиномов второй степени, входящих в каноническое разложение, а каждый такой полипом вместе с корнем а+ Ьг имеет корень а — Ьг. П р и м е р. Найти каноническое разложение в Р [х] полннома х»" + 1. Здесь множителей первой степени цет, так как полинам не имеет вещественных корней.
Все комплексные корни простые, так что множители второй степени входят с гюказателямн 1. Сперва напишем разложение в кольце С [х], для чего найдем корни »ь »ь х» = 1( — 1 = ~сов ( — и) + г з! и ( — и) = = соз (2» — !)и . . (2» — !)и 2» +г ейп 2» при й = 1, 2, ..., 2п. Корни х» при й = 1, 2, ..., и имеют аргументы меньше и, так что онн находятся в верхней полуплоскости.
Корни х» при 2=а+1, ..., 2п расположены в нижней полу- плоскости и, в силу следствия из канонического разложения, сопряжены с корнями х» при й = 1, ..., и (легко проверить непосредственно, что х» = х»„-»). Поэтому ь »ь и х'" + 1 = Ц (х — х») Ц (х — х») = Ц (х — х„) (х — х») = »-г » ь+! »-г = »(1 (Ал — (х»+ х») х+х„х») = Ц (х» — 2х сов ( ) -]-1). $2. Производная 1. Определение производной и формулы для ее вычисления. Введем понятие производной от полинома 1'(х) еп К[к]. Для полиномов над любым полем обычное понятие производной как предела отношения приращений, не работает, ибо понятие предела, например, для конечных полей не имеет смысла.
Определим производную формально. Именно, производной от полннома [(х) = аьх" + агх" '+ ... + а, гх+ а„ называется полипом 1'(х) = паьх -' + (гг — 1) агхь-а+ ... + а, г. (ГЛ. У1 ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ 176 Производная обладает следующими свойствами. 1. (с)'= б, с — константа. 2. (х — с)'=!. 3. (1, + 1,)' = 1;+ 1;. 4. (с1)'= с1'. Эти свойства непосредственно следуют из определения. б (1112)'=1112+ 1112. Это свойство докажем в три приема.
а) 1,=ах, 12=бхь, так что Ц = аЬх'"+2. Тогда (11)' = (т + Й) абх +"-' = табк +ь ' + яабх'"+2-1 = =(тах -')Ьхь+ ах (ббкг ')=111 +17;, Ь) 11 — — аах'"+ а1х"-'+ ... + а, 12 = Ьх'. Здесь 1112 —— =а,х'" Ьх'+ а,х — 'Ьхь+ ... + а Ьх". В силу свойств 3, 4 и случая а) (1112)'= (аах'")гбх'+ ах'"(Ьхь)'+(а1х"-1)'Ьхь+ + а1х -'(Ьхь)'+ ... +(а )'бхь+ а (Ьк')'. Объединяя нечетные и четные слагаемые, получим (Цг)'=Ц, + + 1112.
с) 11 = аах" + а х -'+ ... + аьь 12 = Ьаг'+ Ь1хь-'+ ... + Ьм тогда 1112 = 11ьах" + 11ь1хь-1+ ... + 11ьь и, в силу свойств 3, 4 н случая Ь), (1112)'=11бах'+11(ба")'+1А'" '+11(Ь1к" ')'+" +11бь+11бь'= -11(б„ь+Ь,х -'+ ... +Ь„)+ Цб,к +Ь,х — + ... +Ь,)'= 1112 + 1112' 6 (Ц2". 12) =Ц2" 12+1112" 12+".+Ц2" 1,. Доказывается индукцией по А, на основании свойства 5. 7 (1')'=б12 112 следует из свойства 6, достаточно положить 11 = 1, = ...
" =12=1 „, 8. ((х — с)",)'= Ф(х — с)" '. Производная от производной называется второй производной, производная от второй производной называется третьей производной н т. д. Легко убедиться в том, что б-я производная от т-й производной равна (й+ т)-й производной исходного полинома. 2. Разложение полннома по степеням линейного двучлена. Пусть 1= аах" + а,х"-'+ ... + а„енб[к[ и х — с — данный линейный двучлен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
