1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Записав равенство =Ааг+Ва+С, получим, что я+ 1 = (Аа'+ Ва+ С) (аг+ а+ + 1) = Аи4+(А+ В)аз+ (А+ В+ С)аг+(В+ С)а+ С. Далее, ссг я 1- 1 н я4 аг+а. Поэтому а+ 1 = А(я'+ а)+(А+ В) (сс+ 1)+(А+ В+ С)я'+ +(В+ С)а+ С. В силу однозначности записи в виде полинома от а не выше второй степени, получаем 2А + В + С = О, 2А+2В+С=1, А+В+С=1. Получилась система трех линейных уравнений с тремя неиз- вестными, и мы знаем заранее, что она имеет единственное ре- шение. Мы легко его найдем: А = — 1, В = 1, С =1. Итак, а+! г + — — — а +а+!.
2. Конструирование простых расширений. Результаты п. 1 показывают, что с точностью до изоморфизма можно конструиро- вать простые расширения поля К, не обращаясь к рассмотрению поля м, из которого берутся присоединяемые элементы. Так, про- стое трансцендентное расширение есть поле рациональных дро- бей К(х) от некоторой буквы. Простое трансцендентное расшире- ние поля К(х) есть поле рациональных дробей от буквы у с коэф- фициентами из К(х). Каждую такую дробь посредством умноже- ния на произведения всех знаменателей коэффициентов при у г (х, у) можно привести к виду и ' ) частного двух полиномов от х 0(х, у) и у, так что двукратное трансцендентное расширение приводит к полю частных кольца полиномов от двух букв, и т. д. Алгебраические же расширения можно конструировать как поля вычетов кольца полиномов по неприводимым полиномам.
Рассмотрим еще один пример. Мы выяснили раньше, что над полем из двух элементов имеется один неприводимый полином )су+ х+! второй степени. ЗОЗ СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ, РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ 1ГЛ. ЧП Поле вычетов по нему состоит из четырех элементов О, 1, р, р-)-1, где через р обозначен класс, содержащий х. Сложение в этом поле совершается естественным образом, только характеристика поля равна 2, так что сложение каждого элемента с собой дает О. Умножение же характеризуется тем, что р'+ р+ 1 = О, т. е, рз= р+1. Как уже говорилось выше, над полем вычетов Ог(р) по простому модулю р существуют непрнводнмые полнномы любой степени. Поле вычетов по модулю неприводимого полинома степени п имеет р" элементов, нбо каждый элемент такого поля можно однозначно записать в виде полннома степени и — 1 илн ниже, н для коэффициентов таких полиномов имеется ровно р" возможностей.
Оказывается, что все такие поля изоморфны, так что различные неприводимые полнномы степени и приводят к изоморфным полям вычетов. Так построенные поля нз р" элементов носит название полей Галуа и обозначаются ОГ(р"). Доказывается, что никаких других полей из конечного числа элементов не существует, ГЛАВА ЧШ ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ $1. Полиномы с целыми коэффициентами Полиномы с рациональными коэффициентами и полнномы с целыми коэффициентами тесно связаны между собой, ибо каждый полипом с рациональными коэффициентами может быть превращен в полипом с целыми коэффициентами посредством умножения на общий знаменатель коэффициентов.
Изучение кольца 7 [к] полнномов с целыми коэффициентами интересно также потому, что х, [х[ есть простейщий пример кольца полиномов над факториальным кольцом. 1. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами. Теорема 1. Если несократимая дробь — явллетсл корнем ч полинома аьх" + а|х"-'+ ...
+а, а„вьО, с целыми коэффициенталпц то ее числитель является делителем свободного члена, а зна.пенатель д — делителем старшего коэффициента. Доказательство. Пусть аз~ — ~ + а, ~ — ) + ... в ... +а„, — '+а„=О. Тогда а,р" + а,р 'д+ ... +а„,рд '+' + а,д' = О и а,д" = р( — аьр"-' — а1р зд — ...
— а„~д"-'), Таким образом, число а,д" делится на р в кольце целых чисел. По условию д и р взаимно просты, следовательно, а, делится на р. Аналогично, из равенства аьр" = д( — а1рп-' — — ап 1рд" ' — алдл 1) заключаем, что аь делится на д. Доказанная теорема дает возможность найти рациональные корни полинома с целыми (следовательно, и с рациональными) коэффициентами в конечном числе действий. Именно, нужно найти все делители свободного члена и все делители старшего коэффициента, составить из них несократимые дроби и испытать посредством подстановки в полинам.
Если во всех случаях испытание даст отрицательный результат, то это значит, что полипом не имеет рациональных корней. Сделанное в теореме предположение о неравенстве нулю свободного члена не ограничивает общности: если свободный член и, быть может, еще несколько младших коэффициентов обращаются в О, то можно вынести из полинома надлежащую степень х так, чтобы после вынесения остался поли- ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1гл. у!и ном с отличным от нуля свободным членом.
Этот полинам будет иметь те же ненулевые корни, что и исходный. Отметим следующее следствие. Если аь = 1, то все рациональные корни полинома являются целыми числами, именно, делителями свободного члена. П р и м е р. Зхз — 10х+ 3. Кандидатами в корни, согласно теореме, являются числа 1, — 1, 3, — 3, 1/3, — 1/3. Подстановка в полипом дает, что корнями являются 3 и 1/3. 2. Редукция полнномов с целыми коэффициентами по числовому модулю, Пусть т — целое положительное число. Два полинома (!(х) и 1з(х) называются' сравнимыми по модулю т, если все коэффициенты их разности делятся на п4.
