1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В более точных терминах — для любого е О найдется такое 6 > О, что !р(г) — т(го) ( < В, как только (г — го( < 6. Непрерывность !!(2)) дает основания представлять себе график щ=!1(г)( в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость 1в = О, и местами доходящей до этой плоскости.
Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение го, в котором )(го) =О, и, тем самым, )1(го) (=О, т. е. что поверхность ш = (!(2) ( доходит до плоскости иА = О в точке го. )У(ы докажем, что если дана точка на поверхности гв = !!(2) ), которая расположена выше плоскости и = О, то в ее окрестности найдется точка поверхности, расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности в = !)(2) ) существует самая низкая точка, скажем, прн г = го Она не может находиться выше плоскости ю = О, ибо тогда она не была бы самой низкой.
Следовательно, (1(го) ~ = О и, следовательно, )(го) = О, т. е, г, есть корень полинома 1(г). Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм. Лемма !. Дан полинам )(г) = аог" + ... + а„|г с нулевым свободным членом. Тогда для любого е > О найдется такое 6 О, что !)(2) ) < е, как только )2) < 6. Доказ а тельство. Пусть !2! < !. Тогда (1(2)1=!аог" + + а,г"-' + ...
+ а„,г ! = ! г ! . ! аьг"-' + а,го-г + ... + а„, ! ВЬ <)г!((ао(+)а,!+ ... + !а„1!). Положим (ао!+ !а,!+ ... + (а„1(=М. Если !2 ! < пни(1, — ), то !)(2))«-.)2(М < е < — М = е, что и требовалось доказать. м Л е м м а 2. Полинам есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной. Дока з а тельство. Пусть дан полипом 1(2) и точка г,. Расположим полипом по степеням г — го. !(2) = СО+ С1(2 2О)+ ° ° ° + Со(2 2О)». Тогда со = 1(го), так что 1(2) — !'(го)= с~(г — го)+ ..
+ с„(2 — го)". Правая часть есть полипом от г — го с нулевым свободным членом, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОЫА 2!6 !ГЛ. ?Х По лемме 1 для любого е О найдется такое 6 ) О, что !/(2)— — /(го) ! < е, как только (г — го! < 6, что и требовалось доказать. Лемм а 3. Модуль полинома есть непрерывная функ?!ия. Доказательство. Из неравенства !/(2) — /(го) /) ! !((2) (— — 1/(го) !/ следует, что для данного е О то 6, которое «обслуживает» /(г), подходит и для (/(г) (. Действительно, при ! г — го! < 6 имеем ! //(2)! — !/(го) !! ~ !/(г) — /(го) ! < е.
Лемма 4 (о возрастании модуля полинома). Если /(г) — полинам, отличный от константы, то для любого М ) О существует такое ?г ) О, что (1(г) !) М, как только )г!) /1. Это означает, что любая горизонтальная плоскость ?с = М отрезает от поверхности и?=(/(г) ~ конечный кусок, накрывающий часть круга )2( < !с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть / (г) = а,го + а,гл-' + ... + ал = Выл(1 ! 2-1 („! "2-л) аО2л (1 + ?р (2 — 1)) Гдв ОЬ (2- ) во во полинам от г-' с нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для е 1/2 найдется такое 6 ) О, что при ! г ' ! < 6 будет 1?р(г-1) ( < 1/2. Модуль аог" может быть сделан сколь угодно л большим, именно, при (г! > Ч/2М/!ао! будет )аог"!) 2М. Возьмем !г= п?ах(т/2м/!а,(, 1/6). тогда прн !г!) Я будет (2-1(< 6 л и !г1> 1/2М/!ао1, так что ! /(2)! = !а гл!(1 — !1Р (г ') !) > >2М(1 — — )=М. Л е м м а 5. Точная нижняя грань значений ~ /(г) ~ достигается, т.
