1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Теорема Гаусса позволяет дать способ разложения полиномз с целыми коэффициентами иа два множителя или убедиться в его иеприводимости над Я. Способ этот теоретически прост, но практически довольно громоздок. Опишем его. Пусть дан полином [= аьх" + а~х"-'+ ... + а„, а~ чих,. Допустим, что он приводим над Я. Тогда существует, согласно теореме Гаусса, его разложение на два множителя с целыми коэффициентами: [= [1[г, [ь [г~ У [х]. Сумма степеней [г и гг равна и, значит, степень одного из них, положим, [ь не превосходит й = = [п/2].
Мы знаем, что полипом, степень которого не превосходит й, вполне определяется, если для него известно й+1 значение, согласно решению задачи об интерполяции. Возьмем й+ 1 целых значений для х: ХЬ, ХЬ ..., ХА, Х~ЧЬХЬ Х;ЕПХ. Если произойдет такое счастливое обстоятельство, что одно из выбранных чисел окажется корнем полинома [, то задача решена, 1 приводим, и мы можем написать его разложение на два сомножителя. Положим теперь, что Г(х~)ФО при 1= 0,1, ..., й. Из равенств [, (хг) [г (х;) = [(х;) заключаем, что числа [,(хг) нам «почти» известны. Действительно, [1(х;) н гг(х;) — целые числа, так что [1(х;) является одним из делителей известного нам числа ](х~). Для (~(х;) имеется конечное число возможностей.
Обозначим через й число делителей числа )(х,). Составим таблицы х]хь х,...х У] "ь "~ "г расставляя в нижние строки наборы нз всевозможных делителей чисел [(хь), [(х,), ..., Цхг). Число таких таблиц конечно и равно ГАГ, ... Гм ибо ~'-е место в нижней стРоке можно заполнить й способами. Построим для каждой таблицы интерполяциоиный поли- $ н полиномы с целыми коэФФициентьми ном. Если 1 приводим, то его множитель 11 найдется среди построенных полиномов. Поэтому, построив интерполяционные полн- номы, нужно выбросить те, у которых имеется хотя бы один дробный коэффициент (ибо искомый 11 имеет целые коэффициенты), а полиномы с целыми коэффициентами испытать посредством деления на них полинома 1.
Если испытание в каком-то случае даст положительный результат, то полипом 1 приводим, и мы нашли его разложение на два множителя. Если же испытание во всех случаях даст отрицательный результат, то полнном 1 неприводим. Тем самым поставленная задача решена в конечном числе действий. 5. Редукционный признак иеприводимости полинома.
Теорема 7. Пусть р — простое число, 1'= аох" + ... +а„еи е Е (х], ао чоо 0(шод р) и редукция г полинома 1' по модулю р неприводима. Тогда 1 неприводим над Я. Доказательство. Если 1 приводим над (г, то по теореме Гаусса имеет разложение на множители с целыми коэффициентами 1=11(о, где 11 — — Ьох + ... +Ь и (о=сох'+ ... +ем при пг ) 1 н й = 1. Из ао = Ьосо и аоФО заключаем, что бочьО и с,ФО. Таким образом, 1 = ~А, ~~ = бох + ... +Б„, и =сохо+ ... + Ьм Оба полинома 11 н )о отличны от констант. Мы пришли к противоречию с условием, которое и доказывает теорему.
П р и м е р. Легко установить, что полипом х" + хо + хо+ х+ 1 неприводим по модулю 2, Отсюда следует, что любой полином четвертой степени с нечетными коэффициентами неприводим над Я. 6. Признак неприводнмости Эйзенштейна. Теорем а 8. Пусть р — простое число, 1'= аох" + а,х -'+... ... +а„оиУ (х), а,4-=0(гпобр), а; 0(шобр) при 1=1, ..., и и а„чи 0 (гпод р'), Тогда 1' неприводим над (г. Доказательство. Пусть 7 приводим над () и пусть 7'= =11(о, где 11=Ьох + ... +Ь, 7о=сох" + ... +с„т)1, й ~ 1, — разложение 1 на множители с целыми коэффициентами, которое существует в силу теоремы Гаусса. Переходим к редукции по модулю р. Ясно, что ( = а,х" и 1 = = (11о. Одночлен х неприводим над ОР(р) и, в силу однозначности канонического разложения над полем, заключаем, что ~~ — — Ьох и (о = сохо. Поэтому все коэффициенты, кроме старших, полнномов 11 и /о делятся на р.
