1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда ео к-м ! ( ао «-оо ! ! (ао о-оо ! ) !Ьо Оба требования выполнены, если взять д= — ох" о'+аи Остаь ется доказать единственность. Пусть 1 = дд + г к ! = кч> + гь причем степени полиномов г и г~ меньше степени полинома д. Тогда д(д — д~) = г~ — г, но степень полинома г, — г меньше степени а. Это возможно, только если г~ — г = О и д — д1= О, т. е. д =4, . г=гь ГЗ. Наибольший общий делитель двух полиномов. Оаиболыиим общим делителем двух полиномов 1ь !» нз кольца К!х) называется полинам наибольшей степени среди полиномов с коэффициентами из поля К или любого его расширения М, делящих оба полинома 11 н (2.
Заметим, что мы не предполагаем заранее„что наибольший общий делитель имеет коэффициенты из поля К, и «допускаем к конкурсу» полиномы с коэффициентами нз любого, большего чем К, поля й. Так, для полиномов х' — 1 и х' — 1 (с коэффициентами из поля (~ рациональных чисел) наибольшим общим делителем будет как полинам х — 1, так и полинам е (х — 1) или полинам (1+ 1) (х — 1), таоэия делимости для полиномов от однои втквы !аэ Теорема 2. Наибольший общий делитель двух полиномов (», !зе†: К[х] единствен с точностью до ассоциированности и делится на любой общий делитель этих полиномов. Коэффициенты нормализованного наибольшего общего делителя полиномов из К[х] принадежат полю К Нормализованный наибольший общий делитель И(х) допускает линейное представление в виде й(х)= =]»(х)М»(х)+]з(х)Мз(х), где М, и Мз — некоторые полиномы из К [х].
Д о к а з а тел ь с т во. Рассмотрим множество полиномов (т = 01»з ! + ! 2»»! з [ А!!, !Чз еБ К [х] ) ° Здесь предполагается, что А!! и А!з независимо пробегают все полиномы из К[х]. В этом бесконечном множестве полиномов выберем отличный от нуля полипом й(х) наименьшей степени. Покажем, что он является наибольшим общим делителем полнномов ]! и ]з. Для этого прежде всего установим, что остаток от деления двух полиномов из множества )»т принадлежит этому множеству. Действительно, пУсть й! и йз пРинадлежат )(т, так что Ь! = !»А!! + )зй(з и йз — — ]»Нз+]зФ». Тогда остаток г от деления й! на Ьм равный й! — дйг, где д — неполное частное, равен [!Н»+]зйз — д(]!А!з+ + !зй!4) =]6(й!! 9!»»3)+ Ь(Л!з Ч)т») е=- )т, ибо А!! — утзз е— = К[х] и ЛЪз — д»з'» ен К[к]. Теперь легко доказать, что с( есть наибольший общий делитель ]! и ]з, Так как [! ~ В' и»(ен )У», остаток от деления [! на й тоже принадлежит )Р', но степень этого остатка меньше степени а.
Поэтому остаток равен нулю, ибо д — полипом наименьшей степени среди отличных от нуля полиномов нз Ю'. Таким образом, ]! делится на д. Аналогично, ]з делится на д, так что д есть общий делитель »! и !з. Далее, д~ %' и, следовательно, д =]!М»+]гМз при некоторых М! и Мз. Пусть б — какой-то общий делитель (! и ]з с коэффициентами из К илн какого-то большого поля. Тогда, по свойствам делимости, !!М!+ !зМз = й делится на б. Поэтому степень й не меньше степени б, так что д есть действительно наибольший общий делитель. Наконец, если с(! — какой-либо другой наибольший общий делитель, то его степень равна степени д и, так как д делится на д», их частное есть константа, т.
е. й н й! ассоциированы. Нормализованный наибольший общий делитель йз получится из 4 посредством деления его на старший коэффициент ! / ! аз. Коэффициенты де= — й принадлежат К, и»(з=]! ~ — М») + вз / ! + !з ( — Мз] имеет линейное представление. Тем самым мы до. казали все свойства наибольшего общего делителя, сформулированные в теореме. ПОЛИИОМЫ И ПРОВИ 1гл, 21 Кроме двух свойств, аналогичных тем, которые мы видели в теории делимости для кольца е, целых чисел, следует отметить также, что коэффициенты нормализованного наибольшего общего делителя принадлежат тому же полю, что и коэффициенты данных полиномов.
