1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Требуется построить экспериментальную формулу, позволяющую вычислять значения функции в точках, для которых эксперимент не проводился. В общем виде задачу оо интерполяции можно сформулировать так. Дана таблица, в которой значениям независимой переменной сопоставлены значения функции.
Требуется найти функцию с такой таблицей значений, Разумеется, в такой постановке задача совершенно неопределенная, и для внесения большей определенности должен быть указан класс допустимых функций (например, класс кусочно линейных функций для линейной интерполяции). Сейчас мы рассмотрим задачу о построении полинома наименьшей степени, принимающего данну1о таблицу значений.
Пусть ' ' ' — данная таблица значений. Разумеется, к1«~ кг .. к„ у!у! у2 ук числа хь хь ..., х„должны быть попарно различны, ибо одинаковым значениям х мы должны приписать одинаковые значения для у н нет оснований повторять одно и то же условие два нлн большее число раз. У нас имеется п условий. Полипом, имеющий и коэффициентов, есть полипом степени л — 1. Поэтому естественно искать решение задачи в виде полннома степени п — 1: у = ао + а~х + ... + а ,х"-'. Поставленные условия означают выполнение равенств: у, =а,+а,х, + ...
+ а„,х",-', ук=аэ+ахк+ ... +й х~ у„=а,+а,х„+ ... +а„,х„"-'. Мы получили систему и линейных уравнений с л неизвестными ам а„..., а„1. Определитель нз коэффициентов этой системы есть уже знакомый определитель Вандермонда 1 к, ... к~ 1 кз кк =Ц (х, — х11. к-! 1. «« ''' «« полиномы н дзови 1гл, и Ои отличен от нуля, ибо все х! попарно различны. Следовательно, задача имеет единственное решение.
Оно дает интерполяционный полипом, степень которого не превосходит и — 1 (она может оказаться меньше п — 1, если один или несколько старших коэффициентов окажутся равными нулю). Интерполяционный полипом степени и — 1 нли меньше является интерполяционным полиномом наименьшей степени, ибо среди полнномов степени меньше а он существует только один и все другие интерполяционпые полиномы имеют степень и и выше. 2. Интерполяциоиная формула Лагранжа. Для интерполяционного полинома степени не большей п — 1 существует несложная формула.
Ее можно получить из решения системы линейных уравнений предыдущего пункта, но мы ее выведем чрезвычайно кратким, но искусственным путем, используя формулу Лагранжа для разложения дроби на простейшие. Пусть к ~ к! к, ... к„ вЂ” данная таблица значений, х! Ф х; и у)д! я! .. як 1(х) — интерполяциониый полинам наименьшей степени. Обозначим Р(х)=(х — х!) (х — хк) ... (х — х„) и рассмотрим рациональную дробь —. Она правильная ибо степень числителя меньше 1(х) Р (к) ' и, и мы можем применить формулу Лагранжа для разложения дроби на простейшие.
Получим 1(к) ~-! 1(к ) Р(х) ~.г Р'(х )(х — к ) Ф ! В правой части равенства все известно, ибо )'(хк) = уь Умножив на Р(х), получим искомую формулу: 1(к ) Р(к) 1(х) = ~ г"'(к ) х — х к-! Эта формула очень удобна для теоретических исследований, но пе удобна для практического вычисления интерполяционного полинома. Например, для функции, заданной таблицей к!1 23 4 у)2 3 4 5 иптерполяционным полиномом является, очевидно, х + 1. По формуле же Лагранжа, исходя из Р(х) =(х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4), мы придем к тому же результату лишь после некоторых интввполяция 1ЕЗ преобразований: Р(х)= — (х — 2)(х — 3)(х — 4)+ ~ (х — 1)(х — 3)(х-4)+ 2 з + — (х — 1) (х — 2) (х — 4) + — (х — 1) (х — 2) (х — 3) 4 5 = — — (х» — 9х'+ 26х — 24) + к-(х' — 8х'+ 19х — 12)— — 2 (х» — 7х'+ 14х — 8) + — (х» — 6х» + 11х — 6) = х + 1.