е. сУЩествУет такое го, что ! /(го) ) < ! /(2) ( пРи всех г. До к а з а тел ь ство. Обозначим точную нижнюю грань (/(2) ~ 1 через т. Возьмем последовательность т+ —, й = 1, 2, ..., стремящуюся к т сверху. Каждое из этих чисел не является нижней гранью значений !/(2) ~, ибо т — точная нижняя грань.
Поэтому' 1 найдутся го такие, что ! /(гь)! < т+ —, й = 1, 2, ... Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для М = т+ 1 найдем такое !г, что при ) 2( -» !г будет ! /(г) ! > М =в т + —. От- 1 сюда следует, что ~го~ < /1 при всех й. Последовательность г, оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность г . Пусть ее предел равен го.
Тогда !Пп ~/(гл )! =(/(го)! в силУ непРеРывности !/(2)(. КРоме того, о т <~/(гь )~~т+ т-. Поэтому !Пп ~/(гь )~ =т. Итак (/(го) ! ° и?, что и требовалось доказать. существен«нне ко»пей в с эп 217 Лемма 6(лемма Даламбера). Пусть /(г) — пиликала, отличный ог константы, и пусть /(21) Ф О. Тогда найдется такая точка гм что //(го) !(!/(г1) !. Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности ш = = !/(г) ! дана точка, находящаяся выше плоскости и = О, то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Расположим полинам /(г) по степеням 2 21 /(г) = со+ с1(г — га)+ ... + с„(г — г1)". Тогда со = /(г1)чь О. Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого «откусить кусочек» от со, а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным.
Пусть с«(г — г1)« — первое отличное от нуля слагаемое после с„ так что са = ... = с«-а = О (еслн й ) 1). Такое слагаемое имеется, так как /(г) ие константа, Тогда /(2)=со+ с«(г — г,) +с«э,(2 — г,) +'+ ... + с„(2 — г,)" а « со(1 + — (2 — 2~) + о с„ «/с« С л-«11 + (2 21) ~ (2 2~) + ...
+ — (2 — 2~) )) о с с а„ с„ « = со'(! + — (г — г,) + — (г — г,) ф(г — г,)). о са с„ с„ здесь ф(2 — 2,) = — "(г — 2~)+ ... + — "(г — г,)" есть полинам с а от г — га с нулевым свободным членом. По лемме 1 для е = 1/2 найдется такое 6, что )ф(2 — г,) !(1/2, как только !г — г1!(6. с Положим — Й(сов О+ ! в!и О) и г — г, = Г (сов ф+ ! в!п ф).
са Тогда — «(г — г,)" = ЙГ (сов (О+ йф) + ! в)п (О+,Ьр)). Выберем Г аа так, что ЙГ«< 1. Для этого нужно взять г < ~/Г(Й. Далее, положим О+ йф и, т. е. возьмем ф=(п — О)/й. При таком выборе будет — «(г — г,)' — ЙГ«. теперь положим го г,+Г (соз ф+! з!и ф) аа пРи Г < гп!п(6, т/1/Й) и ф=(п — О)/А. ТогДа /(го) =со(1 — ЙГ"— — Йг~ф(гв — г,)) и 1/(2») ! !со !' ! 1 ЙГ ЙГф(2 гъ) ! (~!со!(!1 ЙГ !+ЙГ !ф(22 21)!)(!со!(! ЙГ + — ЙГ)~— !со! (1 — ~ ЙГ") < !со!=!/(га) !.
Лемма доказана. 21В Рхспгкпелснне ко»неи полиномх 1гл. !х Заметим„что с тем же успехом мы могли взять О+ йф = и+ +21п при т = О, ..., й — 1, так что при й > 1 (т. е. в случае, когда г~ — корень кратности й — 1 полинома )'(е)) имеется й направлений спуска по поверхности ге =(1(е) ~. Они разделяются й направлениями подъема при О+ йср = 2зп, э =О, ..., й — 1. Действительно, в этих направлениях — »(з — е,)' = )ст" и ~ 1(е) ~ > сс > 1Р (хо)!(1 1+ лстФ( лст ! Ф(е е1)!) в (г (ео)1 (1 + 2 лтт ) > >!((еь) /. Так что если е1 есть корень производной кратности й — 1, то поверхность ш = !((е) / в окрестности точки з1 «гофрирована» так, что на ней имеется й «долин» спуска, разделенных й «хребтами» подъема. Теорема.
