1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Здесь первое слагаемое е! е2 я! в! е! автоматически оказывается правильной дробью как разность правильных дробей — и —. Итак, —,= — -+ -- — и оба слагаей 1 я!ч! л! с!ы! к! ыг мых в правой части равенства — правильные дроби. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ тав 2гл. ч! Остается доказать единственность. Пусть — = — + — = — +— 1 12 12 1! К!В! Ы! В2 К! »2 причем все дроби правильные. тогда = и д2(1! — 12) = 1 — 12 1! — 12 ь" ! Я2 =д!(1! — 1).
левая часть делится на и! и полинам д» взаимно прост с д!. Поэтому 1! — 12 делится на д2, что возможно только при 1! — 12 = О, ибо степень ~! — 5 меньше степени д!. Итак, 1! = 12 и, следовательно, 12 = рм Предложение доказано полностью. Теперь обобшим это предложение. П р е дл о ж е н и е 4.
Если знаменатель и правильной рациональной дроби — ~ К(х) есть произведение д2д2 ... д» нескольких я попарно взаимно простых полиномов, то дробь представляется в 1» виде суммы —, + —,+ ... + — правильных дробей и талое Я! Я2 П» представление единственно. Доказательство проведем индукцией по числу сомножителей. 1;зза индукции есть при 22 = 2. Далее, д = д2(й2 ... и!,) и поли- номы ь! и д2 ... д» взаимно просты. Поэтому — = 1' + 1 й и! Е2' "» Ко второму слагаемому применяется индуктивное предположение. 1 !' Разложение — = — + единственно по предложению я л! д я 12 1» 3, и разложение = — "+ ...
+ — единственно по индукЯ2 ''' "» 22 и» тнвному прсдположепшо. Следовательно, разложение — = — + Ю Ы! + — + ... + —,-' единственно. ь2 ''' и!» Полипом пз К[х] имеет каноническое разложение на непривот! !ь !и» димые множители й=а„!р, '!р2' ... 2ь»». В соответствии с этим правильная рациональная дробь раскладывается па сумму правильных дробей со знаменателями Ф",' ', Ф,"2, ..., Ф„». Эти дроби носят название примарных. Действительно, пусть дробь (в пор..2ализованной записи) есть где Ф2, Фи ..., Ф» — попарно различные нормали- ! 2» Ф! Ф2 ° ° Ф» зованные неяриводимые полппомы.
Тогда они попарно взаимно просты и их степени 2р, ', ..., 2р,',"» гож" попарно взаимно просты. Применение предложения 4 дает трс"!у;2!ос разложение; 1 г! ы , 1„ — + „,,'- ° + — „. Ф! Ф» " Ф» Ф! Фз Ф» РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ !зт Оно единственно в силу предыдущих предложений. Примарная дробь называется простейшей, если ее числитель есть полинам, степень которого меньше степени.неприводимого нолинома, входящего в знаменатель.
П р е д л о ж е н и е 5. Любая правильная примарная дробь представляется в виде суммы простейших дробей. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть — — данная примарная правильиая дробь. Поделим ~ на Ч! с остатком: ~ = !рд!+ ~!, йец ~! ( бед !Г. Тогда — = †' + ', . Такое представление единственно, нбо 1 6 ,т Ч!т,т — !' если — = — + —, при йец~! ( йец!р, то ~ = ~!+ д!Ч!, т. е. ~! 'есть остаток деления ~ на ч! и у! — неполное частное.
Выделив остаток от деления д! на !р, а! = !!+!рдм бед~, ( йецц, получим Продолжая процесс, придем к правильной дроби е ', которая является простейшей. Итак, Ф !Р Ч! % Единственность разложения очевидна, в силу единственности на каждом шагу процесса. Теорема 6. Правильная рациональная дробь из поля К!'х) может быть представлена в виде суммы простейших дробей, и такое представление единственно. Действительно, всякая правильная дробь из К(х) единственным образом представляется в виде суммы правильных примарных дробей и каждая правильная примарная дробь представляется в виде суммы простейших.
Если знаменатель исходной дроби имеет каноническое разложение !р, '!р,' ... !р," то знаменателями прот т — 1 т! т!-! етейших дробей будут!р,', <р,' , ..., <ри Ч!,' <р ' , ..., фз, ть-! Ч!ь э !Бь ~ г <РА. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полемик комплексных чисел. Поле С всех комплексных чисел алгебраически замкнуто, и любой нормализованный полипом разлагается нар ). в произведение линейных множителей д=(х — х,) ' ... (х — х„) ь.
л В атом случае простейшими дробями будут г;е (х — х!) ! лт е— : С; так что разложение правильной дроби на простейшие полиномы и дгози !гл. и имеет вид А А!х, Ак! Акхч Ак! Акщ,. ( )~кк к — кк Это разложение играет значительную роль в математическом анализе. Простейшие дроби легко дифференцировать и интегрировать. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие иад полем К вещественных чисел. Над полем Р имеется два типа неприводимых полнномов — полииомы первой степени х — х! и полиномы второй степени х'+ р)х+ рл при р' — 4д; ( О. Соответственно, имеется два типа простейших дробей: А - Вх+С и при рк — 4д (О.
(к — к,.) ! (хэ -1- р х+ д ) ) Разложение над Р тоже полезно для целей математического анализа. 1 Пример. Эта дробь разлагается на слагаемые А~ А, Вк+С !)а к ! «1+1 — и Записав это разложение и умножив на знаменатель (х — !)'(ха+1), получим равенство 1 = А!(х'+ 1)+ Аз(х — 1) (х'+ 1)+(Вх+ С) (х — 1)к. Нужно определить коэффициенты А1, Ам В н С. Самый естественный путь для их определения — так называемый метод неопределенных коэффициентов, т. е. сравнение коэффициентов при 1, х, хк н хк.