В частности, Ь = 0(пюд р) н со = — 0(шод р). Следовательно, а. = Ь со делится на ро, что противоречит условию теоремы. Это противоречие доказывает теорему. Пример 1. х" +2Ь~х" '+ ... +2Ь, |х+4Ь„+2 при Ьь Ьо, ..., Ь„еи У неприводим над (") в силу применимости признака Эйзенштейна для р = 2. П р и м е р 2. 1 = — „= хо ' + хо '+ ... + 1, р — простое число.
Здесь признак Эйзенштейна непосредственно ие применим. полиномы о целыми коэввицивнт»ми 1гл. шы рассмотрим полинам у(у) !(у+1). Ясно, что полиномы [ и у приводнмы или неприводимы над (,! одновременно. Имеем: »~»)=К»+-'.=»' '->»»' '~- »'ь ы»'-'» уе-» — 1+ +р Простое р входит в числитель всех коэффициентов, начиная со второго, и не входит в знаменатель й!. Поэтому все коэффициенты, начиная со второго, делятся на р, а свободный член р не делится на р».
По признаку Эйзенштейна полипом у, а вместе с ним и полинам 1, неприводим над (). 2 2. Полиномы от одной буквы над факториальиым кольцом 1. Наибольший общий делитель элементов факториальиого кольца. Пусть А — факториальное кольцо. Оаиболыиим общим делителем двух (или нескольких) элементов А называется общий делитель, делящийся на любой общий делитель тех же элементов. Докажем, что для любых элементов факторнального кольца наибольший общий делитель существует. Доказательство проведем для двух элементов (обобщение на любое конечное множество элементов тривиально).
Пусть а е,р, р,» ... р» и Ь=е,р, р,"и.. р"» — разложение а и Ь на неразложимые множители (здесь е, и е» вЂ” единицы, рь ..., р» неразложимы, допускаются нулевые показатели). Тогда любой общий делитель элементов а и Ь содержит каждое р~ с показателем, не превосходящим как ть так и пь Поэтому г(=р, "( '"')р,""( '"') ... р„"!»' "»1 будет наибольшим общим делителем. Заметим, что линейного представления наибольшего общего делителя в факториальном кольце может и не быть. Так, в кольце 7 [х] элементы 2 и х неразложимы, их наибольший общий делитель равен 1, но равенство 1 = 21 +ху при 1', уев Е[х], невозмшкно, ибо полиномы в правой части равенства имеют четный свободный член. 2. Сравнения в факториальном кольце.
Пусть А — факториальиое кольцо и т — некоторый его элемент. Элементы а, Ь ен А называются сравнимыми по модулю т, что обозначается а = ~ Ь(шоб т), если их разность а — Ь делится на т в кольце А. Ясно, что все элементы А разбиваются на классы попарно сравнимых. Далее, очевидные предложения: если а~ — Ь|(шобт) и а, вм Ь,(шод т), то а~ ~ а» = Ь, -». Ь»(шос1 т) и а~а» = Ь~Ь,(шоб т) позволяют превратить множество классов в кольцо, при естественном определении действий сложения и умножения. Это кольцо называется кольцом вычетов по модулю т и обозначается А/тА. полиномы НАд ФАктогилльным кОльцом Предложение 1.
Кольцо вычетов А/рА гранториального кольца по неразложимо.яу элементу р есть область целостности. Доказательство. Пусть а, ЬепА н а, Ь вЂ” содержащие нх классы по модулю р. Допустим, что аЬ=О. Это означает, что аЬ делится на р. Разложим а и Ь на неразложимые множители. Неразложимый элемент р должен входить в обьединение неразложимых множителей, входящих в а и Ь, в силу однозначности разложения. Следовательно, р входит в а нли в Ь, т.
