1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Но, будучи непрерывной функцией, она не может изменяться скачками и потому остается равной нулю при всех 1, Пусть теперь линия, по которой двигается г, замкнута. Это значит, по-прежнему, что г = г(1) — непрерывная функция от вещественной переменной 1, а < 1 < Ь, и г(Ь) =- г(а). В этом случае, при непрерывном изменении аргумента, мы можем получить при 1 = Ь значение аргумента, Отличное от значения при 1 = а Разность значений аргумента может равняться только целому кратному й 2п числа 2п. Коэффициент й имеет ясиый геометрический смысл. Он равен числу полных оборотов вокруг начала координат радиус-вектора точки г(1) при обходе этой точкой лиА 1гл.

~х мо РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕП ПОЛШЮМА нии в направлении возрастания параметра Г, с учетом знака в соответствии с направлением обхода. Так, для приращения аргумента г(1) на рис. 10 при указанном направлении обхода й = 2, при противоположном й = — 2. 2. Принцип аргумента. Пусть функция г=г(1) непрерывна при и ( г = Ь, г(а)=г(Ь) и, за исключением этого случая, г(1,)чь чья(гз .при 11 ~ 1ь В этой ситуации г описывает простои замкнутый контур, т, е. непрерывную замкнутую линию без самопересечений, Имеет место замечательная топологическая теорема Жордана о том, что простой замкнутый контур разбивает плоскость на две связные части — внутри и вне контура (фигура иа плоскости называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей на ней).

Теорема Жордана тривиальна для окружности — точки ее внешней части Рис. 11. характеризуются тем, что расстояние от них до центра больше радиуса, точки внутренней — тем, что это расстояние меньше радиуса. Теорема «на глаз» очевидна, если контур несложен, но наглядность теряется для более сложных контуров (см. рис. 11), особенно, если от контура ничего ие требовать, кроме непрерывности. Лемма. Пусть г проходит простой замкнутый контур в положительном направлении.

Тогда приращение аргумента г — г~ равно 2п или О в зависимости от того, где находится г~ — внутри или вне контура. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся геометрически наглядным случаем выпуклого контура, например окружности. Пусть г, находится внутри контура (рис. ! 2). Число г — г, изображается вектором, исходящим из точки т г1 в точку г.

Ясно, что когда г г обойдет контур один раз в г, г положительном направлении, с вектор г — г~ обернется вокруг своего начала один раз, тоже в положительном направлении, и приращение аргумента г — г1 равно 2я. Пусть теперь г~ находится снаружи контура (рис. 13) . Тогда колебание аргумента г — г1 не превосходит и, так что приращение аргумента может быть равно только нулю, Лемма остается верной для произвольного простого замкну- того контура, но ее доказатвльбтво в общем случае довольно $я РАспРсделение кОРней нА кОмплекснОЙ плОскОсти ЕЕ1 сложно.

Для дальнейшего нам нужен только случай выпуклого контура, в частности окружности. Т е о р е м а (принцип аргумента). Дан простой замкнутый контур и полинам Г'(г), не имеющий корней на контуре. Тогда число корней полинома внутри контура (с учетом кратностей) равно 1 — йагп)(г), где схагп)(г) есть приращение аргу»~енто 1(г), выЕп численное в предположении, что г проходит данный контур один раз в положительном направлению Доказательство. Над полем С, каждый полипом может быть разложен на линейные множители, соответствующие корням.

Пусть )(г)= аь(г — г,) ... (г — г,) — такое разложение. При обходе переменной г контура области все сомножнтели правой части и их произведение 1(г) меняются непрерывно. Можно считать, что агй)(г) = агд аь+ агц(г — г1)+... + агд(г — г,), и, следовательно, Лагй~(г)=Ласк(г — г~)+ ... +Лагд(г — г„). Здесь приращения отсчитываются при однократном обходе г по контуру области. Слагаемые в правой части равны 2п или О, в зависимости от того, лежит ли соответствующий корень г, внутри илн вне контура.

Поэтому й агд)(г) = тп 2п, где т — число корней, расположенных внутри контура, что и доказывает теорему. Теорема позволяет фактически найти число корней в данной области, ограниченной простым замкнутым контуром. На контуре нужно взять достаточно густую сетку точек, в каждой точке вычислить значение полинома, нанести их на чертеж и проследить за приращением аргумента. Правда, заранее неизвестно, насколько густую сетку точек нужно взять. 3. Теорема Руше. Имеются случаи, когда принцип аргумента позволяет найти число корней полинома в области почти без вычислений.