Это даст систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, имеющую, как мы ужа знаем, единственное решение. Вот зта система: А, — Ах+С=1, Ак+  — 2С=О, А,— Ак — 2В+С О, Ах+В=О, из которой находим А! = 1/2, А, = — 1/2, В = 1/2, С О, так что 1 х (х — 1)*(х'+ 1) 2(х — 1)' 2(х — 1) '2(к~+ 1) ' Коэффициенты можно было бм определить несколько проще, полагая в равенстве полпномов 1 = А! (х'+ 1) + Ак (х — 1) (хк + 1) + (Вх -1- С) (к — 1) к еационлльныа деовн х = 1, что дает 1 — 2А1 О, А, = †, и х = й что дает 1 = ! =(В(+ С) ( — 2)), откуда В = 1/2 и С=О. Оставшийся коэффициент Ах определяется, например, из сравнения свободных членов. 7.
Разложение на простейшиеправнльной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. Пусть дана правильная дробь 1 (х) (х — х~) (х — хй ... (х — х„)' х~~хь Ее разложение имеет вид 1 (х) А, Аз Ал + — + ° ° + — " —. (х — х|) (х — х~) ... (х — х„) х — х| х — х, ' ' х — х„' Для определения коэффициентов умножим равенство на знаменатель: ((х) = А~ (х — хх)... (х — х„) + Ая (х — х~) (х — хз)... (х — х„)+...
... + А (х — х,)... (х — х„,). Положим теперь по очереди х = хь х = хь ..., х = х . Получим: ((х,) = А~ (х, — хх) (х, — х,) ... (х, — х„), )(х,) =А,(х, — х,)(х, — хз) ... (хх — х„), 1(х„) =А„(х„— х,)(х„— х,) ... (х„— х„,). Множители при коэффициентах в правых частях все отличны от нуля и легко выражаются при помаши производной полинома Р(х) =(х — х|) (х — хх) ...
(х — х„). Действительно, )х'(х) =(х — хх) ... (х — х )+(х — х1) (х — хз) ... (х — х„)+ ... +(х — х,) (х — хх) ... (х — х„,). Полагая по очереди х= хи х=хь ..., х=х„, получим; Г (Х~) = (Х~ — ХХ) (Х~ — ХЗ) ... (Х~ — Хх), Е (ХЗ) (ХХ Х~) (Хх КЗ) ° (ХЗ Хх)> В'(х„) =(х„— х,)(х„— х,) ...
(х„— х„,), Принимая во внимание эти равенства, получим А 1(х1) А 1(х ) А 1(х.) Е' (хб ' 3 д' (х2) ' ' д (хх) и для разложения на простейшие получаем формулу 1(х) ~ ((х„) д (х) х ' (~~) (х — х,д ' х-1 Эта формула носит название форварды Лагранхга. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ [ГЛ. Ч! Рассмотрим несколько примеров ее применения. х'+ 5х+ 7 ' (х + 2)(х + 1) х (х — 1) (х — 2) Здесь Р (х) = (х + 2) (х + 1) х (х — 1) (х — 2), Р' ( — 2) = ( — 2+ ! ) ( — 2) ( — 2 — 1) ( — 2 — 2) = 24, Р'( — 1) = ( — 1+ 2) ( — 1) ( — 1 — 1) ( — 1 — 2) = — б, Р' (0) = (О+ 2) (О + 1) (Π— 1) (Π— 2) = 4, Р' (1) = — б, Е' (2) = 24 х'+ 5х+ 7 (х + 2) (х + 1) к (х — 1) (х — 2) 11 1 7 15 25 24(х+2) 6(х+ 1) 4х 6(х — !) + 24(х — 2) ' П р и м е р 2.
Разложить над полем К дробь 1 хй" + 1 Сперва напишем разложение над .С. Напомним, что корни полевой!а Е'(х) = хй" + 1 лежат на единичной окружности и попарно (2й — 1) л .. (2й — 1) л сопряжены. Именно, с корнями ха=сов 2 +15(п 2л 2л й=1, 2, ..., и, сопряжены корни хй = хй,+! ь Корни попарно различны, так что формула Лагранжа применима. Имеем Р'(х) = 2пхй"-', откуда Р' (х ) = 2пхй"-' = 2пх-!хь' = — 2пх '.
По й) й й й й формуле Лагранжа л В 1 1 х, 1 "й й-~ й=! Объединив теперь комплексно сопряженные слагаемые, получим у' ."й х„ + йл,(2лС~х — хх — хй х + й =.! й (2й — 1) и (х +х )х — 2 1 " 1 — хсой 2л ~ хй — (х -1- хй) х.! 1 = л й й й ! хй — 2хсоз 1 П р н и е р 3. Разложить дробь на простейшие над вохр — х лем СсГ(р) вычетов по модулю р. В силу теоремы Ферма все элементы поля О, 1, ..., р — 1 суть корни полинома Р(х) = хр — х, так что хр — х = х(х — 1) ...
,, (х — р — 1). Имеем г"'(х) = рхр-' — 1 = — 1. Следовательно, р — 1 1 1 =--Х =. хр — х х — й й-о ннтнеполяция 19! й 4. Интерполяция 1. Постановка задачи. Слово «интерполяция» хорошо знакомо. Под этим термином понимается разумный способ вычисления функции, заданной таблицей, в точках, не вошедших в таблицу. В этой ситуации обычно применяется линейная интерполяция, состоящая в том, что функция на промежутке между соседними табличными значениями приближенно заменяется линейной функцией, так что в. целом функция заменяется на кусочно линейную, Сходная задача возникает при обработке результатов эксперимента. Пусть экспериментально определяютсч значения некоторой функции в ряде точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