е. а = О нли 6 О. Заметим, что для колец А Ж и А=К[х] кольцо вычетов было не только областью целостности, но даже полем. Вообще жа это ие так. Например, для кольца А У[х] элементы 2 и хэ+1 неразложимы, А/2А есть кольцо полиномов пад полем ПР(2) вычетов по модулю 2, А/(х'+ 1)А изоморфно кольцу комплексных чисел с целыми компонентами. В обоих случаях это не поля. 3. Лемма Гаусса. Полинам нз кольца полииомов А[х] с коэффициентами из факториального кольца А называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1.
Если т~А, то полнномы нз А[х] разбиваются на классы сравнимых по модулю т, если отнести в один класс те, разность которых имеет коэффициенты, делящиеся на т. Ясно, что для классов единственным образом определяются сложение и умножение, по отношению к которым классы образуют кольцо, изоморфное кольцу полиномов над кольцом А/тА. Пр едл о жение 2 (лемма Гаусса). Лроизведение двух примитивных полиномов из А[х] есть примитивный полинам. Доказательство. Допустим, что произведение 11[э двух примитивных полиномов не примитивно. Пусть р — неразложимый элемент, входящий во все коэффициенты Ць Переходя в кольцо классов вычетов по р в кольце А[х], получим ЦА=О.
Но это кольцо есть кольцо полиномов над областью целостности А/рА, и потому само является областью целостности. Поэтому либо = О, либо Гз — — О, что противоречит примитивности [~ н ]ь Ясно, что лемма остается справедливой для произведения любого числа примитивных полиномов. 4. Факториальность кольца полиномов иад факториальным кольцом. Пусть А — факториальное кольцо и К вЂ” его поле частных. Предложение 3. Если 1 ~ А[х] — примитивный полинам и с еп К такое, что с[ еп А [х], то с еп А.
Ь Доказательство. Пусть с= —. Без нарушения общности в можно считать, что н.о.д. (Ь, а) равен 1, ибо если Он отличен от 1, 'то — „можно сократить. Пусть 1 аьх" + ... +а„. При любом 1 Ь аЬ вЂ” еп А. В силу факториальности А каждый неразложимый множи~ель с( входит в аь ибо с( и Ь общих неразложимых множителей полиномы с целыми коэфвицивнтьми вао игл. тна не имеют, Следовательно, га — обратимый элемент кольца А, иначе [ не был бы примитивен, так что с е- =А. П р е д л о ж е н и е 4 (теорема Гаусса). Если полинам / еп А [х) приводим над полем К, то он может быть разложен и над кольцом А. Пусть | = Я, где [, еп К[х) и [а еп К[х], Запишем г1 и [а в виде з1д1 и сайм где сь са~К, а д, и да — примитивные полиномы в А [х].
Это всегда можно сделать. Далее, [ = с,сад,дь В силу леммы Гаусса и предложения 3, с1са еп А. Тем самым теорема доказана. Обратимся теперь к разложению полинома на неразложимые множители. Пусть [~А[х) и над полем К разложение г на не- приводимые множители есть [= гр,~а ... грь (равные или ассоциированные множители допускаются). Каждый чч представлен в виде сори где с; ен К, Ф ен А[х] примитивен. Тогда [ = сф|фа ...
... ф,, где с = с1 ... сь и, в силу леммы Гаусса и предложения 3, сев А. Сомножнтели определены однозначно, с точностью до множителей, являющихся единицами кольца А. Они неразложимы, ибо неприводимы над К и примитивны, так что не делятся ни на полиномы из А[х), ни на константы нз А. Далее, с можно разложить на неразложимые в-А множители. Получим Это разложение на неразложимые множители однозначно. Тем самым мы доказали факториальность кольца полиномов от одной буквы над факториальным кольцом. Отсюда немедленно, применением индукции„заключаем, что кольцо полиномов от любого конечного множества букв над факториальным кольцом факториально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