Полиномы разбиваются на классы сравнимых по модулю т. Все коэффициенты полиномов из одного класса определены с точностью до целых кратных п4, т. е. класс естественно отождествляется с полиномом, коэффициенты которого принадлежат кольцу вычетов х",/те.. Совершенно ясно, что если [! — = [з(гносео т) и !ь — = !4(апой т), то 1! ~ 14 — =14-!-14(тайга) и Ць = Ц4(п4одт). поэтомУ длЯ классов по модулю т естественным образом определяются сложение и умножение, и эти действия совпадают с действиямн сложения и умножения полиномов с коэффициентами из кольца вычетов лт/та у. Особый интерес представляет редукция по простому модулю, так как в результате редукции получаются полиномы над полем ОР(р), и их множество образует область целостности.
Полипом из У,[х] называется примитивны,!, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Так, полипом Зх' — 1Ох+ 6 примитивен, а 2хз — 10х+ 6 не примитивен. Предложение 2 (лемма Гаусса). Произведение двух примитивных полиномов есть прил4итивный полинам. Доказательство. Пусть 1! и гз ен 7, [х] — примитивные по. линомы. Допустим, что их произведение Цз не примитивно. Обозначим через р какой-либо простой делитель наибольшего общего делителя коэффициентов Ц,.
Тогда Я =-1!1,=0 (черточка обозначает результат редукции). Так как кольцо полиномов над полем С4Р(р) есть область целостности, один из сомножителей должен равняться нулю, а это значит, что все коэффициенты 1! или гз ДелЯтсЯ на Р, что пРотивоРечит ЦРеДположенпю о пРимитивности. 3. Теорема Гаусса и факторнальность кольца 7, [х]. Предложение 3. Пусть 1= аьх" + а4х" — '+ ...
+ а, — прилситивный полинам, Ь вЂ” рациональное число такое, что Ь1 имеет целые коэффициенты. Тогда Ь вЂ” целое число. С Доказательство. Пусть Ь = — — иесократимая дробь. По и са! условию, все числа Ьа, = — „' целые, ! = О, ..., и.
полииомы с целыми коэФФициент»ми Числа с и д взаимно просты, следовательно, все а! делятся на д, что возможно только при д = 1, в силу примитивности 1. Теор ем а 4 (теорема Гаусса). Если полипом с целыми коэффициентами раскладывается на два л!ножителя над полем рацио-' нальных чисел, то он может быть разложен на множители с целыии коэффициентами, именна, представлен в виде произведения целого числа на произведение примитивных полиномов. Отсюда следует, что если лелином с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим и над кольцом целых чисел. Доказательство.
Пусть )ен7. [х] и 1= Ц» где 1! и 1» полипомы с рациональными, быть может дробными, коэффициентами. Обозначим через й!! и !чт общие знаменатели коэффициен! - ! тов полиномов [! и [Ф Тогда !! = — !'„[»= — )„где 1! и [» имеют у~ ' и» уже целые коэффициенты. Пусть М! и М» — наибольшие общие делители коэффициентов полиномов 1! и 1» соответственно. Тогда 1!=М!1! н ),=МД, где 1! и 1,— уже примитивные полиномы.
Тогда 1=И= —".,' ~Х н,н, По лемме Гаусса 1!)» есть примитивный полипом и, согласно м,м, предложению 3, рациональное число Ь = — в действительности ж~ ч» целое. Итак, 1= Ь|Д, где Ь вЂ” целое число, 1! и !» — примитив- ные полнномы. Теорема доказана. Очевидно, что результат остается верным, если ) есть произ- ведение нескольких полипомов с рациональными коэффициентами, именно, после вынесения общих знаменателей коэффициентов и наибольших общих делителей коэффициентов получившихся поли- номов мы получим, что ! есть произведение целого числа на про- изведение примитивных полипомов, отличающихся от полиномов исходного разложения лишь числовыми множителями. Очевидно, что примитивные полиномы могут быть ассоциированы, только если оии совпадают нли отличаются множителем — 1.
Теорема 5. Любой полином с целыми коэффициентани мо- жет быть представлен в виде произведения простых чисел и не- приводимых над О примитивных полиномов. Такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей и присоединения к сомножителям множителя — 1, Действительно, от разложения 1= »ь,ф» ...
»р» полинома ен Х [х[ на неприводимые множители над О мы можем, в силу теоремы Гаусса, перейти к разложению 1= Ь»Р!»Р» ... »Р», где Ь— целое число, а примитивные полиномы ф!, фв ..., »р» отличаются от полиномов !р!, »рв ..., ф, лишь числовыми множителями. Тем самым сомножнтели»р!, »Ь», ..., ф» определены однозначно, с точ- ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1гл.
чггг постыл до порядка следования сомножителей (который совпадает с порядком следования цч, грг, ..., ух) и множителей ~1. В свою очередь, целое число (г, которое равно, в силу леммы Гаусса, наибольшему общему делителю коэффициентов полинома [, однозначно разлагается на простые множители. Ясно, что простые числа и примитивные неприводимые поли- номы являются неразложимыми элементами кольца л [х]. Тем самым доказана Теорема б. Кольцо л, [х] полиномов с целыми коэффициентами факториально, 4. Задача о приводимости полинома над полем рациональных чисел. Поставленную задачу достаточно исследовать для полиномов с целыми коэффициентами, ибо любой полипом из (1[х] ассоциирован с полиномом из л, [х].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
