1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Далее, гьг = 1~ тт! — Е При изменении ! от О до 1 корни сближаются и, при ! = 1, сливаются при значении е = ! (рис. 14). При дальнейшем увели- Рис. !4. чении 1 корни становятся комплекснымя и расходятся вдоль прямой Кег = 1. У нас нет никаких оснований считать, который из корней пошел вверх; тот, который пришел слева, илн тот, который пришел справа. Корни после столкновейия как бы теряют индивидуальность. $ 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 1. Ограничение вещественных корней полинома с веществен.

ными коэффициентами. Лемма о возрастании модуля ($1) дает средство для ограничения всех корней по модулю сверху. Именно, сли для М = О найти такое /(, что ]!(г) ]) М = О, как только е]) /г, то, Очевидно, за пределами круга радиуса !т полипом (г) не имеет корней, и поэтому все его корни не превосходят /4 по модулю. Для вещественных корней полиномов с вещественнымн коэффициентами можно указать другие оценки, которые иногда оказываются лучше. Приведем одну нз них. Теорем а (оценка Маклорена). Пусть /(х) =а,х"+а,х"-'+... ...

+ а„~ )ч (х], причем аь ) О. Если /(х) не имеет отрицательных коэффициентов, то отсутствуют положительные корни, так что верхней оценкой для вещественных корней оказывается число О. Пусть отрицательные коэффициенты имеются, тп — номер первого по порядку отрицательного коэффициента и А — максимум модулей отрицательных коэффициентов. Тогда вещественные корни /А !(х) не превосходят 1 + ~/ —. '7 аь' Доказательство.

Пусть все коэффициенты неотрицательны и х ) О. Тогда /(х) ) О, так что /(х) не имеет положительных корней. Пусть теперь отрицательные коэффициенты есть и х в !гл. 4я 224 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА ) 1+ '~/ ° ИМЕЕМ: /(Х) =аОХл+а!хо-б+ + а бХл-бл+б 1 /А ао. ...+ а„, Подчеркнутые слагаемые, если они есть, неотрицательны при х ~ О, и потому /(х) ) аохл + а Хл- + ... + ал.

При й ) т будет аб ~ — А, следовательно, хл-лб+! 1 / (х) ~) аохл — А (хл ~ + ... + 1) = аохл — А хл лб+'(аохлб (х — !) — А) А х — ! +х — 4~ хл ~+'(аох~ ' (х — !) — А) хл ~+'(ао(х — !) — А) > '„! ~~ ' ) (ао(, ~/ — а / — А/=О. /А Итак, при х) 1+ т/ — будет /(х) ) О, так что все вешест- М ао /А венные корни не превосходят 1 + ~~ — . что н требовалось доло казать.

Прн помощи оценки корней сверху легко получить н оценку снизу. Для этого достаточно рассмотреть полнном Я(х) — ( 1)л/( х) = похл а!ха ! + Оохл-о ( + ( 1)ла Корни этого полииома равны корням полннома / с обратным знаком, так что из оценки корней его сверху, — хо< М, получим оценку снизу для корней исходного полинома: хб ) — М. Пример. Найти оценки сверху и снизу для корней полннома /(х) = хо + Зхо — 4хо — 2х+ 4. Сверху: хб < 1+ ~У4 < 3. Снизу: составим д(х)=х'+ Зхо+ 4хо — 2х — 4, имеем — х, < б <! + у'4 < 3. Итак, — 3<х, <3.

Оценка Маклорена довольно грубая. Имеется много других приемов оценнвання вещественных корней полнномов с веществеинымн коэффициентами. Мы не будем на этом останавливаться, 2. Теорема Штурма. Здесь будет решена следующая задача. Дан полипом с вещественными коэффициентами и дан промежуток на вещественной оси. Требуется узнать, сколько корней имеет полипом на этом промежутке, Способ решения этой задачи осно- эн РАспРеделение вещественных кОРней пОлинОмА 225 ван на принципе счетчика. К переменной х, двигающейся от левого конца промежутка, будет «приделан счетчик», стрелка которого поворачивается на одно деление, как только х проходит через корень полинома. Тогда число корней полинома на интервале равно разности показаний счетчика в начале и в конце интервала. Роль показаний счетчика будет играть число перемен знаков среди значений некоторой конечной последовательности (последовательности Штурма) вспомогательных полипомов.

Под числом перемен знаков в некоторой последовательности вещественных чисел понимается число пар соседних элементов последовательности, имеющих противоположные знаки, причем нулевые члены исключаются из последовательности. Последовательность 1„ )ь ..., 1» Штурма полиномов, построенных длЯ данного полинома 1= (м УдовлетвоРЯет следУющим тРебованиям при значениях х из данного интервала (а, Ь): 1.