6 Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Если окажется, что нужно расширить таблицу данных, то построение интерполя- ционного полинома по формуле Лагранжа заставляет выполнить пересчет с самого начала — изменится полипом Р и значения его производных. Выведем теперь из формулы Лагранжа некоторые интерес- ные и нетривиальные тождества, Пусть, как прежде, Р(х) = (х — х1) (х — хр) ...(х — ха) при х; чь хо Положим 1(х) =х*, где з ( п — 1. Получим: к»» Р (к) (»)» Сравним коэффициенты при х"-' в обеих частях равенства.
Ясно, что — „„есть полипом степени а — 1 со старшим коэффи- Р (х) циентом 1. Следовательно, » З Х'. = х» р =0 при а 0,1,...,п — 2, "' (х» и-1 Р' (х») 3. Способ интерполяцип Ньютона. Способ основан на последо- вательном решении интерполяцнонных задач: Интерполяционные полиномы для этих задач обозначим через Решением первой задачи является, очевидно, кон- станта ~~ = дь Сравним решения двух соседних задач 1» 1 и (». Разность (» — (» 1 полиномов (» и (» р обращается в 0 прн х=х„х=хр, ..., х=х» ~ и, следовательно, делится на (х — х1) (х — хр) ... (х — х» 1). Степень (» — (» 1 не превосходит Й вЂ” 1. Поэтому частное есть константа, т.
е. — 1 = А»(х — х1) (х — хр) ... (х — х»-1), 194 полиномы и дгови 1гл ю Положим в этом равенстве х = хм Получим уз — ззз 1(хз) = Аз(хз — х~) (хз — хз) ... (хз — хз 1), откуда кз (з- ("з) А (к — к,) (к — к ) ... (к — кз,) Следовательно, решение последней интерполяциониой задачи есть А~ + Аз(х — х~) + Аз(х — х~)(х — хз) + ... + А„(х — х!) (х — кз) ° ° ° (х ха-1) ю где коэффициенты Аз вычисляются последовательно по выведенным выше формулам. Для коэффициентов можно дать довольно громоздкие выражения непосредственно через данные задачи, в форме так называемых разделенных разностей. Мы ие будем на этом останавливаться. При фактическом вычислении интерполяционного полинома целесообразно записать его в форме А, + А,(х — х,) + Аз(х — х~) (х — хз) + ...
... +А„(х — х~) (х — хз) ... (х — х„~) с неопределенными коэффициентами и затем находить их, последовательно полагая х хь х = хм ..., х = х Например, для рассмотренной выше таблицы х)1 2 3 4 у~2 3 4 3 запишем ~ = А1 + Аз(х — 1) + А,(х — 1) (х — 2)+ Аз(х — 1) (х — 2) (х — 3), Получим при х 1: 2=А,; при х=2: 3=2+Аз, Л, 1; при х=3; 4 2+1 2+2Аз, А, О; при х=4: 5 2+ 1 ° 3+ОАи Лз О. Итак, 1(х) = 2+ (х — 1) х+ 1.
4. Приближенная интерполяция. Задача о приближенном интерполировании особенно существенна при обработке экспериментальных данных. Их, как правило, нельзя считать абсолютно точными, и строить точный интерполяционный полипом не имеет смысла. Часто оказывается целесообразным выбирать полипом возможно более низкой степени так, чтобы он удовлетворял поставленным требованиям приближенно, но наилучшим образом в том или ином смысле. Степень полинома обычно подсказывается условиями задачи, требующей интерполяции. ннтегполяцня Итак, пусть дана таблица данных У У~ У~ ° ° ° Ул н требуется найти полипом 1(х) степени т и — 1, приближенно принимающий данные значения. Числа у» — 1(х») носят название невязок, оии в совокупности должны быть малы.