Полинам с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньшей мере один комплексный корень (т. е. поле з ) комплексных чисел алгебраически замкнута), Доказательство. Пусть Г(е) — данный полипом, отличный от константы. Пусть, далее, гп = 1п1~~(е) ~ н е~ — точка, в которой ~((е1) ~ = гп; она существует по лемме 5. Тогда 1(е~)= О, ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка ем что )1(ез) ~ »))(е,) (= 1п((1'(е) ), что невозможно.
й 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной !. Аргумент комплексного числа, изображение которого двигается по непрерывной линии. В этом параграфе мы несколько отступим от того уровня математической строгости, который принят в учебной математической литературе, и позволим себе чуть больше «верить своим глазам», прибегая к наглядным геометрическим представлениям, Пусть комплексная переменная е меняется так, что ее изображение непрерывно двигается по некоторой непрерывной линни, не проходящей через начало координат.
Это значит, что е = е(1) есть непрерывная функция от вещественного параметра г, меняющегося в замкнутом промежутке а»1» Ь, причем з(()ФО при всех значениях й Тогда радиус-вектор лп) точки е(1) будет непрерывно поворачи- ваться вокруг начала координат, изме- »Ф! Ю няясь по длине, но ни разу не сжимаясь в точку, и угол, который он образует с вещественной осью, т, е, агде(1), можно считать тоже изменяющимся непрерывно (рис.
9). Таким образом, выбрав какимРвс. 9. либо способом значение аргумента числа е(а) в начале пути, можно выбрать значения аргумента г(г) прн всех г так, чтобы в целом функция агпе(1) оказалась непрерывной функцией параметра й (Читатель, $и РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 219 несколько искушенный в началах математического анализа, в состоянии дать более строгое доказательство этого утверждения, например по такой схеме. Пусть г = |и([г(1) [. Тогда г ) О, ибо непрерывная функция [г(1) [ на замкнутом промежутке [а, Ь[ достигает своей нижней грани. В силу равномерной непрерывности непрерывной на [а, Ь[ функции, можно разбить промежуток [а, Ь[ на конечное число интервалов так, что в пределах каждого из них колебание компонент х(1) и у(1) функция г(1) не превосходит ! — Тогда г(1) на каждом таком интервале изменяется не более 2 чем в двух смежных координатных квадрантах, и здесь справедливость утверждения очевидна.
Остается согласовать выбор аргумента на границах интервалов.) Предположение о том, что г(1) не обращается в нуль, существенно, Так, например, пусть г(1)=1 при — ! (1 - К При 1( 0 аргумент г(1) будет равен нечетному кратному и, а при 1) 0 — четному кратному. Выбор значений аргумента здесь нельзя так согласовать, чтобы сохранить непрерывность при 1= О, Пусть теперь имеется несколько непрерывных комплексных функций г~(1), ..., ЕА(1) от вещественной переменной 1, а (1» ь, каждая из которых не обращается в нуль пи в какой точке данного промежутка. Тогда их произведение г(1) =г1(1) ... ге(1)— тоже непрерывная функция, ие обращающаяся в нуль на этом промежутке.
Выберем значения аргументов г1(1), ..., ЕА(1) и г(1) при 1= а так, чтобы аргумент г(а) был равен сумме аргументов г,(а), ...„ ЕА(а) (а не отличался от нее на четное кратное и). Тогда, при непрерывном. изменении аргументов, равенство агах(1)= агпг~(1)+ ... + ага гА(1) сохранится при всех 1, а ( ( 1( Ь. Действительно, разность агд г(1) — (аги г1 (1)+ ... ... + зги г,(1) ) может принимать лишь значения 0 и четные кратные и, причем равна 0 при 1= а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