Это существенно и не совсем очевидно. Например, полиномы [1 = х' — 1 и )г = хг+ 2х'+х+ 2 с рациональными коэффициентами оба имеют корнем число с, так что нормализованный полином х — 1' есть общий делитель [1 и 12, но это не наибольший общий делитель, ибо его коэффициенты не принадлежат полю рациональных чисел. Как легко видеть, здесь наибольший общий делитель есть х'+ 1 = (х+ с) (х — 1).
Находить наибольший общий делитель двух полиномов можно тем же способом, что и для двух целых чисел, — алгорифмом Евклида. Именно, выполним цепочку делений с остатком: с)еп г, < беп 12, йея г, < Йея г„ бек гг < с[ ей гг 11 сгсс1+ 111 [2 — — гсУ2 + г2, '1 = ггс)2+ гг~ гг 2 — — гг 1212+ гь, с)ея гг < с[ец' гд 1, гг-с = ггс)гс-с.
Процесс оборвется, на каком-то шагу деление выполнится без остатка, нбо степень каждого последующего остатка меньше сте. пени предыдущего. Все остатки, которые мы строим, принадлежат множеству 12' = (11йсс+12122[сссс, Жг~ К[х[), и мы «спускаемся» в смысле степени в этом множестве. Последний отличный от нуля остаток г„и будет искомым наибольшим общим делителем для 11 и 12. Действительно, пересмотр равенств снизу вверх показывает, что гс является делителем гг и гг-м ., гь )2, )с, а пересмотр сверху вниз — что все остатки гь гг, ..., гг делятся на любой общий делитель 11 и )г. Очевидно, что из алгорифма Евклида следуют все свойства наибольшего общего делителя, сформулированные в теореме.
4. Свойства взаимно простых полиномов. Два полинома называются взаимно простьсми, если их нормализованный наибольший общий делитель равен 1, т. е. эти полиномы не имеют общих делителей, кроме констант. Предложение 3. Длн того чтобы полиномьс [1 и 12 были взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы сусссествовали полиномы Мс и Мг такие, что 11М1+ 12М2 = 1. Действительно, если 11М1 + [2М2 = 1, то всякий общий делитель для М, н Мг делит единицу и является константой. Если [1 и 5 взаимно простые, то их нормализованный нанбольший общий делитель 1 имеет линейное представление 1 = ['1М1+12М2. ап тгогия делимости для полиномов от однои взквы !т! Предложение 4. Если произведение Ц» делится на 1» и 7! взаимно прост с !з, то )» делится на !з.
Действительно, поскольку 1!, !» взаимно простые, найдутся М! и М» такие, что !!М!+!»М» = 1. Умножив на [ы получим: !» =)!!гМ!+!з!»М» Первое слагаемое правой части делится на (м ибо !!)» делитсЯ на !ы втоРое делитсЯ на 1, тРивиальным обРазом, следовательно, их сумма 1» делится на !». Предложение 5. Если )! и )» оба взаимно просты с д, то и их произведение Цх взаимно просто с а.
Действительно, существуют М!, Мм Мм М» такие, что 1!М!+ + дМ» = 1 и )»Мз+ дМ» =- 1. Перемножив эти равенства, получим Ц»М!Мз+д(М»[»Мз+!'!М!М»+ дМ,М») = 1, так что Ц» и (( удовлетворяют признаку взаимной простоты. Предложение 6. Если каткдый из полиномов !!, !», ..., !» взаимно прост с а, то и их произведение Ц» ... 1» взаимно просто с д. Это предложение доказывается очевидным проведением индукции на основании предложения 5.
Предложение 7. Если каясдый из полиномов 1!, ..., 1 взаимно прост с.каждым из полиномов й!, й», д, то произведение !! ... 1 взаимно просто с произведением д! ... а„. Это доказывается многократным применением предложения 6. Предложение 8.