Основные критерии этой «совокупной малости» следующие. 1. Требуется подобрать )(х) так, чтобы наибольшая по модулю невязка была возможно меньше. П. Требуется подобрать 1(х) так, чтобы сумма модулей невязок была возможно меньше. 1П. Требуется подобрать 1(х) так, чтобы сумма квадратов невязок была возможно меньше. Решение задачи по первым двум критериям непросто и приводится к довольно сложным экстремальным задачам. Гораздо проще решение задачи по третьему критерию.
Оказывается также, что этот критерий наиболее приемлем с точки зрения теории вероятностей. Рассмотрим задачу подробнее. Речь идет об отыскании коэффициентов ао, а„..., а поли- нома 1(х) = аз+ а~х+ ... + а х, обеспечивающих минимум выражения Это выражение есть полином второй степени относительно неизвестных ам аь ..., 'а„. Абсолютный минимум (как функции и+ 1 переменных) будет также минимумом этого выражения, рассматриваемого как функция одного из коэффициентов при фиксированных остальных. Поэтому все частные производные по ам аь ... ..., а в точке минимума равны нулю.
Приравнивая их нулю, получим систему линейных уравнений. Оказывается, что эта система имеет единственное решение, и оно действительно дает минимум. Рассмотрим, например, таблицу х(1 2 3 4 У ( НЗ 1,2 0,8 0,5 Мы видим, что д — почти линейная функция от х в пределах табличных значений, так что ищем решения в виде пол ином а первой степени 1(х) = ах+ Ь.
Сумма квадратов невязок равна: Ф = (а+ Ь вЂ” 1,5)'+(2а+ Ь вЂ” 1,2)з+(За+ Ь вЂ” 08)з+ +(4а+ Ь вЂ” 0,5)з, полиномы и дРови 1гл. ч! 196 Вычисляем производные по а и по Ь: —— (а+ Ь вЂ” 1,5)+ 2(2а+ Ь вЂ” 1,2)+ 3 (За+ Ь вЂ” 0,8).+ + 4 (4а + Ь вЂ” 0,5) = ЗОа + 10Ь вЂ” 8,3; 2,3 (а+ Ь 1'5)+(2а+ Ь вЂ” 1,2)+ (За+ Ь вЂ” О 8)-1- + (4а+ Ь вЂ” 0,5) = 10а+ 4Ь вЂ” 4,0. Решаем систему уравнений: ЗОа+ 10Ь вЂ” 8,3 = О, 10а + 4Ь вЂ” 4,0 = О. Получаем: а = — 0,34, Ь = 1,85, так что решением задачи является 1(х) = — 0,34х + 1,85.
Сравним значения этого полинома с данными задачи; к~ 1 2 3 4 а ! 1,81 1,17 0,83 0,49 Максимальный модуль невязк~ равен 0,03. Вели значения для у измерялись с точностью до 0,05, то построенный полипом дает вполне удовлетворительную точность. ГЛАВА ЧП СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОйчОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ $ 1. Сравнения в кольце полиномов над полем 1. Кольцо вычетов по палимому. Рассматривается кольцо полиномов К(х] над полем К. Пусть ) — данный полипом.
Два поли- нома д, н афган К]х] называются сравнимыми по модулю ), если их разность д~ — дг делится на 1. Сравнение обозначается так. д1 = — йг(гпоб(). Справедливы следующие предложения: П Р е д л о ж е н н е 1. Если д, = — Лг (гпос1 1) и вг = — а«(глод 1), го д1-~- йг — = Ег.г.; Д«(гпод (). Предложение 2. Если д, = — дг(гпод]) и дг = д,(гпоб(), то й!йг = дзп4(гпоб1). Доказательство ничем не отличается от доказательств аналогичных предложений теории сравнений в кольце целых чисел (предложения 3 и 4 $ 2 гл. 1). Попарно сравнимые полиномы объединяются в классы.
Для классов естественным образом определяются действия сложения и умножения: именно, суммой и произведением классов называется класс, содержащий сумму н произведения каких-либо полиномов из этих классов. Корректность этих определений обеспечивается предложениями 1 и 2. По отношению к этим действиям классы образуют кольцо, коммутативное и ассоциативное. Нулем в этом кольце является класс полиномов, сравнимых с нулем, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