Последний полином 1» не обращается в нуль. 2, Два соседних полинома не обращаются в нуль Одновременно. 3. Если некоторый полином 1ь 1 (1: й — 1, обращается в нуль в некоторой точке хо, то соседние полиномы 1; 1 и 1;+1 имеют в хе значения противоположных знаков. 4, Произведение 1«11 меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через корень полинома (о. Т е о р е м а Ш т у р м а.

Число корней пол инома ) (х) в промежутке (а, Ь) равно шслу перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма при х = а минус число перемен знаков при х = Ь. Предполагается, сто концы промежутка не являются корнями 1(х). Тем самым ряд Штурма играет роль «счетчика» корней. Доказательство проводится по принципу счетчика. Рассмотрим промежуток (а, Ь]. На нем имеются коран начального полинома ~, =1 и корни других полнномов ряда Штурма. Мы докажем, что число перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма изменяется, только когда х проходит через корень начального поли- нома, и тогда это число уменьшается на 1.

Ясно, что полипом, в силу непрерывности, может изменить знак, только когда х проходит через корень полинома. Поэтому нам нужно проследить, что происходит со знаками и с числом перемен знаков при переходе через корень начального полинома и через корни других полиномов Штурма. Пусть хе является корнем некоторого полннома 1,(х) ряда Штурма н не является корнем начального полинома. Может случиться, что кроме полинома ),(х) некоторые другие полиномы тоже обращаются в нуль прн х».

Допустим, для определенности, что таким полнномом является ~г(х). Пусть все остальные поли- номы ряда Штурма не обращаются в 0 в точке хм Выберем промежуток (х,— б, хг+6) настолько малым, что в нем не содержится ни одного корня полиномов ряда Штурма, кроме хм и про- 22б РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА [гл. ~к следим за изменением числа перемен знаков, когда х проходит этот промежуток. С этой целью рассмотрим следующую таблицу: ЕР~ Ь/ "~6-~ й ~ (ю+~ х0 — 6 <х < хо кр<х<х,+6 — ~ (~+1 О ) ~ — О ~-о,~ щ ко — 6 < х < ко а ~ О ~ — Р Р ~ )-а о ! щ (Р, )Щ х0 < к < х0 + б На участке ~с ь (ь ~;„1 ряда Штурма картина распределения знаков будет такая же, как в предыдущем случае, так что, хотя знак полпнома (; может измениться, число перемен знаков на этом участке не изменится.

Полином ~, в точке ха не обращается в О, согласно второму свойству ряда Штурма. Пусть о| — знак (~(хР). Этот знак полипом ~~ сохраняет на всем промежутке (хэ — 6, х,+ 6). Согласно четвертому свойству ряда Штурма знак ~Р(х) до хс противоположен знаку (,(х), а после хз знаки )з(х) и Й(х) Полиномы (м ..., ); и (Рьь ..., ~; ь ~,+ь ..., )А в нуль не обращаются, и их знаки не изменяются на всем промежутке (х,— 6, х, + 6), следовательно, и число перемен знаков среди пар, не включающих (~ и (ь не изменяется.

Пусть (; 1(ха) имеет знак О (+ или †). Этот знак сохраняется на всем промежутке (хР— 6, х, + 6). По третьему свойству полиномов Штурма полипом (;+1 имеет знак — О. Какие бы знаки нн имел полином ~; слева и справа от хм число пеРемен знаков в отРезке ~~ ь (ь )н.~ РЯда ШтУРма остается равным 1 и не изменяется. Такая же картина имеет место на отрезке (~ ь ~ь )~+ь Таким образом, когда х проходит по промежутку, не содержащему корней начального полинома (Р = (, но, быть может, содержащему корни других полиномов ряда, число перемен знаков среди значений полиномов ряда Штурма не изменяется. Пусть теперь х,— корекь начального полинома ~м Вбзможно, что кроме него при х, обращаются в нуль какие-либо другие полиномы.

Положим, что ~~(хР) = О. Рассмотрим снова таблицу распределения знаков; во! РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЕЙ ПОЛИПОМА 227 одинаковы. Таким образом, на участке (о, 7! ряда Штурма, а следовательно, и во всем ряду Штурма число перемен знаков уменьшается на единицу (счетчик повернулся иа одно деление).

Сопоставляя все сказанное, делаем вывод, что при изменении х от а до Ь число перемен знаков среди значений полиномов ряда Штурма уменьшается на столько единиц, сколько корней поли- нома (о(х) лежит между а и Ь, что и доказывает теорему Штурма. Из рассмотрения второй таблицы мы видим, что число перемен знаков при корне хо начального полинома такое же, как направо от корня, и на единицу меньше, чем налево от корня. Принимая это во внимание, мы можем в теореме Штурма снять предположение, что (о не имеет корней на концах промежутка. Если начало а является корнем, то при отходе от него вправо число перемен знаков не изменится, а если конец Ь является корнем, то при подходе к нему слева в последний момент число перемен знаков уменьшится на одну единицу.

Характеристики

Список файлов лекций