Если ! и д взаимно просты, то !" и д" взаимно прость!. Это непосредственно следует из предложения 7, достаточно положить 1! = ... = [лз и д'! = ... =Ел. Отметим еще одно свойство взаимно простых полиномов, ие имеющее аналога в теории делимости целых чисел. Предложен не 9. Если полиномы ! и и взаимно просты, то они не имеют общих корней ни в каком расгиирении основного поля. Действительно, пусть 1, д принадлежат кольцу К[х) и взаимно просты.
Пусть й — любое поле, содержащее поле К, и пусть х» ~ Ж. Из взаимной простоты следует, что существуют полиномы М! и Мг~ К[х[ такие, что !М!+ дМ» = 1. Перейдя к значениям при хы получим [(х»)М!(хс)+ д(х,)М»(х») = 1, откуда следует, что 7(х») и д(х») не могут одновременно равняться нулю. ' 6. Неприводимые полиномы.
Отличный от константы полинам !ран К[к) называется неприводимым в поле К, если он не имеет нетривиальных делителей в К[х]. В противном случае полинам называется приводи»!ым в поле К. Очевидно, что неприводимые полиномы в теории делимости полиномов должны играть такую же роль, как простые числа в теории делимости целых чисел, т. е. роль неразложимых в кольце К[х) элементов.
Отметим, что понятие неприводимого полинома существенно привязано к полю. Так, полинам х» — 2 неприводим в поле Я ра- полиномы и дтови [ГЛ. ЧЪ циональных чисел, ибо он не имеет рациональных корней, но он приводим в поле [к вещественных чисел: х» — 2=(х — ~/2)(х+ + ~/2). Предложение 10. Пусть 1еп К[к] и ф неприводим в К. Тогда либо [ делится на ф, либо 1 взаимно прост с ф.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим нормализованный наибольший общий делитель й полиномов ! и ф. Полинам ф делится на а' и йеп К[х]. Поэтому й или ассоциирован с ф„или равен 1. В пер-' вом случае 1 делится на ф, ибо делится на й. Во втором [ и ф взаимно просты. Предложен ив 11. Если ф~ и ф» неприводимы в К[х], то они либо взаимно просты, либо ассоциированы. Действительно, если ф~ и ф» не взаимно просты, то ф, делится на фг и ф» делится на фь так что ф~ и ф» ассоциированы. Предложение 12.
Пусть [ь [тепК[х] и произведение Я» делится на неприводимый в К[х] полипом ф. Тогда один из сомноскителей делится на ф. Действительно, либо [, делится па ф, либо [~ и ф взаимно просты. Во втором случае 1» делится на ф в силу предложения 4. П р е д л о ж е и и е 13. Пусть !'ь [ь ..., [» еи К [х] и произведение Ц» ... [» делится на неприводимый в К[х] полинам ф.
Тогда один из сомногкителей делится на ф. Доказывается очевидным применением индукции на основании предложения 12. Предложение 14. Если неприводимь»й над К полинам имеет корень хь в некотором расширении Ж поля К и этот корень является корнем полинома [е:— К[х], то !' делится на ф. Действительно, [ и ф не взаимно просты, ибо имеют общий делитель х — хь »им'[х], и, согласно предложению 10, [ делится на ф. Отсюда следует, что любой корень полинома ф является корнем 1, так что, по словам венгерского математика Пойа, «корни неприводимых полиномов ходят в гости всей семьей». 6. Каноническое разложение. П р е д л о ж е н и е 15. Калсдый полинам [ еп К[к] степени ) 1 делится по крайней мере на один неприводимый в К[х] полинам.
Доказательство индукцией по степени. Полиномы первой.степени непрнводимы. Далее, если [ неприводнм, то он делится на себя. Если приводим, то делится на полинам [~ ен К[х[ меньшей степени, который по индуктивному предположению делится на непрнводимый в К[х] полипом ф. Тогда и [делится на ф. Теорема 16. Любой полипом из К[х] степени ) 1 л»оясет быть представлен в виде произведения неприводимых над К полиномов, и такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