Рассмотрим пример. Требуется узнать, сколько корней имеет полинам г' + б㻠— 3 внутри единичного круга ~г) ( 1. На контуре г = е", О ( 1 ( 2п, второе слагаемое 5г» = бе"' преобладает по модулю над остальными, ибо )бг»(=5, а (гь — 3) = 1+3 = 4. Ясно, что пока г обходит один раз единичную окружность в положительном направлении, бг» обойдет окружность радиуса 5 два раза, а Г(г), будучи «привязан» к бг» вектором, изображающим г' — 3, длина которого не превосходит 4, вынужден тоже обойти вокруг начала два раза. Поэтому полинам г'+ б㻠— 3 имеет внутри единичного круга два корня. Пусть теперь требуется узнать число корней этого полннома в круге радиуса 2.

Преобладающим слагаемым на контуре г = 2е", О =' г ( и, оказывается гь = 32еьи, модуль которого равен 32. Сумма остальных слагаемых 5ге — 3 по модулю не превосходит 5 2»+3 = 23. Слагаемое г' обходит начало координат 5 раз, и г(г), отходя от г' не более чем на 23 единицы, тоже обходит начало 5 раз. Число корней полинома в круге радиуса 2 равно 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕИ ПОЛИНОМА (гл.

ох 222 Итак, мы узнали, что г'+ бг' — 3 имеет 2 корня в единичном круге и В корня в кольце между окружностями (г(= 1 и (г(= 2. Приведем теперь теорему, частными случаями которой явля. ются только что приведенные рассмотрения. Теорема (Рушс). Пусть полинам ('(г) = ~~(г)+1»(г) представляется в виде суммы двух полиномов, и на контуре области вьчполнено неравенство !1»(г) ) ())1(г) ). Тогда число корней полиномов ('(г) и 11(г) внутри области одинаково. До к аз а тельство. Прежде всего убедимся в том, что к полиномам 1,(г) и ((г) можно применить принцип аргумента.

Из неравенств )(~(г) ) )(1»(г) ( и !1(г) !) ))~(г) ) — )1»(г) )) О, справедливых для всех г на контуре, следует что 11(г) и 1(г) не обращаются в О на контуре. Далее, )(г) =7,(г)(( + — 1, так что Л (») 1 1~ (») .3' Лаги)(г)=Лага),(г)+Лагу (1+ ( ). пока г проходит кан)о (») )о(») ) 2 ~» тур области. Далее, из ~ ' ~ < 1 следует, что 1 + — ' имеет 1,(») ~ 1~ (») значения, лежащие внутри круга с центром в точке 1 н с единичным радиусом, так что все они находятся в правой полуплоскости. Вектор, исходящий нз О в точку 1 + —, не может повернуться )о (») 1 (») ' вокруг начала, так что Лагд (! + ) = О. Следовательно 1» (»] х 1~ (») ) Л агд )(г) = Л агд )~ (г) . Согласно принципу аргумента, число корней полиномов ~,(г) и 1(г) внутри области одинаково, что и требовалось доказать. 4.

Непрерывность корней полинома. Пусть дан полинам (о(г). Покажем, что его корни меняются непрерывно при изменении коэффициентов. Именно, при достаточно малом изменении коэффициентов корни меняются сколь угодно мало, но только кратные корни могут распадаться, превращаясь в совокупность корней в количестве (с учетом кратностей), равном кратности исходного корня. Действительно, пусть г, — корень кратности й для полинома 1,(г) и пусть 1(г)=(о(г)+д(г) — полинам, полученный из 1о(г) малым изменением его коэффициентов. Окружим корень го сколь угодно малой окружностью, причем настолько малой, чтобы в огРаниченном ею кРУге ие было коРней полинома (о(г), кРоме го. Пусть т =!Н1((о(г) ) при г, меняющемся иа окружности.

Так как функция (1(г) ~ непрерывна и не обращается на окружности в нуль, »и ) О. Возьмем коэффициенты полинома д(г) столь малыми, что на окружности (д(г) (( т. Тогда на этой окружности выполнено условие теоремы Руше, н полинам 1(г) имеет столько же корней внутри круга (с учетом кратностей), сколько их имеет )о(г), т. е. /г.

В частности, простой корень при малом изменении коэффициентов немного перемещается, оставаясь простым. Если коэффи- % з! РАспРеделение ВещестВенных кОРней полнномА вез циенты зависят от вещественного параметра !, являясь не только непрерывными, но и дифференцируемыми функциями, то простые вг, ! в/, корни имеют производные по !, именно, — = — —, !о (гь) В точках, где эта производная отлична от нуля, корень перемещается по гладкой кривой. Картина усложняется, когда корни «сталкиваются», превращаясь при некотором значении ! в кратный корень. Рассмотрим простой пример. Пусть /(г) = г' — 2г+ + г прн О ~ Г( 2. Прн ! = О корни равны О и 2.

Характеристики

Список файлов лекций